浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第二十七讲 梯形》基础演练.doc

第二十七讲 梯形 课 前 必 读 考纲要求 1. 掌握梯形的概念； 2. 掌握等腰梯形的性质； 3. 掌握等腰梯形的判定 . 学.科.网 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 梯形中位线性质 (3 分 ) 填空题 容易 2011 年 等腰梯形的性质 (3 分 ) 填空题 中等 2012 年 等腰梯形的判定 (8 分 ) 解答题 中等 网 络 构 建 等腰梯形的学习 与特殊平行四边形相类似 还是围绕边、角、线 梯形转化是关键 见到中点中位线 它的性质应牢记 学.科.网 考 点 梳 理 1 ． 梯形 ：一组对边 _____ ，而另一组对边 _______ 的四边形，叫做梯形． 2 ． 梯形的分类 3 ．连接梯形两腰的 _____ 的线段叫做梯形的中位线．梯形的中位线 ___________ ，且等于 __________________ ． 学.科.网 梯形的概念、分类及梯形的中位线 平行 不平行 中点 平行于两底 上、下两底和的一半 等腰梯形 等腰梯形 性质 判定 1. 等腰梯形 ________ 的 两个底角相等 . 2. 等腰梯形的 对角线 _____ . 3. 等腰梯形 是 ___ 对称图形 . 1. 两 腰 _____ 的 梯形是 等腰梯形 2. ________ 的两个底角 相等的梯形是等腰梯形 . 3. 对角线 _____ 的 梯形是等腰梯形 . 等腰梯形的性质和判定 同一底上 相等 轴 相等 同一底上 相等 对 接 中 考 常考角度 根据等腰梯形的性质进行有关的计算和证明． 对接点一：等腰梯形的性质 【 例题 1 】 (2012· 丽水 ) 如图，在直角梯形 ABCD 中，∠ A ＝ 90 °， ∠ B ＝ 120 °， AD ＝ ， AB ＝ 6. 在底边 AB 上取点 E ，在射线 DC 上取点 F ，使得 ∠ DEF ＝ 120 ° . 当点 E 是 AB 的中点时，线段 DF 的长度是 ________ ． 答案 　 6 1. 梯形问题常常转化为三角形或平行四边形问题； 2 ．遇角度求线段常常利用解直角三角形． 【 预测 1 】 如图所示，在等腰梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AD ＝ BC ， AC ⊥ BC ， ∠ B ＝ 60 °， BC ＝ 2 cm ，则上底 DC 的长是 ________ ． 解析 　 ∵ AB ∥ CD ， AD ＝ BC ， ∴∠ DAB ＝ ∠ B ＝ 60 °， ∵ AC ⊥ BC ， ∴∠ ACB ＝ 90 °， ∴∠ CAB ＝ 30 °， ∴∠ DAC ＝∠ CAB ＝ 30 °， ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ DCA ＝ ∠ CAB ， ∴∠ DAC ＝ ∠ DCA ， ∴ CD ＝ AD ＝ BC ＝ 2 cm. 答案 　 2 cm 【 预测 2 】 某花木场有一块如等腰梯形 ABCD 的空地 ( 如图 ) ，各边的中点分别是 E ， F ， G ， H ，用篱笆围成的四边形 EFGH 场地的周长为 40 cm ，则对角线 AC ＝ ________cm. 答案 　 20 常考角度 应用等腰梯形的判定定理及定义进行等腰梯形的判定． 对接点二：等腰梯形的判定 【 例题 2 】 (2012· 毕节地区 ) 如图 ① ，有一张矩形纸片，将它沿对角线 AC 剪开，得到 △ ACD 和△ A ′ BC ′ . (1) 如图 ② ，将 △ ACD 沿 A ′ C ′ 边向上平移，使点 A 与点 C ′ 重合，连接 A ′ D 和 BC ，四边形 A ′ BCD 是 ________ 形； (2) 如图 ③ ，将 △ ACD 的顶点 A 与 A ′ 点重合，然后绕点 A 沿逆时针方向旋转，使点 D 、 A 、 B 在同一直线上，则旋转角为 ________ 度；连接 CC ′ ，四边形 CDBC ′ 是 ________ 形； (3) 如图 ④ ，将 AC 边与 A ′ C ′ 边重合，并使顶点 B 和 D 在 AC 边的同一侧，设 AB 、 CD 相交于 E ，连接 BD ，四边形 ADBC 是什么特殊四边形？请说明你的理由． 分析 　 (1) 利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可； (2) 利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可； (3) 利用等腰梯形的判定方法得出 BD ∥ AC ， AD ＝ CE ，即可得出答案． (1) 解析 　证明　 ∵ AD ＝ AB ， AA ′ ＝ AC ， ∴ A ′ C 与 BD 互相平分， ∴四边形 A ′ BCD 是平行四边形． 