三角形的五心
一、三角形的重心
1、三角形重心的定义：三角形重心是三角形三边中线的交点.
2、三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
例1: 在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG=6，那么线段DG的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
重心顺口溜：
三条中线必相交,交点位置真奇妙,交点命名为“重心”,重心性质要明了，
重心分割中线段,线段之比听分晓:长短之比二比一,灵活运用掌握好．
二、三角形的垂心
1、三角形垂心的定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心.
2、三角形垂心的性质：锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心在三角形直角顶点；钝角三角形垂心在三角形外部.
例2:如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能
垂心顺口溜：
三角形上作三高，三高必于垂心交；高线分割三角形，出现直角三对整；
直角三角有十二，构成九对相似形；四点共圆图中有，细心分析可找清.
三、三角形的内心
1、三角形内心的定义：在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心.
2、三角形内心的性质：
设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
（1）三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
例3: 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙O是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=_____ ．
（2）∠BIC=90°+∠A.
例4:如图，在△ABC中，∠A=70°，点O是内心，则∠BOC=_____ ．
3.三角形内切圆半径
(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，
例5:如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=_____.
(2)在R△ABC中，∠C=90°，
(3)任意△ABC中，
例6:设△ABC的内切圆半径为3cm，△ABC的周长为20cm，则△ABC的面积是_____cm．
内心顺口溜：
三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．
四、三角形的外心
1、三角形外心的定义：在三角形中, 三角形三边中垂线的交点是这个三角形外接圆的圆心，而三角形外接圆的圆心就叫做三角形的外心.三角形的三个顶点就在这个外接圆上.
2、三角形外心的性质：
设△ABC的外接圆为☉G(R)，，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
(1)锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜
边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外.
例7: 已知△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，则△ABC的外心在（ ）
A．△ABC内 B．△ABC外 C．BC边中点 D．AC边中点
（2）∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).
例8:如图所示．△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小是（ ）
A．56° B．62° C．28° D．32
3.三角形外接圆半径
设三角形三边及其对角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C .
，
例9:三角形的一边长为a，它的对角为30°，则此三角形的外接圆的半径为_____ ．
外心顺口溜：
三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键．
五、三角形的旁心
1、三角形旁心的定义：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆.旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.
2、三角形旁心的性质：
（1）三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心.
（2）旁心到三角形三边的距离相等.
（3）三角形有三个旁切圆，三个旁心.旁心一定在三角形外.
附：当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.
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