浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第十三讲 函数的基础知识与平面直角坐标系》基础演练.doc

第十三讲 函数的基础知识与 平面直角坐标系 课 前 必 读 考纲要求 1. 了解函数的概念和三种表示法； 2. 能确定简单的整式、分式和实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求函数值； 3. 结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测； 4. 探索具体问题中的数量关系和变化规律； 5. 认识并能画出平面直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，能由点的位置写出它的坐标； 6. 能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置； 学.科.网 7. 在同一坐标系中感受图形变换后点的坐标的变化规律 . 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 根据条件确定点的坐标 (6 分 ) 解答题 中等 2011 年 确定函数自变量的取值范围 (3 分 ) 填空题 容易 2012 年 确定实际问题的函数图象 (3 分 ) 学.科.网 选择题 较难 网 络 构 建 坐标系是好工具 点和数对是一家 数形结合应用佳 函数抽象形象化 图形变换坐标化 学.科.网 考 点 梳 理 1 ． 函数的概念 ：在某个变化过程中，设有两个变量 x ， y ，如果对于 x 的 _______ 确定的值， y 都有 _____ 确定的值与之对应，那么就说 y 是 x 的函数， x 叫做 _______ ． 当 x 给定一个具体值时，对应的 y 值就是 _______ ． 2 ． 函数的表示方法 ： _______ 、 _______ 和 _______ ． 函数的有关知识 每一个 唯一 自变量 函数值 解析法 列表法 图象法 3 ． 函数的图象 ：把一个函数的自变量 x 与对应的函数 y 的值分别作为点的 _______ 和 _______ ，在直角坐标系中描出它的 _______ ，所有 __________________ 叫做这个函数的图象． 横坐标 纵坐标 对应点 这些点组成的图形 名师助学 1 ．函数是指两个变量 x ， y 之间的关系，其要点是对 x 的每一个值 y 都有唯一的值与之对应． 2 ．会根据函数图象的陡峭程度说明实际问题中函数值 y 随自变量 x 的变化而变化的快慢． 3 ．能从图象中发现函数的一些性质． 1 ． 定义 ：具有公共 _____ 的两条互相 _____ 的 _____ 就构成了平面直角坐标系． 2 ．坐标平面内的点与 ________________ 对应． 3 ．各象限点的坐标符号规律 (1) 点 P ( x ， y ) 在第一象限⇔ _________ ； (2) 点 P ( x ， y ) 在第二象限⇔ _________ ； (3) 点 P ( x ， y ) 在第三象限⇔ _________ ； (4) 点 P ( x ， y ) 在第四象限⇔ _________ ； 平面直角坐标系的有关知识 有序实数对一一 ( ＋，＋ ) ( －，＋ ) ( －，－ ) ( ＋，－ ) 原点 垂直 数轴 4 ．坐标轴上点的坐标特征 (1) 若点 P ( x ， y ) 在 x 轴上⇔ _____ ； (2) 若点 P ( x ， y ) 在 y 轴上⇔ _____ ； (3) 若点 P ( x ， y ) 是原点⇔ ___________ ． 5 ． 由点确定坐标的方法 ：过点分别作 __ 轴和 __ 轴的 _____ ，两垂足对应的数分别是点的横、纵坐标． 6 ． 由坐标找点的方法 ：过横轴上横坐标所在的点作 _____ 的垂线，过纵轴上纵坐标所在的点作 _____ 的垂线，两垂线的交点即是所找的点． y ＝ 0 x ＝ 0 x ＝ 0 ， y ＝ 0 x y 垂线 横轴 纵轴 名师助学 1 ．数 ( 坐标 ) 形 ( 点 ) 结合理解点的位置特征和点的坐标特征． 2 ．初步体会用坐标研究问题的优越性． 1 ．对称点的坐标特征 (1) 点 P ( x ， y ) 关于 x 轴对称点的坐标是 _________ ． (2) 点 P ( x ， y ) 关于 y 轴对称点的坐标是 _________ ． (3) 点 P ( x ， y ) 关于原点对称点的坐标是 __________ ． 坐标平面内图形的变化与坐标的变化之间的关系 ( x ，－ y ) ( － x ， y ) ( － x ，－ y ) 2 ．