【基础演练】
1．(2012·北京)正十边形的每个外角等于 ( )
A．18° B．36° C．45° D．60°
解析 360°÷10＝36°，所以正十边形的每个外角等于36°.
答案 B
2．(2012·深圳)如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为 ( )
A．120° B．180° C．240° D．300°
解析 根据三角形的内角和定理得：
四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°－60°＝120°，
则根据四边形的内角和定理得：
∠1＋∠2＝360°－120°＝240°.
答案 C
3．(2012·广东)正八边形的每个内角为 ( )
A．120° B．135° C．140° D．144°
解析 法1由多边形内角和公式可知，八边形的内角和为(8－2)×180°＝
1 080°；正八边形的每个内角都相等，所以每个内角为1 080°÷8＝135°，故应选B.
法2因为正八边形的每个内角都相等，所以它的每个外角也都相等，而外角和为360°，所以每个外角为360°÷8＝45°，180°－45°＝135°，故应选B.
答案 B
4．已知一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为 ( )
A．8 B．7 C．6 D．5
解析 设这个多边形的边数为n，则(n－2)·180°＝1 080°，解得n＝8.
答案 A
5．某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有 ( )
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A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
解析 只用一种正多边形地砖在平面内镶嵌，可用地砖只有三种：①正三角形；②正方形；③正六边形，其他正多边形均不能用一种地砖镶嵌．
答案 B
6．(2012·六盘水)下列命题为真命题的是 ( )
A．平面内任意三点确定一个圆
B．五边形的内角和为540°
C．如果a>b，则ac2>bc2
D．如果两条直线被第三条直线所截，那么所截得的同位角相等
解析 A项平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；B项五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，故正确；C项当c＝0时，原式不成立，故错误；D项两直线平行，同位角相等，故错误．所以选B.
答案 B
7．(2012·巴中)不能判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行另一组对边相等
C．一组对边平行且相等
D．两组对边分别相等
解析 根据平行四边形的判定，A、C、D均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形．
答案 B
8．(2012·聊城)如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是 ( )
A．BC＝2DE
B．△ADE∽△ABC
C.＝
D．S△ABC＝3S△ADE
解析 ∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴BC＝2DE，故A正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故B正确；
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∴＝，故C正确；
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∶BC＝1∶2，
∴S△ABC＝4S△ADE，故D错误．
答案 D
9．(2012·德阳)如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点(不与点B重合)，以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP綊BE(点P、E在直线AB的同侧)，如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比为 ( )
A. B. C. D.
解析 连结PE，易得四边形ABEP是平行四边形，因EF∥AD，所以E、F、P三点共线，作PH∥BC交AB于H，连结CH，则四边形HBFP是平行四边形，设BD＝a，则AB＝4a，可求BH＝PF＝3a，又由S△HBC＝S△PBC，S△HBC∶S△ABC＝BH∶AB，即可求得△PBC的面积与△ABC的面积之比．
答案 D
10．(2012·柳州)如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，所转过的度数是 ( )
A．60° B．45° C．120° D．90°
解析 由六边形ABCDEF是正六边形，即可求得∠AFE的度数，又由邻补角的定义，求得∠E′FE的度数，由将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，可知是∠EFE′是旋转角，继而求得答案．
答案 A
11．(2012·烟台)▱ABCD中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，D(0，1)，则点C的坐标为________．
解析 如图：
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∵平行四边形ABCD中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，D(0，1)，
∴AB＝CD＝2－(－1)＝3，DC∥AB，
∴C的横坐标是3，纵坐标和D的纵坐标相等，是1，
∴C的坐标是(3，1)．
答案 (3，1)
12．(2012·黑龙江)如图，已知点E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，请添加一个条件________使△ABE≌△CDF(只填一个即可)．
解析 添加的条件是AE＝CF，
理由是 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，
∵在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF.
答案 AE＝CF
【能力提升】
13.如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
(1)请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么．
(2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？
解 (1)四边形EFGH是平行四边形，
连接BD，∵E、H分别为AB、AD的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD.
同理GF∥BD，GF＝BD.
∴四边形EFGH是平行四边形．
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(2)四边形ABCD的对角线垂直且相等．
14.如右图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF＝2，则EF＝________．
解析 ∵AE∥BD，AB∥CD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴DE＝AB＝DC，点D是EC的中点．
又∵∠EFC＝90°，∴EC＝2DF＝4，
∵∠ECF＝∠ABC＝60°，∴FC＝EC＝2，
∴EF＝＝＝2.
答案 2
15．(2012·广东)如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是________(结果保留π)．
解析 过D点作DF⊥AB于点F.
∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，
∴DF＝AD·sin 30°＝1，EB＝AB－AE＝2，
∴阴影部分的面积：S阴影＝S▱ABCD－S扇形APE－S△EBC
＝4×1－－2×
＝4－π－1
＝3－π
答案 3－π
16．(2012·开远)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并加以证明(写出一种即可)．
①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＋∠C＝180°.
已知：在四边形ABCD中，________，________．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
解析 证明 ∵∠B＋∠C＝180°，
∴AB∥CD，
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又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
答案 ① ④
17．如图，在▱ABCD中，BD⊥AB，AB＝12 cm，AC＝26 cm，求AD、BD、BC及CD的长．
解 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12 cm，∴AO＝AC＝26 cm×＝13 cm.
∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°.
在Rt△ABO中，OB＝＝＝5(cm)．
∴BD＝2OB＝2×5 cm＝10 cm.
在Rt△ABD中，AD＝＝＝2 cm，
∴BC＝AD＝2 cm，
所以AD＝BC＝2 cm，BD＝10 cm，CD＝12 cm.
18.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线，交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.
(1)求证：BD＝CD，
(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
(1)证明 ∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.
又∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，
∴△AFE≌△DCE，
∴AF＝CD，又∵AF＝BD，∴BD＝CD.
(2)解 四边形AFBD是矩形．
证明 由(1)知BD＝CD，
又∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．
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