勾股定理
1．勾股定理
(1)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．
(2)勾股定理的表达式：如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为：.
(3)勾股定理的变形：(已知两边，求第三边的方法)
已知条件
未知条件
求解方法
a、b
c
c2＝a2＋b2⇒c＝
a、c
b
b2＝c2－a2⇒b＝
b、c
a
a2＝c2－b2⇒a＝
注意：勾股定理应用的前提条件必须是在直角三角形中，已知其中的任意两边的长，根据勾股定理可求出第三边的长．在求解时要先画图，标上已知量，如图，分清要求的边是直角边还是斜边，然后再运用勾股定理或其变形进行解答．
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
(1)若a＝3，b＝4，则c＝__________；
(2)若a＝6，c＝10，则b＝__________；
(3)若c＝34，a∶b＝8∶15，则a＝__________，b＝__________；
(4)若b＝5，∠B＝30°，则c＝__________.
解析：(1)c2＝a2＋b2＝25，则c＝5.
(2)b2＝c2－a2＝64，则b＝8.
(3)∵a∶b＝8∶15，∴设a＝8x(x＞0)，b＝15x.
又∵∠C＝90°，c＝34，
∴c2＝a2＋b2＝(8x)2＋(15x)2，
∴c＝17x，∴17x＝34，x＝2，
∴a＝16，b＝30.
(4)∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴c＝2b＝10.
答案：(1)5 (2)8 (3)16 30 (4)10
点拨：在直角三角形中，运用勾股定理求某一边的长时，先分清直角边和斜边，然后再利用勾股定理，可设未知数，通过建立方程(组)来解决．
2．勾股定理的证明
(1)方法：勾股定理的证明方法较多，仅选取一种加以说明．如图所示网格图形中，每一个小方格的边长为1.根据图示填写表格，比较得出结论．
A的面积
B的面积
C的面积
图1
16
9
25
图2
4
9
13
(2)结论：
①两直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积，即SA＋SB＝SC；
②勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和．
因为勾股定理既重要又简单，所以很容易吸引人，才使它成百次地被人反复论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法．实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种．
【例2】如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，P是AC的中点，PD⊥BC，D为垂足，BC＝9，DC＝3，求AB的长．
分析：由题可知∠BAC＝∠PDC＝90°，因此可以利用勾股定理进行计算．
解：连接PB.
∵BC＝9，DC＝3，∴BD＝6.
在Rt△BDP中，由勾股定理，得PB2＝PD2＋BD2，即PD2＝PB2－BD2.
在Rt△PDC中，由勾股定理，得
PC2－CD2＝PD2，
∴PB2－BD2＝PC2－CD2.
∴PB2－36＝PC2－9，∴PB2－PC2＝27.
又∵P为AC的中点，∴PB2－PC2＝PB2－AP2＝AB2＝27，∴AB＝3.
3．运用勾股定理求边长
(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么a2＋b2＝c2.
(2)意义：勾股定理是直角三角形特有的定理，反映了直角三角形三边之间的数量关系．
(3)延伸：在直角三角形中，若两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
①a＝；②b＝；③c＝.
在直角三角形中，知道其中任意两边，根据勾股定理就能求出第三边.
运用勾股定理求边长，一定要注意弄清是求直角边还是斜边，注意是加还是减．
【例3】小林是开发区中学升旗队的一名旗手，在升旗时发现从旗杆AB的顶端A
处垂下的绳子比旗杆AB长1米，他拿着绳子的下端拉开至C处，绳子恰好完全伸直，测得点C距旗杆底部B的距离是5米．请问：能根据这些条件求出旗杆的高度吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．
解：能求出旗杆的高度．如图所示，BC＝5米．设AB＝x米，则AC＝(x＋1)米．
在Rt△ABC中，∠B＝90°，由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2，即：x2＋52＝(x＋1)2，解得：x＝12.即AB＝12米．
答：旗杆AB的高度为12米．
4．勾股定理在等腰三角形中的应用
等腰三角形两腰相等；等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线相互重合，因此在等腰三角形中，通过作高可以将等腰三角形分成两个直角三角形，特别是底边上的高，将等腰三角形分解成两个全等的直角三角形．
在等腰三角形中，底、腰、高三者之间知道任意两者都能求第三者．如图(1)、图(2)分两种情况：
情况一：图(1)中，在AB(或AC)，BC，AD三个量中，已知两个量，根据勾股定理，可以直接求第三个量；
情况二：图(2)中，①已知AB，BD求BC，可以先求AD，再求DC，再求出BC；②已知AB，BC求BD，可借助于BD2相等，列方程求出AD或DC，再求出BD；③已知BC，BD，可以列方程求AB.
作为等腰三角形中的特殊三角形“等边三角形”，它的任一条高都具备“三线合一”性质，都能将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，并且这些直角三角形还是含30°角的直角三角形，因此，根据勾股定理，在边长、高、周长、面积四个量中，知道任何一个量都能求出其他三个量．
【例4－1】如图所示，在等腰△ABC中，AB＝13，BC＝10，则底边上的高AD的长是( )．
A．11 B．12 C．13 D．14
解析：因为△ABC是等腰三角形，AD是高，
所以BD＝BC＝5.
在Rt△ADB中，由勾股定理，得
AD＝＝＝12，故选B.
答案：B
【例4－2】如图(1)，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长．
(1)
(2)
分析：要求BD的长，可构造直角三角形，使BD为该直角三角形中的边，如图(2)，过D作DF⊥BE于F，在Rt△DFB中运用勾股定理可求BD的长．
解：过D作DF⊥BE于F.因为△DCE为等边三角形，所以DF也是△DCE的中线，所以CF＝CE＝1，所以BF＝BC＋CF＝2＋1＝3.在Rt△DFC中，由勾股定理，得DF2＝DC2－CF2＝22－12＝3.
