浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第二十六讲 矩形、菱形、正方形》基础演练.doc

第二十六讲 矩形、菱形、正方形 课 前 必 读 考纲要求 1. 掌握矩形、菱形、正方形的概念； 2. 掌握矩形、菱形、正方形的性质； 3. 掌握矩形、菱形、正方形的判定 . 学.科.网 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 正方形的性质 (3 分 ) 选择题 中等 2011 年 矩形性质、菱形判定 (3 分 ) 填空题 中等 2012 年 菱形的性质 (3 分 ) 选择题 稍难 网 络 构 建 特殊平行四边形 定义本身是判定 性质、判定莫混淆 它们基本是互逆 除了边、角、线的性质外 面积公式和对称性也要记 学.科.网 考 点 梳 理 1 ． 定义 ：有一个角是 _____ 的 ___________ 叫做矩形． 2 ． 性质 ： (1) 矩形具有 ___________ 的一切性质． (2) 矩形的 ___ 个角都是直角． (3) 矩形的对角线 _____ ． (4) 矩形既是 ___ 对称图形，又是 _____ 对称图形． 3 ． 判定 ： (1) 有一个角是 _____ 的 ___________ 是矩形． (2) 有 ___ 个角是直角的四边形是矩形． (3) 对角线 _________________ 是矩形． 学.科.网 矩形 直角 平行四边形 平行四边形 四 相等 轴 中心 直角 平行四边形 三 相等的平行四边形 名师助学 1 ．由矩形对角线互相平分相等可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 2 ．矩形具有平行四边形的所有性质． 1 ． 定义 ：一组 _____ 相等的 ___________ 叫做菱形． 2 ． 性质 ： (1) 菱形的 ____ 条边都相等； (2) 菱形的对角线 _________ ，并且每条对角线平分 __________ ； (3) 菱形既是 ___ 对称图形，又是 _____ 对称图形． 3 ．判定 ： (1) 有一组 _____ 相等的 ___________ 是菱形； (2) ___ 条边相等的四边形是菱形； (3) 对角线 __________ 的平行四边形是菱形． 菱形 邻边 平行四边形 互相垂直 一组对角 中心 轴 邻边 平行四边形 四 互相垂直 四 名师助学 1 ．菱形具有平行四边形的一切性质； 2 ．面积计算： ① 边长 × 高； ② 两条对角线乘积的一半； 3 ．对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半． 1 ． 定义 ：有一组 _____ 相等，并且有一个角是 _____ 的平行四边形． 2 ． 性质 ： (1) 正方形的 ___ 个角都是直角，四条边都 ____ ； (2) 正方形的对角线 _____ ，并且 ______________ ，每条对角线平分一组 _____ ； (3) 正方形既是 ___ 对称图形，又是 _____ 对称图形，有 ___ 条对称轴． 3 ． 判定 ： (1) 有一个角是直角的 _____ 是正方形； (2) 有一组邻边相等的 _____ 是正方形． 正方形 邻边 直角 相等 四 相等 互相垂直平分 对角 轴 中心 四 菱形 矩形 名师助学 1 ．正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质； 2 ．正方形的对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 对 接 中 考 常考角度 1 ．根据矩形的性质定理确定矩形具有的性质； 2 ．根据矩形的定义和判定定理进行矩形的判定． 对接点一：矩形的性质与判定 【 例题 1 】 (2012· 湖州 ) 已知如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， DA ＝ DC ，以点 D 为圆心， DA 长为半径的 ⊙ D 与 AB 相切于点 A ，与 BC 交于点 F ，过点 D 作 DE ⊥ BC ，垂足为 E . 