一元二次方程的应用
1．列一元二次方程解应用题的步骤
(1)应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程．概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案．
(2)一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：
①审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系．
②设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接)．
③列：是指列方程，根据等量关系列出方程．
④解：就是解所列方程，求出未知量的值．
⑤验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去．
⑥答：即写出答案，不要忘记单位名称．
找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键．
【例1】某单位组织员工去某风景区旅游，共支付给阳光旅行社旅游费用27 000元．请问该单位这次共有多少员工去该风景区旅游？
分析：人数×人均旅游费用＝付给旅行社的总费用，可设这次共有x名员工去某风景区旅游，由于1 000×25＝25 000＜27 000，所以员工人数肯定超过25人，由于人数比25增加了(x－25)人，因此人均费用比1 000元降低了20(x－25)元，即此时人均费用为[1 000－20(x－25)]元．这类问题的解决通法是设出未知数后，用未知数与给出的一组数据作比较，比较的目的就是利用规律表示出相等关系，进而得到方程，解出方程后，还需判断解是否符合实际意义．
解：设该单位这次共有x名员工去风景区旅游．
因为1 000×25＝25 000＜27 000，
所以员工人数一定超过25人．
可得方程[1 000－20(x－25)]x＝27 000.
整理，得x2－75x＋1 350＝0，
解得x1＝45，x2＝30.
当x1＝45时，1 000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；
当x2＝30时，1 000－20(x－25)＝900＞700，符合题意．
答：该单位这次共有30名员工去风景区旅游．
2．常见应用题类型
(1)数字问题
解有关数字问题的应用题，首先要能正确地表示诸如多位数、奇偶数，连续的整数的形式，如一个三位数可表示为100a＋10b＋c，连续三个偶数可表示为2n－2，2n,2n＋2(n
为整数)等，其次解这类问题的关键是正确而巧妙地设出未知量，一般采用间接设元法，如有关奇数个连续数问题，一般设中间一个数为x，再用含x的代数式表示其他数，又如多位数问题，一般设这个多位数的某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字，等量关系由题目中的关键语句“译出”．
(2)增长率问题
增长率问题分正增长率问题与负增长率问题．
这类问题是在原来的量的基础上增长(或降低)多少个百分比的问题．若设原来的产量为a，年平均增长率为x，则一年后的产量为a(1＋x)．而两年后的产量又以a(1＋x)为基础，因平均增长率为x，可表示为a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2.同样，若x表示平均降低率，则一年后产量为a(1－x)，两年后产量为a(1－x)2.
也就是说，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义后，即可利用公式a(1＋x)2＝b求解，其中a＜b.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式a(1－x)2＝b即可求解，其中a＞b.
【例2－1】某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．
分析：本题等量关系比较明显：新的两位数×原来的两位数＝736，关键是如何表示出这两个两位数和整理方程，要注意检验是否求得的解都符合题意．
解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(5－x)，
由题意，得[10x＋(5－x)][10(5－x)＋x]＝736.
整理，得x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当x＝2时，5－x＝3，符合题意，原两位数是23.
当x＝3时，5－x＝2符合题意，原两位数是32.
答：原来的两位数是23或32.
【例2－2】我国人均用纸为28千克，每个初中毕业生离校时大约有10千克废纸；用1吨废纸造出来的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．
(1)若某市2012年初中毕业生中环保意识较强的5万人，能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？
(2)该市从2008年初开始实施天然林保护工程，到2010年初成效显著，森林面积大约由1 374.094万亩增加到1 500.545万亩．假设该地区年用纸量的15%可以作为废纸回收利用，并且森林面积年均增长率保持不变，请你按该市总人口为415万计算：在从2012年初到2013年初这一年内，该市新增加的森林面积与因废纸回收利用所能保护的森林面积之和最多可能达到多少亩(精确到1亩)?
解：(1)5万名初中毕业生废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数为5×104×10÷1 000×18÷80＝112.5(亩)．
(2)设2008年到2010年初我市森林面积年均增长率为x，则1 374.094(1＋x)2＝1 500.545.
故x1＝0.045＝4.5%，x2＝－2.045(舍去)．
所以2012年初到2013年初全年新增森林面积：
1 500.545×104×(1＋4.5%)2×4.5%≈737 385(亩)．
又全市回收废纸所能保护的森林面积最多为
415×104×28×15%÷1 000×18÷50≈6 275(亩)．
新增森林面积和保护森林面积之和为：
737 385＋6 275＝743 660(亩)．
3．销售利润问题
在这类问题中，有进价(a)、售价(b)、利润(p)、件数(n)等相关的量，这些量之间的关系可用公式p＝(b－a)n来表示，同时，件数(n)又经常与售价(b)联系在一起，在解答此类问题时，一定要准确地找到反映它们关系的代数式．即利润问题主要用到的关系式是：(1)每件利润＝每件售价－每件进价；(2)总利润＝每件利润×总件数．
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
【例3】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：不妨设每件衬衫降价x元，则每件衬衫盈利(40－x)元，根据每降价1元，就多售2件得降价x元，多售2x件，即降价后每天可卖出(20＋2x)件，由关系式：总利润＝每个商品的利润×售出商品的总量，可列出方程．解列出的方程，对所求结果，还要结合“减少库存”进行取舍，从而得到最后结果．
解：设每件衬衫降价x元，依题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200，整理，得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10，x2＝20，因为要尽快减少库存，所以x＝10(元)舍去．
答：每件衬衫应降价20元．
微信/支付宝扫码支付