点的平移规律 ( a ＞ 0) 名师助学 1 ．进一步理解对称的概念，由对称想坐标的变化． 2 ．点平移的坐标变化规律也适用于图形的平移． 3 ．善于从图形变换中发现坐标的变化规律． 对 接 中 考 常考角度 1 ．将函数的文字语言转化为图形语言． 2 ．从函数图象中获取信息． 对接点一：函数的有关概念 【 例题 1】 (2012· 绍兴 ) 小明的父母出去散步，从家走了 20 分钟到一个离家 900 米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了 10 分钟报纸后，用 15 分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是 ________( 只需填序号 ) ． 分析 　由于小明的父母出去散步，从家走了 20 分到一个离家 900 米的报亭，母亲随即按原速返回，所以表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象在 20 分钟的两边一样，由此即可确定表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象；而父亲看了 10 分报纸后，用了 15 分返回家，由此即可确定表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象． 解析 　∵小明的父母出去散步，从家走了 20 分到一个离家 900 米的报亭，母亲随即按原速返回， ∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②；∵父亲看了 10 分报纸后，用了 15 分返回家， ∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④ . 答案 　④② 【 例题 2】 (2012· 金华 ) 甲、乙两人以相同路线前往离学校 12 千米的地方参加植树活动，图中 l 甲 、 l 乙 分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程 S ( 千米 ) 随时间 t ( 分 ) 变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶 ________ 千米． 分析 　根据函数的图象可以得到甲用了 30 分钟行驶了 12 千米，乙用 12 分钟行驶了 12 千米，分别算出速度即可求得结果． 解析 　∵据函数图形如：甲用了 30 分钟行驶了 12 千米，乙用 (18 － 6) 分钟行驶了 12 千米， 【 例题 3】 (2012· 巴中 ) 如图，点 P 是等边△ ABC 的边上的一个做匀速运动的动点，其由点 A 开始沿 AB 边运动到 B 再沿 BC 边运动到 C 为止，设运动时间为 t ，△ ACP 的面积为 S ，则 S 与 t 的大致图象是 ( 　　 ) 分析 　 P 点在 AB 上运动时，△ ACP 的边 AP 上的高与 P 点在 BC 上运动时，△ ACP 的边 CP 上的高相等，并且与 P 点无关，所以 P 点由 A 匀速运动到 B 时，面积 S 由 0 匀速地增加到最大值， P 点由 B 匀速运动到 C 时，面积 S 由最大值匀速地减少到 0. 又∵ AB ＝ BC ，∴ S 由 0 到最大值和由最大值到 0 所用时间相同，∴图象应该是一个等腰三角形． 答案 　 C 函数的图象及其应用重点涉及图形语言与文字语言之间的转换，关键是理解图象的横、纵坐标各代表的意义；清楚函数所涉及的变量的变化规律及点的运动规律，同时注意图象的特殊点 ( 如起点、终点、转折点 ) 的意义，考虑其增减性及增减的速度． 【 预测 1】 小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路 ( 如图 ) ，若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为 v 1 ， v 2 ， v 3 ， v 1 ＜ v 2 ＜ v 3 ，则小亮同学骑车上学时，离家的路程 s 与所用时间 t 的函数关系图象可能是 ( 　　 ) 解析 　根据速度变化与路程变化之间的关系，可知：速度越大，路程增加的越快，对应的图象越陡峭；速度越小，路程增加的越慢，对应的图象越平缓，因为 v 1 ( 上坡速度 ) ＜ v 2 ( 平路速度 ) ＜ v 3 ( 下坡速度 ) ，小亮从家到学校的过程是：平路→下坡→上坡→平路，所以图象变化应该是一般→陡峭→平缓→一般，离家的路程 s 始终在增加，并且第一段与第四段应该是平行的． 