浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第二十四讲 直角三角形》基础演练.doc

第二十四讲 直角三角形 课 前 必 读 考纲要求 1. 了解直角三角形的概念，掌握 “ 直角三角形的两锐角互余 ” 的性质； 2. 探索并掌握 “ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ” 的性质； 3. 了解含 30 °角的直角三角形的性质； 4. 探索并掌握 “ 有两个角互余的三角形是直角三角形 ” 的判定方法，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 5. 体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单问题； 6. 掌握角的平分线的概念、性质和判定 . 学.科.网 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 直角三角形的性质 (3 分 ) 选择题 容易 2011 年 直角三角形的性质及判定 (6 分 ) 解答题 中等 2012 年 勾股定理及逆定理的综合应用 (10 分 ) 学.科.网 证明题 稍难 网 络 构 建 性质判定要熟记 勾股定理更重要 验证勾股智慧多 Rt △全等有特法 角平分线应用多 综合运用有它在 化整为零用到它 学.科.网 考 点 梳 理 (2) 直角三角形斜边上的 _____ 等于斜边的 _____ ； (3) 直角三角形中， 30 °角所对的直角边是斜边的 _____ ； (4) 直角三角形两直角边的 _______ 等于斜边的平方． 直角三角形的性质和判定 1 ． 性质 ： (1) 直角三角形的两锐角 _____ ； 互余 中线 一半 一半 平方和 (2) 有两个角 _____ 的三角形是直角三角形； (3) 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 _____ ，那么这个三角形是直角三角形； (4) 如果三角形一边上的 _____ 等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 2 ． 判定 ： (1) 有一个角是 _____ 的三角形是直角三角形； 直角 互余 平方 中线 名师助学 1 ．明确性质的前提是直角三角形，考虑直角三角形的性质时，要从边、角及斜边的中线三个方面； 2 ．明确判定的结论是直角三角形，判定就是找使三角形成为直角三角形的条件，同样要从三角形的角、边，一边上的中线三个方面考虑． 1 ． 勾股定理 ：如果直角三角形的直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 _________ ． 2 ． 逆定理 ：如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ，那么这个三角形是 ___________ ． 3 ．能用拼图探索勾股定理，理解赵爽弦图中的直角三角形和大、小正方形的边长、面积之间的关系． 勾股定理和勾股定理的逆定理 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 直角三角形 名师助学 1 ．勾股定理多用来计算和证明，有时用它列方程解决计算问题； 2 ．勾股定理的逆定理用来判定直角三角形； 3 ．赵爽弦图中，大正方形的边长是直角三角形的斜边长，小正方形的边长是直角三角形两直角边的差，大正方形的面积等于直角三角形面积的 4 倍与小正方形面积的和． 1 ． 特殊判定方法 ： _____ 和 ___________ 对应相等的两个直角三角形全等 ( 可以简写成 “_____________” 或 “_____ ” ) 2 ． 一般三角形全等的判定方法 ： ASA 、 AAS 、 SAS 、 SSS 对判定两个直角三角形全等仍适用． 两直角三角形全等的判定方法 斜边 一条直角边 斜边、直角边 HL 名师助学 1 ．判定两个直角三角形全等要注意隐含条件 “ 直角 ” ； 2 ．“ HL ”仅适用于判定两个直角三角形全等，而对一般三角形是不成立的． 对 接 中 考 常考角度 1 ．直角三角形的判定方法； 2 ．直角三角形的性质． 对接点一：直角三角形的性质和判定 【 例题 1 】 (2012 · 济南 ) 如图， ∠ MON ＝ 90 °，矩形 ABCD 的顶点 A 、 B 分别在边 OM ， ON 上，当 B 在边 ON 上运动时， A 随其中 AB ＝ 2 ， BC ＝ 1 ，运动之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，过程中，点 D 到点 O 的最大距离为 ( 　　 ) 分析 　取 AB 的中点 E ，连接 OE 、 DE 、 OD ，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当 O 、 D 、 E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大，再根据勾股定理列式求出 DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 OE 的长，两者相加即可得解． 