浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第二十三讲 等腰三角形》基础演练.doc

第二十三讲 等腰三角形 课 前 必 读 考纲要求 1. 了解等腰三角形的有关概念，会用分类的思想解决等腰三角形的有关问题； 2. 探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件； 3. 了解等边三角形的概念，探索等边三角形的性质和一个三角形是等边三角形的条件； 4. 已知底边及底边上的高， 能作出等腰三角形； 5. 掌握线段的垂直平分线的概念、性质、判定 . 学.科.网 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 等腰三角形的概念及分类讨论 (6 分 ) 解答题 中等 2011 年 等腰三角形及等边三角形的对称性 (3 分 ) 选择题 容易 2012 年 等腰三角形的判定性质的综合题 (3 分 ) 学.科.网 证明题 容易 网 络 构 建 等腰等边关系简 等边含在等腰中 性质判断多互逆 综合应用最易混 辨明条件谁在前 对折重合轴对称 三线合一内涵多 学.科.网 考 点 梳 理 1 ． 定义 ：有两条边 _____ 的三角形叫做等腰三角形． 2 ． 性质 ： (1) 等腰三角形两底角 _____ ，简称 __________ ； (2) 等腰三角形 ____________ 、底边上的中线、 _____ ______ 互相重合，简称三线合一； (3) 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 __________ _______ 直线． 3 ． 判定 ： (1) 有两条边 _____ 的三角形是等腰三角形； (2) 有 _____ 相等的三角形是等腰三角形，简称为 ______ _____ ． 等腰三角形 相等 相等 等边对等角 顶角平分线 底边 底边上的高 两角 等角对 上的高 所在的 相等 等边 名师助学 1 ．性质的前提是等腰三角形，判定的结论是等腰三角形． 2 ．考虑等腰三角形的性质和判定时，要从以下三个方面思考： (1) 边， (2) 角， (3) 对称性． 1 ． 定义 ： _______ 都相等的三角形叫做等边三角形． 2 ． 性质 ： (1) 等边三角形三条边 _______ ，三个角 _______ ，且每个角都等于 _____ ； (2) 等边三角形是 ____ 对称图形，它有 ____ 条对称轴． 3 ． 判定 ： (1) 三个边都 _____ 的三角形是等边三角形； (2) 三个角都 _____ 的三角形是等边三角形； (3) 有一个角等于 _____ 的 ____________ 是等边三角形． 等边三角形 三条边 都相等 都相等 轴 三 相等 相等 60 ° 等腰三角形 60 ° 名师助学 1 ．因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质； 2 ．判定等边三角形时，常用 “ 有一个角是 60 °的等腰三角形，是等边三角形 ” 方法判定． 1 ． 定义 ：经过线段的 _____ ，并且和这条线段 _____ 的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2 ． 性质 ：线段垂直平分线上的 ___ 到这条线段两端点的距离 _____ ． 3 ． 判定 ：到一条线段两个端点距离 _____ 的点，在这条线段的垂直平分线上． 线段的垂直平分线 中点 垂直 点 相等 相等 名师助学 若有两点到一条线段两端点的距离相等，根据两点确定一条直线，过这两点的直线就是这条线段的垂直平分线． 对 接 中 考 常考角度 1 ．等腰三角形的性质； 2 ．等腰三角形的判定； 3 ．等腰三角形底边上的高、顶角的平分线、底边上的中线，三线合一． 对接点一：等腰三角形的性质和判定 【例题 1 】 (2012· 宁波 ) 如图， AE ∥ BD ， C 是 BD 上的点，且 AB ＝ BC ， ∠ ACD ＝ 110 °，则 ∠ EAB ＝ ________ 度． 分析 　首先利用 ∠ ACD ＝ 110 °求得 ∠ ACB 与 ∠ BAC 的度数，然后利用三角形内角和定理求得∠ B 的度数，然后利用平行线的性质求得结论即可． 解析 　 ∵ AB ＝ BC ， ∴∠ ACB ＝ ∠ BAC ∵∠ ACD ＝ 110 ° ∴∠ ACB ＝ ∠ BAC ＝ 70 °∴∠ B ＝ 40 °， ∵ AE ∥ BD ， ∴∠ EAB ＝ 40 °， 故答案为 40 ° . 答案 　 40 【 例题 2 】 (2012· 东营 ) 如图， AB ＝ AC ， CD ⊥ AB 于 D ， BE ⊥ AC 于 E ， BE 与 CD 相交于点 O . (1) 求证： AD ＝ AE ； (2) 连接 OA ， BC ，试判断直线 OA ， BC 的关系，并说明理由． 分析 　 (1) 由已知条件易证 △ ACD ≌△ ABE ，所以 AD ＝ AE (2) OA 垂直平分 BC . 