答案 　 C 【 预测 2】 如图是水滴入一个玻璃容器的示意图 ( 滴水速度保持不变 ) ，下列图象能正确反映容器中水的高度 ( h ) 与时间 ( t ) 之间函数关系的是 ( 　　 ) 解析 　容器的下面最粗，并且由下到上逐渐变细，到上面变成圆柱，由于滴水速度保持不变，所以水的高度 h 随滴水时间 t 的变化可描述为：开始水上升的很慢，并且越来越快，最后匀速上升，对应的图象应该是从 0 开始很平缓，越来越陡峭，最后沿直线上升． 答案 　 C 常考角度 1 ．简单的用整式、分式、根式等解析式所表示函数的自变量的取值范围． 2 ．确定实际问题的函数关系式，并求其自变量的取值范围． 3 ．求函数值． 对接点二：求函数自变量的取值范围 【 例题 4】 (2012· 聊城 ) 下列函数中，自变量 x 的取值范围为 x ＜ 1 的是 ( 　　 ) 答案 　 D 【 例题 5】 (2012· 威海 ) 等腰三角形周长为 20 cm ，若设一腰为 x cm ，底边为 y cm ，写出底边 y 与腰长 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围． 分析 　根据三角形的三边之和为 20 ，易列出关于 x ， y 的等式，整理即得函数解析式． ∵ x ＞ 0 ， y ＞ 0 ，又由三角形任意两边之和大于第三边．可得到不等式组 解 　∵ 2 x ＋ y ＝ 20 ∴ y ＝ 20 － 2 x 函数自变量的取值范围是 5 ＜ x ＜ 10. 实际问题中列函数解析式的方法和步骤与列二元方程的方法和步骤类似． 1 ．审题：明确题目要义． 2 ．找：找反映自变量和函数之间的等量关系． 3 ．设：用两个字母分别代表自变量和函数． 4 ．列：列出含自变量和函数的等式． 5 ．整理：按要求整理成函数关系． 6 ．定：按要求确定自变量的取值范围． 解析 　∵ x － 4 ≥ 0 　∴ x ≥ 4. 答案 　 x ≥ 4 A ． x ≤ 4 B ． x ＝ 3 C ． x ＜ 4 且 x ≠3 D ． x ≤ 4 且 x ≠3 解析 　∵ 4 － x ≥ 0 　∴ x ≤ 4 又∵ x － 3≠0 　∴ x ≠3 ∴ x ≤ 4 且 x ≠3 　∴选 D. 答案 　 D 常考角度 1 ．坐标平面内点的坐标的特点． 2 ．坐标平面内特殊位置的点的坐标的特征． 对接点三：坐标平面内点的坐标的特点及应用 【 例题 6】 (2012· 贵州安顺 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，若 A 点的坐标为 ( － 3 ， 3) ， B 点的坐标为 (2 ， 0) ，则△ ABO 的面积为 ( 　　 ) A ． 15 B ． 7.5 C ． 6 D ． 3 分析 　根据三角形的面积公式可知，若以 OB 为底，则高为点 A 到 x 轴的垂线段的长度 3. 答案 　 D 1. 理解坐标平面内不同位置点的坐标的特征． 2 ．知道平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同，平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同． 3 ．会用特殊角的三角函数值和解直角三角形，求点的坐标． 【 预测 5】 点 ( － 2 ， 1) 所在的象限是 ( 　　 ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析 　∵横坐标为负，纵坐标为正，∴在第二象限． 答案 　 B 【 预测 6】 在直角坐标平面内的机器人接受指令“ 【 a ， A 】”( a ≥ 0 ， 0° ＜ A ＜ 180°) 后行动结果为：在原地顺时针旋转 A 后，再向正前方沿直线行走 a ，若机器人的位置在原点，朝向 y 轴的负半轴，则它完成一次指令 【2 ， 60°】 后，所在位置的坐标是 ( 　　 ) 答案 　 C 常考角度 1 ．关于 x 轴、 y 轴、原点对称的点的坐标的规律． 2 ．图形平移的点的坐标的变化规律． 3 ．图形旋转的点的坐标的变化规律． 对接点四：图形的变换与坐标 【 例题 7】 (2012· 梅州 ) 如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，△ AOB 的顶点均在格点上，点 A 、 B 的坐标分别是 A (3 ， 2) 、 B (1 ， 3) ，△ AOB 绕点 O 顺时针旋转 90° 后得到△ A 1 OB 1 ( 直接填写答案 ) ． (1) 点 A 关于点 O 中心对称的点的坐标为 ________ ； (2) 点 A 1 的坐标为 ________ ； (3) 在旋转过程中，点 B 经过的路径为弧 BB 1 ，那么弧 BB 1 的长为 ________ ． 