一元二次方程
1．一元二次方程
(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
(2)一元二次方程必须满足的三个条件：①是整式方程，等号两边都是整式，即分母中不含未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.
确定一个方程是不是一元二次方程，应把握以上三个条件，只有同时具备这三个条件的方程才是一元二次方程．
【例1】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是__________．
①k2x＋5k＋6＝0；②x2－x－＝0；③3x2＋－2＝0；④3x2＋2－2＝0；⑤(3－x)2＝－1；⑥(2x－1)2＝(x－1)(4x＋3)．
解析：判断一个方程是否为一元二次方程的方法：首先看方程是否为整式方程；其次若是整式方程，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，若同时满足：只含一个未知数且未知数的最高次数是2，则是一元二次方程．若不具备，则不是一元二次方程．
答案：②⑤
2．一元二次方程的形式
(1)一元二次方程的一般形式
我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式(又叫做标准形式)，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
例如，在一元二次方程2x2－13x＋11＝0中，2x2是二次项，－13x是一次项，11是常数项，二次项系数和一次项系数分别为2和－13.
(2)一元二次方程的特殊形式
在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，由于ax2是二次项，所以a≠0，但是b，c均可为零．一元二次方程的特殊形式有：
①当a≠0，b＝0时，则ax2＋c＝0；
②当a≠0，c＝0时，则ax2＋bx＝0；
③当a≠0，b＝c＝0时，则ax2＝0.
(1)任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式．
(2)二次项系数、一次项系数和常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式．
(3)二次项系数、一次项系数、常数项除了数值外，还必须带符号．
【例2－1】把方程3x(x－1)＝2(x＋2)＋8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0，其中a≠0，a，b，c分别为二次项系数、一次项系数、常数项．
解：去括号，得3x2－3x＝2x＋4＋8，整理，得3x2－5x－12＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－12.
点拨：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，把非一般形式的一元二次方程化简，然后按未知数x的降幂形式排列，化为一元二次方程的一般形式，指出各项系数时，注意各项系数包括其前面的符号．
【例2－2】关于x的方程(m－1)x2＋(m＋1)x＋3m＋2＝0.
(1)当m＝__________时，为一元一次方程；
(2)当m__________时，为一元二次方程．
解析：一元一次方程的一般形式为ax＋b＝0(a≠0)，方程的最高次数是1．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，方程的最高次数是2．因此只要方程(m－1)x2＋(m＋1)x＋3m＋2＝0中的二次项系数为0，而
一次项系数不为0，方程即为一元一次方程；方程的二次项系数不为0，即为一元二次方程．所以当m－1＝0且m＋1≠0，即m＝1时，方程为一元一次方程；当m－1≠0，即m≠1时，方程为一元二次方程．
答案：(1)1 (2)≠1
点拨：掌握一元一次方程、一元二次方程的一般形式及所满足的条件是判别一元一次方程和一元二次方程的关键．对于一元一次方程来说，常数项可以是任意数，而一元二次方程的一次项系数和常数项都可以是任意数．
3．一元二次方程的根
(1)定义：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根．例如：x＝2，x＝3都是方程x2－5x＋6＝0的根．
(2)方程根的定义在解题时的应用
①判断一个值是否是一元二次方程的根．
②求一元二次方程中字母系数的值．
判断某些未知数的值是否是方程的根，主要是利用其定义．把所给的值代入原方程的左右两边，看是否使其左右两边相等．若相等，则是原方程的根；若不相等，则不是原方程的根．
【例3－1】判断x＝0，x＝－1，x＝是不是方程2x2－x＝3的根．
分析：
解：把x＝0代入方程2x2－x＝3的左右两边，得左边＝2×02－0＝0，右边＝3，因左边≠右边，所以x＝0不是2x2－x＝3的根；把x＝－1代入方程2x2－x＝3的左右两边，得左边＝2×(－1)2－(－1)＝3＝右边，所以x＝－1是2x2－x＝3的根；把x＝代入方程2x2－x＝3的左右两边，得左边＝2×()2－＝3＝右边，所以x＝是2x2－x＝3的根．
【例3－2】若2是方程x2－c＝0的一个根，则c的值是( )．
A．4 B．－4 C．2 D．－2
解析：根据方程的根的定义，把x＝2代入原方程可得4－c＝0，解得c＝4.
答案：A
4．根据实际情境列出一元二次方程
(1)面积问题
根据图形的面积列方程的等量关系一般为图形的面积公式．①若是矩形的面积问题，只需用未知数表示出矩形的长和宽，即可列出方程；②若是直角三角形的面积问题，只需用未知数表示出三角形的两条直角边，即可列出方程等．
(2)数字问题
解决有关数字的问题，关键是会表示所涉及的数字．常用的数字的表示方法：①三个连续整数，设中间的一个为x，则前后两个分别为x－1，x＋1；②三个连续偶数(或奇数)，设中间的一个为x，则前后两个分别为x－2，x＋2；③两位数＝十位上的数字×10＋个位上的数字；④三位数＝百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位上的数字．
【例4】根据题意列出方程：
(1)三个连续奇数的平方和是251，求这三个数．
(2)一个长方形花坛，长20 m，宽8 m，在它的四周有等宽的鹅卵石路，形成一个大长方形，其面积是花坛面积的1.8倍，求路的宽度．
分析：
(1)
(第一个数)2＋(第二个数)2＋(第三个数)2＝251
设中间一个数为x
(2)
大长方形的面积＝花坛面积×1.8
设路宽为x
解：(1)设中间的奇数为x，
则另外两个奇数分别是x＋2，x－2，
根据题意，得(x－2)2＋x2＋(x＋2)2＝251.
(2)设路宽为x m，
根据题意，得(20＋2x)(8＋2x)＝20×8×1.8.
5．如何讨论含参数的方程是一元二次方程或一元一次方程
(1)讨论依据：一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a≠0，且未知数x的最高次数必须是2，这是两个限定条件，二者缺一不可．
(2)两种类型
①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分(因为a＝0，方程中ax2项不存在)，当a≠0时，方程ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程．
②当a＝0，b≠0时，方程ax2＋bx＋c＝0就转化为一元一次方程了．
对带字母系数的方程，若方程中含有带字母系数的x2项，且出现“关于x的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论．
【例5】已知关于x的方程.
(1)m为何值时，它是一元二次方程？
(2)m为何值时，它是一元一次方程？
解：(1)⇒m＝.
∴当m＝时，原方程是一元二次方程．
(2)若使原方程为一元一次方程，则m的取值应分以下三种情况讨论：
①⇒m＝－.
②⇒⇒m＝±.
③⇒⇒m＝－1.
∴当m＝－或±或－1时，原方程是一元一次方程．
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