可通过证 △ DOA ≌△ EOA ，得 ∠ DAO ＝ ∠ EAO ， 所以 OA ⊥ BC ，且 OA 平分 BC . 1. 等腰三角形两边相等、两角相等、三线合一的性质与三角形全等相结合是证明线段、角相等或垂直等常用的方法； 2 ．等腰三角形是轴对称图形、 “ 三线合一 ” 的特性使顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线成为解答等腰三角形的相关问题时常用的辅助线； 3 ．等腰三角形的判定方法： (1) 定义法：证明两条边相等； (2) 判定定理：等角对等边． 【 预测 1 】 如图所示，做如下操作：在等腰 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 平分 ∠ BAC ，交 BC 于点 D ，将 △ ABD 作关于直线 AD 的轴对称变换，所得的三角形与 △ ACD 重合．对于下列结论： ① 在同一三角形中，等角对等边； ② 在同一三角形中，等边对等角； ③ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．由上述操作可得出的是 ________( 将正确结论的序号都填上 ) ． 解析 　由于本题的条件是等腰三角形，所以应填 ② ， ③. 答案 　 ② 　 ③ 【 预测 2 】 已知：如图，锐角 △ ABC 的两条高 BD 、 CE 相交于点 O ，且 OB ＝ OC . (1) 求证：△ ABC 是等腰三角形． (2) 判断点 O 是否在 ∠ BAC 的平分线上，并说明理由． (1) 证明 　 ∵ OB ＝ OC ， ∴∠ OBC ＝ ∠ OCB ， 又 ∵∠ BEO ＝ ∠ CDO ＝ 90 ° ∠ BOE ＝ ∠ COD ∴∠ OBE ＝ ∠ OCD 　 ∴∠ ABC ＝ ∠ ACB ∴ AB ＝ AC ∴△ ABC 是等腰三角形． (2) 解　 O 点在 ∠ ABC 的平分线上， 理由如下：由 (1) 可知 AB ＝ AC ， ∴点 A 在 BC 的垂直平分线上， ∵ OB ＝ OC ∴点 O 也在 BC 的垂直平分线上 ∴ AO 垂直平分 BC ， ∴ AO 平分∠ BAC ， 即点 O 在 ∠ BAC 的平分线上． 常考角度 1 ．等边三角形的性质； 2 ．等边三角形的判定； 3 ．等边三角形的轴对称性． 对接点二：等边三角形的性质与判定 【 例题 3 】 (2012· 杭州 ) 如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ＝ CD ，分别以 AB ， CD 为边向外侧作等边三角形 ABE 和等边三角形 DCF ，连接 AF ， DE . (1) 求证： AF ＝ DE ； (2) 若 ∠ BAD ＝ 45 °， AB ＝ a ， △ ABE 和 △ DCF 的面积之和等于梯形 ABCD 的面积，求 BC 的长． 分析 　 (1) 根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明 △ AED ≌△ DFA 即可． (2) 如图作 BH ⊥ AD ， CK ⊥ AD ，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出 BC 的长． (1) 证明 　在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ＝ CD ， ∴∠ BAD ＝ ∠ CDA ， 而在等边三角形 ABE 和等边三角形 DCF 中， AB ＝ AE ， DC ＝ DF ，且 ∠ BAE ＝ ∠ CDF ＝ 60 °， ∴ AE ＝ DF ， ∠ EAD ＝ ∠ FDA ， AD ＝ DA ， ∴△ AED ≌△ DFA (SAS) ， ∴ AF ＝ DE ； 等边三角形是特殊的等腰三角形，因此它不仅具有等腰三角形的一切性质，而且还具有一般等腰三角形所不具备的特性：等边三角形三边上的中线、高及三个内角平分线重合且交于同一点，这一点到三边的距离相等，到三顶点的距离相等，且到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍． 【 预测 3 】 已知等边 △ ABC 中，点 D 、 E 分别在边 AB 、 BC 上，把 △ BDE 沿直线 DE 翻折，使点 B 落在点 B ′ 处， DB ′ 、 EB ′ 分别交边 AC 于点 F 、 G ，若 ∠ ADF ＝ 80 °，则 ∠ EGC 的度数为 ________ ． 解析 　 ∵∠ BDE ＝ ∠ EDB ′ ， ∠ ADF ＝ 80 ° ∴∠ BDE ＝ ∠ B ′ DE ＝ 50 ° 又 ∵∠ B ＝ 60 ° ∴∠ BED ＝ ∠ B ′ ED ＝ 70 °， ∴∠ GEC ＝ 40 °， 又 ∵∠ C ＝ 60 ° ∴∠ EGC ＝ 80 ° 答案 　 80 ° 【 预测 4 】 已知：如图，在等边 △ ABC 的 AC 边上取中点 D ， BC 的延长线上取一点 E ，使 CE ＝ CD ，求证： BD ＝ DE . 