分析 　 (1) 根据 AD ∥ BC 和 AB 切圆 D 于 A ，求出 ∠ DAB ＝ ∠ ADE ＝ ∠ DEB ＝ 90 °，即可推出结论； (2) 根据矩形的性质求出 AD ＝ BE ， AB ＝ DE ＝ 4 ，根据垂径定理求出 CF ＝ 2 CE ，设 AD ＝ 3 k ，则 BC ＝ 4 k ， BE ＝ 3 k ， EC ＝ k ， DC ＝ AD ＝ 3 k ，在 △ DEC 中由勾股定理得出一个关于 k 的方程，求出 k 的值，即可求出答案． (1) 证明 　 ∵⊙ D 与 AB 相切于点 A ， ∴ AB ⊥ AD ， ∵ AD ∥ BC ， DE ⊥ BC ， ∴ DE ⊥ AD ， ∴∠ DAB ＝ ∠ ADE ＝ ∠ DEB ＝ 90 °， ∴四边形 ABED 为矩形． 1. 遇切线时，往往利用切线的性质定理或判定定理； 2 ．遇弦的问题求长度时，往往利用垂径定理和勾股定理． 【 预测 1 】 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB ＝ 2 cm ，点 E 在 BC 上，且 AE ＝ EC . 若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好与 AC 上的点 B ′ 重合，则 AC ＝ ________cm. 解析 　 ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴∠ B ＝ 90 °， ∵△ ABE 和 △ AB ′ E 成轴对称， ∴∠ B ＝ ∠ AB ′ E ＝ 90 °， AB ＝ AB ′ ＝ 2 ， 又 ∵ AE ＝ EC ， ∴ AB ′＝ B ′ C ＝ 2 ， ∴ AC ＝ 4. 答案 　 4 【 预测 2 】 如图，在 △ ABC 中，点 O 是 AC 边上 ( 端点除外 ) 的一个动点，过点 O 作直线 MN ∥ BC . 设 MN 交 ∠ BCA 的平分线于点 E ，交 ∠ BCA 的外角平分线于点 F ，连结 AE 、 AF . 那么当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论． 解 　当 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形． 证明： ∵ CE 平分 ∠ ACB ， ∴∠ BCE ＝ ∠ ACE ， 又 ∵ MN ∥ BC ， ∴∠ BCE ＝ ∠ CEO ， ∴∠ ECO ＝ ∠ CEO ， ∴ OE ＝ OC ， 同理 OF ＝ OC ， ∴ OE ＝ OF ， 又 OA ＝ OC ∴四边形 AECF 是平行四边形， 又 ∵∠ BCE ＝ ∠ ECO ， ∠ OCF ＝ ∠ FCG ， ∴∠ ECO ＋ ∠ OCF ＝ 90 °， ∴四边形 AECF 是矩形． 常考角度 1 ．根据菱形性质定理确定菱形具有的性质； 2 ．根据菱形的定义和判定定理进行菱形的判定． 对接点二：菱形的性质与判定 【 例题 2 】 (2012· 嘉兴 ) ，如图，已知菱形 ABCD 的对角线相交于点 O ，延长 AB 至点 E ，使 BE ＝ AB ，连接 CE . (1) 求证： BD ＝ EC ； (2) 若 ∠ E ＝ 50 °，求 ∠ BAO 的大小． 分析 　 (1) 根据菱形的对边平行且相等可得 AB ＝ CD ， AB ∥ CD ，然后证明得到 BE ＝ CD ， BE ∥ CD ，从而证明四边形 BECD 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证； (2) 根据两直线平行，同位角相等求出 ∠ ABO 的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得 AC ⊥ BD ，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解． (1) 证明 　 ∵ 菱形 ABCD ， ∴ AB ＝ CD ， AB ∥ CD ， 又 ∵ BE ＝ AB ， ∴ BE ＝ CD ， BE ∥ CD ， ∴四边形 BECD 是平行四边形， ∴ BD ＝ EC ； (2) 解 　 ∵ 平行四边形 BECD ， ∴ BD ∥ CE ， ∴∠ ABO ＝ ∠ E ＝ 50 °， 又 ∵ 菱形 ABCD ， ∴ AC ⊥ BD ， ∴∠ BAO ＝ 90 °－ ∠ ABO ＝ 40 ° . 1. 平行四边形的一切性质菱形同样具有； 2 ．熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直． 