答案 　 A 【 例题 2 】 (2012· 潍坊 ) 轮船从 B 处以每小时 50 海里的速度沿南偏东 30 °方向匀速航行，在 B 处观测灯塔 A 位于南偏东 75 °方向上， 轮船航行半小时到达 C 处，在 C 处观测灯塔 A 位于北偏东 60 °方向上，则 C 处与灯塔 A 的距离是 ( 　　 ) 分析 　根据题中所给信息，求出∠ BCA ＝ 90 °，再求出 ∠ CBA ＝ 45 °，从而得到 △ ABC 为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的知识解答． 解析 　根据题意， ∠1 ＝ ∠2 ＝ 30 °， ∵∠ ACD ＝ 60 °， ∴∠ ABC ＝ 30 °＋ 60 °＝ 90 °， ∴∠ CBA ＝ 75 °－ 30 °＝ 45 °， ∴△ ABC 为等腰直角三角形， ∵ BC ＝ 50×0.5 ＝ 25 ， ∴ AC ＝ BC ＝ 25( 海里 ) ． 故选 D. 答案 　 D 直角三角形的判定基本上是从两个角度去思考．其一，观察三角形的角，若有一个角为直角，或有两个角互余，都可判定为直角三角形；其二，运用勾股定理的逆定理． 利用勾股定理的逆定理判别一个三角形是否为直角三角形的步骤： 1. 确定最大边； 2. 验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方． 答案 　 B 【 预测 2 】 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，垂足为 D ， E 是 AC 的中点．若 DE ＝ 5 ，则 AB 的长为 ________ ． 解析 　 ∵ AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， E 是 AC 的中点， ∴ AC ＝ 2 DE ＝ 10 ， ∴ AB ＝ 10. 答案 　 10 常考角度 1 ．直角三角形全等的特殊判定方法 “HL ”． 2 ．角平分线的性质． 对接点二：直角三角形的全等与角平分线 【 例题 3 】 (2012· 乐山 ) 如图，在 △ ABC 中， ∠ C ＝ 90 °， AC ＝ BC ＝ 4 ， D 是 AB 的中点，点 E 、 F 分别在 AC 、 BC 边上运动 ( 点 E 不与点 A 、 C 重合 ) ，且保持 AE ＝ CF ，连接 DE 、 DF 、 EF . 在此运动变化过程中，有下列结论： ①△ DFE 是等腰直角三角形； ②四边形 CEDF 不可能为正方形； ③四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化； 其中正确结论的个数是 ( 　　 ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 解析 　 ① 连接 CD ； ∵△ ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ DCB ＝ ∠ A ＝ 45 °， CD ＝ AD ＝ DB ； ∵ AE ＝ CF ， ∴△ ADE ≌△ CDF ； ∴ ED ＝ FD ， ∠ CDF ＝ ∠ EDA ； ∵∠ ADE ＋ ∠ EDC ＝ 90 °， ∴∠ EDC ＋ ∠ CDF ＝ ∠ EDF ＝ 90 °， ∴△ DFE 是等腰直角三角形，故此选项正确； 答案 　 B 1. 题目中有角平分线，常添加过角平分线上一点作角的两边的垂线或把与角平分线垂直的线段延长与角的两边相交构造等腰三角形，因此角平分线的性质常与等腰三角形及轴对称结合在一起进行考查． 2 ．直角三角形全等的判定方法除 AAS 、 SAS 、 ASA ， SSS 还有 HL. 【 预测 3 】 如图， CD ⊥ AB 于点 D ， EF ⊥ AB 于点 F ， AF ＝ BD ， AC ＝ BE . 证明 (1)∠ A ＝ ∠ B ； (2) AQ ＝ BP . 证明 　 (1)∵ AF ＝ BD ， ∴ AF ＋ FD ＝ BD ＋ FD ， 即 AD ＝ BF . 在 Rt △ ADC 和 Rt △ BFE 中， ∴ Rt △ ADC ≌ Rt △ BFE ， (HL) ∴∠ A ＝ ∠ B . 常考角度 1 ．利用勾股定理已知两边求第三边． 2 ．利用勾股定理列方程解决折叠问题中的计算． 对接点三：直角三角形的有关计算 【 例题 4 】 (2012· 杭州 ) 如图，是数轴的一部分，其单位长度为 a ，已知 △ ABC 中， AB ＝ 3 a ， BC ＝ 4 a ， AC ＝ 5 a . 