在Rt△DFB中，由勾股定理，得
BD2＝BF2＋DF2＝32＋3＝12，所以BD＝2.
5．勾股定理在含30°角的直角三角形中的应用
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．所以在含30°角的直角三角形中只要知道一边，就可以求出任何一边的长．如：根据勾股定理可知，若最短边为1,2,3，…，那么斜边就是2,4,6，…，另一直角边就是，2，3，…，即60°角所对的直角边和斜边分别是最短直角边的倍和2倍．因此知道任意一边，就可以通过乘以或除以它们之间的倍数计算得出另两边．
①已知30°角所对的直角边为a，那么另一直角边为a，斜边为2a；②已知斜边为c，那么最短直角边为，较长直角边为c.
【例5－1】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝30°，则BC＝__________，AC＝__________.
解析：根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，BC＝AB＝5.
根据勾股定理可知，
AC＝＝＝＝5.
答案：5 5
【例5－2】等腰三角形一腰上的高为1，这条高与底边夹角为60°，则此三角形的面积是__________．
解析：如图所示，
因为∠DBC＝60°，∠C＝∠ABC＝30°，所以在直角△ABD中，∠BAD＝60°，∠DBA＝30°.根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以三边满足AD∶AB∶BD＝1∶2∶，所以AB＝BD××2＝1×＝＝AC.∴S＝×1×＝.
答案：
6．列方程在勾股定理中的应用
在勾股定理的应用中，有时并不是已知两边求第三边，而很多时候只是告诉了两边之间的关系，因此常常需要列方程解决．
方法：一般是设其中一边为x，用含未知数x的式子表示另一边，根据勾股定理构建方程，通过解方程，解决问题．如：
在锐角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC＝14，AD⊥BC，垂足为D，计算DA的长度．
我们可以通过设DB＝x，那么CD＝14－x，根据勾股定理，在Rt△ABD和Rt△ADC中，分别用含x的式子表示出AD2＝152－x2和AD2＝132－(14－x)2，从而构造方程，通过解方程求出x，即DB，然后再求AD的长度．
【例6－1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a∶b＝3∶4，c＝10，则△ABC的面积为( )．
A．24 B．12 C．28 D．30
解析：∵a∶b＝3∶4，∴设a＝3k，b＝4k(k＞0)，由勾股定理，得9k2＋16k2＝100，
解得k＝2，∴a＝6，b＝8，
∴S△ABC＝ab＝×6×8＝24.故选A.
答案：A
【例6－2】矩形ABCD按如图所示折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8，BC＝10，求折痕AE的长．
分析：根据已知，将条件转化到Rt△FCE中，求出FE，进而求出DE，再求出折痕AE.
解：在Rt△ABF中，AB＝8，AF＝AD＝10，
所以BF＝＝＝6，
所以CF＝BC－BF＝4.
设DE＝x，那么EF＝x，CE＝8－x，
在Rt△FCE中，
则有FE2＝CF2＋CE2，
即x2＝42＋(8－x)2，
解得x＝5，即EF＝5.
在Rt△AEF中，
AE＝＝＝5.
7．勾股定理与面积法
面积法是解决几何问题常用的一种方法，它巧妙地利用同一图形的面积的不同求法，通过计算的方式求线段的长度，或用来证明线段之间的数量关系，有时它比运用线段之间的等量关系证明、计算更简捷、更巧妙，因而在特定条件下能出奇制胜，是一种很好的解题方法．
因为直角三角形的面积等于两直角边积的一半，也等于斜边乘以斜边上的高的一半，所以根据勾股定理求边长，再运用面积法求线段的长是这部分内容中常用的方法．
如图所示，在Rt△ABC中，AC＝12，BC＝5，求AB边上的高CD.
可根据勾股定理求出AB＝13，再根据面积相等得到AB×CD＝AC×BC，即13×CD＝12×5，得CD＝.
因为直角三角形三边关系的特殊性，所以面积法通常用于直角三角形中求斜边上的高．
【例7－1】直角三角形两直角边长分别为8和15，则这个直角三角形斜边上的高为( )．
A．8 B．15 C．17 D．
解析：已知直角三角形两条直角边求斜边上的高时，采用面积法来求，根据是同一三角形的面积相等．先求出斜边等于17，再根据8×15＝17×斜边上的高，求得斜边上的高为.
答案：D
【例7－2】如图所示，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，若AB＝10，AC∶BC＝3∶1，则CD的长为( )．
A．3 B．3 C． D．6
解析：∵AC∶BC＝3∶1，
∴设BC＝k(k＞0)，则AC＝3k.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，
∴9k2＋k2＝100.
∴k＝，∴AC＝3，BC＝.
∴S△ABC＝×3×＝15.
又∵S△ABC＝AB·CD＝×10·CD＝5CD.
∴5CD＝15，∴CD＝3.故选B.
答案：B
8．利用勾股定理解决与三角形相关的实际问题
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．利用勾股定理，可以解决直角三角形的有关计算和证明问题，还可以解决生产生活中的一些实际问题．在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)．在有些问题中，必须构造直角三角形，建立勾股定理模型来解决．
勾股定理使用的前提条件是三角形是直角三角形，对一般三角形一定不能使用．
【例8】如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝12米，则树高为( )．
A．13米 B．17米
C．18米 D．22米
解析：根据题意AC＝5米，且树垂直于地面，于是树的两部分和地面的一部分构成了一个直角三角形，运用勾股定理可以计算出BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169，所以BC＝13米，所以树高为AC＋BC＝5＋13＝18(米)．
答案：C
树高包括AC部分，不要忽略它．
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