答案 　平行四边形 (2) 解析 　 ∵ DA 垂直于 AB ，逆时针旋转到点 D 、 A 、 B 在同一直线上， ∴ 旋转角为 90 度； 证明　 ∵∠ D ＝ ∠ B ＝ 90 °， A ， D ， B 在一条直线上， ∴ CD ∥ BC ′， ∴ 四边形 CDBC ′ 是直角梯形； 答案 　 90 　直角梯形 (3) 解　 四边形 ADBC 是等腰梯形； 证明　过点 B 作 BM ⊥ AC ，过点 D 作 DN ⊥ AC ，垂足分别为 M ， N ，则 BM ∥ DN ∵有一张矩形纸片，将它沿对角线 AC 剪开，得到 △ ACD 和 △ A ′ BC ′. ∴△ ACD ≌△ A ′ BC ′， ∴ BM ＝ ND ， ∴四边形是 NDBM 是平行四边形 ∴ BD ∥ AC ， ∵ AD ＝ BC ， ∴四边形 ADBC 是等腰梯形． 1. 根据图形，先猜结论，然后再运用相应的判定定理进行判定； 2 ．平移、旋转前后的图形是全等的关系； 3 ．等腰梯形的定义是常用的一种判定方法． (1) 有两个角相等的梯形是等腰梯形； (2) 有两条对角线相等的梯形是等腰梯形； (3) 有两条边相等的梯形是等腰梯形； (4) 有两个直角的梯形是直角梯形． 其中不正确的命题有 ( 　　 ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 解析 　根据梯形的判定与性质可判断： (1) 错误，直角梯形中有两个角是直角相等，但不是等腰梯形； (2) 正确； (3) 错误，一腰与一底相等时，不是等腰梯形； (4) 正确．所以不正确的命题有 2 个． 答案 　 B 【 预测 3 】 有如下命题： 【 预测 4 】 如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，且 AD ＝ DC ，对角线 BD 平分 ∠ ABC . 求证：梯形 ABCD 是等腰梯形． 证明 　∵ AD ∥ BC ， ∴∠ ADB ＝ ∠ DBC ， ∵ BD 平分 ∠ ABC ， ∴∠ ABD ＝ ∠ CBD ， ∴∠ ADB ＝ ∠ ABD ， ∴ AB ＝ AD ， ∵ AD ＝ DC ， ∴ AB ＝ CD ， ∵四边形 ABCD 是梯形， ∴梯形 ABCD 是等腰梯形． 常考角度 运用梯形中位线的性质进行相关的计算 ． 对接点三：梯形的中位线 【 例题 3 】 (2012· 咸宁 ) 如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∠ C ＝ 90 °， BE 平分 ∠ ABC 且交 CD 于 E ， E 为 CD 的中点， EF ∥ BC 交 AB 于 F ， EG ∥ AB 交 BC 于 G ，当 AD ＝ 2 ， BC ＝ 12 时，四边形 BGEF 的周长为 ________ ． 分析　 先根据 EF ∥ BC ， EG ∥ AB 得出四边形 BGEF 是平行四边形，再由 BE 平分 ∠ ABC 且交 CD 于 E 可得出 ∠ FBE ＝ ∠ EBC ，由 EF ∥ BC 可知， ∠ EBC ＝ ∠ FEB ，故 ∠ FBE ＝ ∠ FEB ，由此可判断出四边形 BGEF 是菱形，再根据 E 为 CD 的中点， AD ＝ 2 ， BC ＝ 12 ，求出 EF 的长，进而可得出结论． 答案　 28 1. 根据题意，猜出四边形 BGEF 是菱形并加以判断是关键； 2 ．见线段中点，结合图形，应联想到梯形中位线的性质． 【 预测 5 】 若梯形的面积为 8 cm 2 ，高为 2 cm ，则此梯形的中位线长是 ( 　　 ) A ． 2 cm B ． 4 cm C ． 6 cm D ． 8 cm 解析 　根据梯形的面积＝梯形的中位线 × 高，得梯形的中位线的长＝ 8÷2 ＝ 4(cm) ． 答案 　 B 【 预测 6 】 如图，在直角梯形 ABCD 中，已知 AB ∥ DC ， ∠ DAB ＝ 90 °， ∠ ABC ＝ 60 °， EF 为中位线，且 BC ＝ EF ＝ 4 ，那么 AB ＝ ( 　　 ) A ． 3 B ． 5 C ． 6 D ． 8 解析　 如图，作 CG ⊥ AB 于 G 点， ∵∠ ABC ＝ 60 °， BC ＝ EF ＝ 4 ， ∴ BG ＝ 2 ， 设 AB ＝ x ，则 CD ＝ x － 2 ， ∵ EF 为中位线， ∴ AB ＋ CD ＝ 2 EF ，即 x ＋ x － 2 ＝ 8 ，解得 x ＝ 5. 答案 　 B 易 错 防 范 问题 1. 对等腰梯形的概念及判定方法理解不透彻， 出现了混淆； 问题 2. 添加辅助线进行梯形的转化常常出错． 梯形中常见错误 【 例题 4 】 (2012· 西城区 ) 下列说法中正确的是 ( 　　 ) A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 B ．有一组对角互补的梯形是等腰梯形 C ．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 D ．有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形 [ 错解 ] 　学生往往选 A. [ 错因分析 ] 　本题很容易错选 A ，认为平行的两边为底，相等的对边一定是腰，主要是对梯形的概念认识不清．如一个平行四边形符合一组对边平行，另一组对边相等，但它不是梯形．只有当一组对边平行，另一组对边相等且不平行时才是等腰梯形． [ 正解 ] 　 A 项平行四边形满足条件，故 A 错； C 项一腰和上底相等的梯形不是等腰梯形，故 C 错； D 项矩形的两组对角分别相等，不是等腰梯形，故 D 错．所以选 B( 条件可得出梯形在同一底上的两个角相等 ) ． 熟记等腰梯形的定义及判定方法，尤其准确把握其包含的条件． 课 时 跟 踪 检 测 点击链接