分析 　 (1) 关于点 O 中心对称的两点的横纵坐标互为相反数． (2) 如图， A 点所在的位置距 x 轴 2 个单位，距 y 轴 3 个单位；旋转后的对应点 A ′ 距 y 轴 2 个单位，距 x 轴 3 个单位，这是绕坐标原点 O 旋转 90° 的内在规律，同样 B 点距 x 轴 3 个单位，距 y 轴 1 个单 位，旋转 90° 后对应的 B ′ 点距 y 轴 3 个单位，距 x 轴 1 个单位． 1. 理解坐标平面内关于 x 轴、 y 轴、原点对称的两点的坐标的特点． 2 ．图形的平移、旋转往往都是在坐标平面的网格中进行，关键点往往是格点． 【 预测 7】 (2012· 安顺 ) 在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，回答下列问题． (1) 图中格点△ A ′ B ′ C ′ 是由格点△ ABC 通过怎样的变换得到的？ (2) 如果以直线 a 、 b 为坐标轴建立平面直角坐标系后，点 A 的坐标为 ( － 3 ， 4) ，请写出格点△ DEF 各顶点的坐标，并求出△ DEF 的面积． 解 　 (1) 图中格点△ A ′ B ′ C ′ 是由格点△ ABC 向右平移 7 个单位长度得到的； 常考角度 1 ．由特殊到一般的归纳的数学思想方法． 2 ．探索、发现、猜想、验证的科学的思考方法． 对接点五：与坐标有关的规律探究 【 例题 8】 (2012· 德州 ) 如图，在一单位为 1 的方格纸上，△ A 1 A 2 A 3 ，△ A 3 A 4 A 5 ，△ A 5 A 6 A 7 ， …… ，都是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2 ， 4 ， 6 ， …… 的等腰直角三角形，若△ A 1 A 2 A 3 的顶点坐标分别为 A 1 (2 ， 0) ， A 2 (1 ，－ 1) ， A 3 (0 ， 0) ，则依图中所示规律， A 2012 的坐标为 ________ ． 分析 　依图中所示规律写出 A 1 (2 ， 0) ， A 2 (1 ，－ 1) ， A 3 (0 ， 0) ， A 4 (2 ， 2) ， A 5 (4 ， 0) ， A 6 (1 ，－ 3) ， A 7 ( － 2 ， 0) ， A 8 (2 ， 4) ， A 9 (6 ， 0) ， A 10 (1 ，－ 5) ， A 11 ( － 4 ， 0) ， A 12 (2 ， 6) ， …… 发现下标被 4 整除的点都在第一象限，且横坐标都是 2 ，纵坐标依次增加 2 ；被 4 除后余数为 1 的点都在 x 轴的正半轴上，横坐标依次增加 2 ；被 4 除后余 2 的点都在第四象限，且横坐标都是 1 ，纵坐标依次减少 2 ，被 4 除后余数为 3 的点都在 x 轴的负半轴上，横坐标依次减少 2 ，而 2 012÷4 ＝ 503 ，所以 A 2012 在第一象限，横坐标是 2 ，纵坐标为 1 006 ， ∴ A 2 012 (2 ， 1 006) ． 答案 　 (2 ， 1006) 与坐标有关的规律探究题的解题方法是：首先找出规律，然后再按照规律写出结果，当规律比较难找时，可以多写出几项，再找出规律．在探究点的坐标的规律时，既要注意图象变化的规律，又要考虑对应的数量的变化规律． 【 预测 8】 如图，将边长为 2 的等边三角形沿 x 轴正方向连续翻折 2 012 次，依次得到点 P 1 、 P 2 、 P 3 、 … 、 P 2012 ，则点 P 2012 的坐标是 ________ ． 易 错 防 范 问题 1. 混淆坐标轴上点的坐标的特征． 问题 2. 自变量的取值范围考虑不全． 问题 3. 实际问题中的自变量的取值范围，边界数往往被忽略． 函数的基础知识与平面直角坐标系常见错误 【 例题 9】 (2012· 大连 ) 已知点 P ( m ， 2 m － 1) 在 x 轴上，则 P 点的坐标是 ________ ． [ 错解 ] 　因为点 P 在 x 轴上，所以 m ＝ 0 ，所以 2 m － 1 ＝－ 1 ，所以填 (0 ，－ 1) [ 错因分析 ] 　错解把 x 、 y 轴上的点的坐标特点搞混了， x 轴上的点的坐标特征是纵坐标为 0 ，而不是横坐标为 0 ````` 1. 清楚坐标平面内不同位置点的坐标的特征． 2 ．自变量取值范围的确定： (1) 如果函数的解析式是用代数式表示的，必须使代数式有意义，即分式的分母不为 0 ，二次根式的被开方数非负； (2) 实际问题中函数自变量的取值范围必须使实际问题有意义 ( 如不能取负数或小数等 ) ． 课 时 跟 踪 检 测 点击链接