解　 (1) 如图所示： 【 例题 5 】 (2012 · 绍兴 ) 小明和同桌小聪在课后复习时，对课本 “ 目标与评定 ” 中的一道思考题，进行了认真的探索． 【思考题】 如图，一架 2.5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时 B 到墙 C 的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么点 B 将向外移动多少米？ (1) 请你将小明对“思考题”的解答补充完整： (2) 解完 “ 思考题 ” 后，小聪提出了如下两个问题： 【问题一 】 在 “ 思考题 ” 中，将 “ 下滑 0.4 米 ” 改为 “ 下滑 0.9 米 ” ，那么该题的答案会是 0.9 米吗？为什么？ 【 问题二 】 在 “ 思考题 ” 中，梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 分析　 (1) 直接把 B 1 C 、 A 1 C 、 A 1 B 1 的值代入进行解答即可： (2) 把 (1) 中的 0.4 换成 0.9 可知原方程不成立；设梯子顶端从 A 处下滑 x 米，点 B 向外也移动 x 米代入 (1) 中方程，求出 x 的值符合题意． (1)( x ＋ 0.7) 2 ＋ 2 2 ＝ 2.5 2 　 0.8 　－ 2.2( 舍去 ) 　 0.8 (2) 解 　 ① 不会是 0.9 米， 若 AA 1 ＝ BB 1 ＝ 0.9 ，则 A 1 C ＝ 2.4 － 0.9 ＝ 1.5 ， B 1 C ＝ 0.7 ＋ 0.9 ＝ 1.6 ， 1 ． 5 2 ＋ 1.6 2 ＝ 4.81 ， 2.5 2 ＝ 6.25 ∴该题的答案不会是 0.9 米． ②有可能． 设梯子顶端从 A 处下滑 x 米，点 B 向外也移动 x 米， 则有 ( x ＋ 0.7) 2 ＋ (2.4 － x ) 2 ＝ 2.5 2 ， 解得： x ＝ 1.7 或 x ＝ 0( 舍 ) ∴当梯子顶端从 A 处下滑 1.7 米时，点 B 向外也移动 1.7 米，即梯子顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离有可能相等． 【 例题 6 】 (2012· 吉林 ) 如图， △ AOB 和 △ COD 均为等腰直角三角形， ∠ AOB ＝ ∠ COD ＝ 90 °， D 在 AB 上． (1) 求证： △ AOC ≌△ BOD ； (2) 若 AD ＝ 1 ， BD ＝ 2 ，求 CD 的长． 分析 　 (1) 根据等腰直角三角形的性质，利用 SAS 判定全等； (2) 根据全等的性质先推出 ∠ CAD ＝ 90 °，再利用勾股定理求 CD 的长． (1) 证明 　 ∵△ AOB 和 △ COD 都是等腰直角三角形， ∴∠ COD ＝ ∠ AOB ＝ 90 °， OC ＝ OD ， OA ＝ OB ∴∠ COA ＝ ∠ DOB ∴△ AOC ≌△ BOD (SAS) (2) 解 　由 △ AOC ≌△ BOD ，得 AC ＝ BD ＝ 2 ， ∠ CAO ＝ ∠ DBO 又 ∵∠ OAB ＋ ∠ B ＝ 90 °， ∴∠ CAD ＝ 90 ° 1. 直角三角形中，已知两边或一锐角计算时，必须分清哪条边和哪个锐角，在条件不明确的情况下，要分类讨论． 2 ．直角三角形中已知一边长和另外两边关系时，常借助勾股定理列出方程求解，这一点在解决折叠问题中边长的计算时更为显著． 【 预测 4 】 如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直，如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为 ( 　　 ) A ． 600 m B ． 500 m C ． 400 m D ． 300 m 答案 　 B 【 预测 5 】 如图，圆柱底面半径为 2 cm ，高为 9 π cm ，点 A 、 B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且 A 、 B 在同一母线上，用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B ，求棉线最短为 ________cm. 答案 　 15 π 易 错 防 范 问题 1. 对直角三角形的边、角该分类讨论时，不分情况讨 论，或即使分情况了，也没考虑全所有情况； 问题 2. 本部分性质及定理较多，易混用； 问题 3. 本部分常和等腰三角形、三角函数、函数图象、全 等三角形、相似三角形、圆综合，往往不知从何处 下手． 直角三角形常见错误 【 例题 7 】 一个等腰三角形形状的花圃面积为 30 m 2 ，其一边长为 10 m ，求该等腰三角形花圃的另两边长． [ 错因分析 ] 　题目中的一边为 10 m ，并没明确该边是底边还是腰，当该边是腰时，该三角形是锐角三角形还是钝角三角形，都应分情况讨论． 遇到等腰三角形时，当腰和顶角不明确时，要分情况讨论，并且要考虑全面，不要漏掉． 课 时 跟 踪 检 测 点击链接