【 预测 3 】 如图，在菱形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点，如果 EF ＝ 2 ，那么菱形 ABCD 的周长是 ( 　　 ) A ． 4 　　　　　 B ． 8 C ． 12 　　　　　 D ． 16 解析 　 ∵ E 、 F 分别是线段 AB 、 AC 的中点， ∴ EF 为 △ ABC 的中位线， ∴ BC ＝ 2 EF ＝ 4 ， 又 ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA ， ∴菱形的周长等于 16. 答案　 16 【 预测 4 】 如图，在 △ ABC 中， AB > AC ， D 、 E 分别是 AB 、 AC 上的点， △ ADE 沿线段 DE 翻折，使 A 落在 BC 边上，记为 A ′. 若四边形 ADA ′ E 是菱形，则下列说法正确的是 ( 　　 ) A ． DE 是 △ ABC 的中位线 B ． AA ′是 BC 边上的中线 C ． AA ′是 BC 边上的高 D ． AA ′是 △ ABC 的角平分线 解析 　 ∵ 四边形 ADA ′ E 是菱形，则根据菱形的对角线平分一组对角， ∴ AA ′是 △ ABC 的角平分线， ∴ D 正确． 答案 　 D 常考角度 1 ．根据正方形的性质定理确定正方形具有的性质； 2 ．根据正方形的定义及其它方法进行正方形的判定． 对接点三：正方形的性质与判定 【 例题 3 】 (2012 · 天津 ) 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E ，使 ME ＝ MC ，以 DE 为边作正方形 DEFG ，点 G 在边 CD 上，则 DG 的长为 ( 　　 ) 分析 　利用勾股定理求出 CM 的长，即 ME 的长，有 DM ＝ AM ，所以可以求出 DE ，进而得到 DG 的长． 答案 　 D 1. 在直角三角形中，求线段的长度常常用勾股定理； 2 ．出现多个基本图形时，往往先看其中的一个，然后再看另一个． A ．一组邻边相等的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．对角线互相垂直的矩形是正方形 D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 解析 　 A 项符合正方形的判定方法，故正确； B 项符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故正确； C 项符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故正确； D 项符合矩形的判定方法，故不正确． 答案 　 D 【 预测 5 】 下列说法不正确的是 ( 　　 ) 【 预测 6 】 如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起， O 1 ， O 2 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ________ ． 解析 　如图，连接 AC 、 BD ，交点为 O ， ∵ AC 、 BD 为正方形 ABCD 的对角线， ∴ O 1 A ＝ O 1 B ＝ O 1 C ＝ O 1 D ， AC ⊥ BD ， ∠ O 1 CD ＝ ∠ O 1 BC ＝ 45 °， ∴∠ BO 1 F ＋ ∠ FO 1 C ＝ 90 ° . 又 ∵∠ EO 1 C ＋ ∠ CO 1 F ＝ 90 °， ∴∠ EO 1 C ＝ ∠ FO 1 B ∴△ O 1 CE ≌△ O 1 BF ， ∴四边形 EO 1 FC 的面积等于 △ CO 1 B 的面积， 又 ∵ 正方形 ABCD 的面积为 2×2 ＝ 4 ， ∴四边形 EO 1 BC 的面积为 1. 同理，右边阴影面积为 1 ， 所以阴影部分的总面积为 2. 答案 　 2 易 错 防 范 问题 1 . 特殊平行四边形的定义、性质、判定方法较多， 学生出现混淆的错误； 问题 2. 特殊平行四边形的判定，学生找的条件不充分， 往往还需条件； 问题 3 . 需要讨论时，学生往往忽略． 特殊平行四边形中常见错误 【 例题 4 】 (2012· 绥化 ) 长为 20 ，宽为 a 的矩形纸片 (10< a