证明 　 ∵△ ABC 是等边三角形，且 AD ＝ CD ∴∠ DBC ＝ 30 °， ∠ ACB ＝ 60 ° 又 ∵ CE ＝ CD ∴∠ E ＝ ∠ CDE ∴∠ ACB ＝ 2∠ E .∴∠ E ＝ 30 °∴∠ DBC ＝ ∠ E ， ∴ BD ＝ DE . 常考角度 1 ．线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 2 ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 对接点三：线段的垂直平分线 【 例题 4 】 (2012· 泰安 ) 如图，已知 AB ＝ AC ， ∠ A ＝ 36 °， AB 的中垂线 MN 交 AC 于点 D ，交 AB 于点 M ，有下面 3 个结论： ①射线 BD 是 ∠ ABC 的平分线； ②△ BCD 是等腰三角形；③△ AMD ≌△ BCD . (1) 判断其中正确的结论是哪几个？ (2) 从你认为是正确的结论中选一个加以证明． 分析 　顶角为 36 °的等腰三角形是 “ 黄金三角形 ” ，隐含很多结论．根据线段的垂直平分线又可以得出线段相等，又可进一步推出角相等． 解 　 (1) 正确的结论是 ①②. (2) 证明 ① ： ∵ MN 垂直平分 AB ， ∴ AD ＝ BD 又 ∵∠ A ＝ 36 ° ∴∠ ABD ＝ 36 ° 又 ∵ AB ＝ AC ， ∴∠ ABC ＝ 72 ° ∴∠ DBC ＝ 36 ° ∴ BD 平分 ∠ ABC . 【 预测 5 】 如图，在△ ABC 中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M ， N ，作直线 MN ，交 BC 于点 D ，连结 AD . 若 △ ADC 的周长为 10 ， AB ＝ 7 ，则 △ ABC 的周长为 ( 　　 ) A ． 7 B ． 14 C ． 17 D ． 20 解析 　由画法可知， MN 是 AB 的垂直平分线， ∴ AD ＝ BD 又 ∵ AD ＋ AC ＋ CD ＝ 10 ， ∴ AC ＋ CD ＋ BD ＝ 10 即 AC ＋ BC ＝ 10 ∵ AB ＝ 7 ， ∴△ ABC 的周长为 17. 答案 　 C 常考角度 1 ．对等腰三角形的角分顶角和底角讨论； 2 ．对等腰三角形的边分腰和底边讨论． 对接点四：分类讨论思想 【 例题 5 】 (2012· 铜仁 ) 如果等腰三角形两边长是 5 cm 和 3 cm ，那么它的周长是 ( 　　 ) A ． 8 cm B ． 11 cm C ． 13 cm 或 11 cm D ． 13 cm 分析 　已知等腰三角形的两边长，没明确说明谁是底和腰，所以要分情况． 解析 　当 5 cm 为腰长时，周长为 13 cm ， 当 5 cm 为底边长时，周长为 11 cm ， ∴ 选 C. 答案 　 C 等腰三角形的边有腰和底边之分，角有顶角与底角之分，高有在形内与形外之分，因此在与等腰三角形相关的某些问题中常会存在一些不确定因素，无法用统一的方法表述，解答时就需要按可能出现的所有情况分别讨论，加以解决． 【 预测 6 】 已知等腰三角形的一个内角为 70 °，则另两个角的度数是 ( 　　 ) A ． 55 °， 55 ° B ． 70 °， 40 ° C ． 55 °， 55 °或 70 °， 40 ° D ．以上都不对 解析 　当 70 °的角是底角时，另一底角为 70 °，顶角为 40 °；当 70 °的角是顶角时，两底角分别为 55 °， 55 ° . 答案 　 C 【 预测 7 】 某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为 20 m ，面积为 160 m 2 ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 ________m. 图 ① 图 ② 图 ③ 易 错 防 范 问题 1. 对题意理解不透，没进行分类讨论． 问题 2. 线段的垂直平分线要有两个到线段两端点距 离相等的点来确定，仅一点不能确定一条直线． 等腰三角形常见错误 【 例题 6 】 在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为 40 °，求 ∠ B 的度数． [ 错解 ] 　如图 (1)∵∠ AED ＝ 40 ° ∴∠ A ＝ 50 °， ∴∠ B ＝ 65 ° . [ 错因分析 ] 　只考虑了 △ ABC 为锐 角三角形的情况，少考虑了 △ ABC 为钝角三角形的情况． 图 (1) [ 正解 ] 　当 ∠ A 为锐角时，如图 (1) ， ∵∠ AED ＝ 40 ° 图 (2) ∴∠ A ＝ 50 °， ∴∠ B ＝ 65 ° 如图 (2) 当∠ A 为钝角时， AB 的垂直平分线交 CA 的延长线于 E ， ∵∠ AED ＝ 40 °， ∴∠ EAD ＝ 50 ° ∴∠ B ＝ 25 °， ∴∠ B ＝ 65 °或 25 ° . 图 (2) 1. 该分情况讨论时，必须分情况并且要考虑到所有情况； 2 ．综合应用时，图形往往较复杂，有等腰三角形，也有直角三角形，有时还会有四边形、圆和函数图象，这时一定要明确解每个小问题所在的三角形． 课 时 跟 踪 检 测 点击链接