第三讲 整式及其运算
课
前
必
读
考纲要求
1.
会用代数式表示简单问题的数量关系，会求代数式的值，能解释简单代数式的实际背景或几何意义；
2.
了解整式的概念，会用幂的运算性质进行计算和化简；
3.
会进行简单的整式的加减、乘除运算
(
其中多项式相乘仅限一次式相乘，除法仅限单项式除以单项式和简单的多项式除以单项式
)
；
4.
掌握乘法公式，了解乘法公式的几何背景
.
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考情分析
近三年浙江省中考情况
年份
考查点
题型
难易度
2010
年
用代数式表示实际问题中的数量关系
(3
分
)
选择题
容易
2011
年
化简多项式，并求值，幂的运算性质
(6
分
)
解答题选择题
中等
2012
年
用代数式表示有规律的问题，并验证
(3
分
)
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填空题解答题
较难
网
络
构
建
概念是基础
法则是灵魂
计算是保障
运算最广泛
运算律化简
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考
点
梳
理
(1)
一个单项式中，所有字母的④
_______
叫做这个单项式的次数；如：－
2
ab
2
的次数是⑤
___
．
(2)
一个多项式中，⑥
___________
的次数叫做这个多项式的次数；如：
x
2
－
3
x
的次数是⑦
___
．
代数式初步知识
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整式
单项式
多项式
2
．能根据给定的数量关系，列出代数式．
3
．单项式与多项式的次数
1
．代数式的分类
指数和
3
次数最高项
2
1
．同类项：所含⑧
_____
相同，并且⑨
___________
____
也相同的项，叫做同类项．
2
．合并同类项法则：把同类项的⑩
_____
相加，
⑪
_____
和⑫
_____
不变．
3
．去括号法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都
⑬
_____
；如＋
(
a
＋
b
)
＝⑭
______
．
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整式的加减运算
字母
相同字母的
指数
系数
字母
指数
不变
a
＋
b
括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去
掉后，原括号里各项的符号都⑮
_____
；如：－
(
a
－
b
)
＝⑯
_______
．
4
．整式加减的步骤：
(1)
⑰
_________(2)
⑱
___________
．
改变
－
a
＋
b
找同类项
合并
同类项
名师助学
1
．要准确理解和辨认单项式的次数、系数、同类项．
2
．整式加减的实质是合并同类项，若有括号就先去括号，再合并同类项，去括号时，一定要注意符号．
(1)
a
m
·
a
n
＝⑲
______
(
m
，
n
都是正整数
)
；
整式的乘除运算
1
．幂的运算性质
a
m
＋
n
a
m
－
n
1
1
9
a
mn
2
．
整式的乘法
a
n
b
n
6
a
3
b
3
ma
＋
mb
am
＋
an
＋
bm
＋
bn
a
2
－
b
2
a
2
±
2
ab
＋
b
2
3
．
整式的除法
4
．
整式的混合运算
9
a
2
－
5
a
＋
2
乘方
乘除
加减
名师助学
1
．应用幂的运算性质时需注意：
(1)
运算的顺序；
(2)
幂的符号．
2
．掌握各种运算的法则避免混用．
3
．结合数的运算，灵活运用运算律．
4
．在运用公式或法则进行运算时，首先要判断式子的结构特征，确定解题思路，以便使解题更加方便、快捷．
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对
接
中
考
常考角度
1
．用代数式表示数量关系；
2
．用代数式总结带有规律性的问题，验证总结的
规律，用总结的规律解决问题．
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对接点一：列代数式
解析
∵会弹古筝的有
m
人，则会弹钢琴的人数为
(
m
＋
10)
人，
∴该班同学共有：
m
＋
m
＋
10
－
7
＝
2
m
＋
3
，
故答案为：
2
m
＋
3.
答案
2
m
＋
3
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【
例题
1】 (2012·
温州
)
某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多
10
人，两种都会的有
7
人．设会弹古筝的有
m
人，则该班同学共有
________
人
(
用含
m
的代数式表示
)
【
例题
2
】
(2012·
宁波
)
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
……
(1)
第
5
个图形有多少颗黑色棋子？
(2)
第几个图形有
2 013
颗黑色棋子？并说明理
由．
解析
(1)
第
1
个图棋子个数为
3×2
，第
2
个图棋子个数为
3×3
，第
3
个图棋子个数为
3×4
，
…
，所以可猜想第
n
个图棋子个数为
3(
n
＋
1)
；验证当
n
＝
4
时，
3(
n
＋
1)
＝
3(4
＋
1)
＝
15
，这与第
4
个图中棋子的数量
15
相吻合，进一步说明猜想的正确性．
(2)
由
3(
n
＋
1)
＝
2 013
求出
n
.
答案
(1)18
颗
(2)
由棋子排列规律可知，第
n
个图形中有
3(
n
＋
1)
个棋子，所以由
3(
n
＋
1)
＝
2 013
，
解得
n
＝
670
，
所以第
670
个图形中有
2 013
颗黑色棋子．
1.
正确理解数量关系中的关键词语：多、少、和、差、倍、分、增加、增加到等；
2
．学会观察、猜想、验证问题中的内在规律，并会用数学符号语言正确表述规律．
解析
八折就是标价的
0.8
倍，所以填
0.8
a
.
答案
0.8
a
【
预测
1】 “
五
·
一”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售．一件标价为
a
元的运动服，打折后的售价是
________
元．
解析
因为第
1
个图形需
(1
＋
3)
枚棋子，第
2
个图形需
(1
＋
3×2)
枚棋子，第
3
个图形需
(1
＋
3×3)
枚棋子，
……
猜想第
n
个图形需
(1
＋
3
n
)
枚棋子，所以填
(1
＋
3
n
)
．
答案
(1
＋
3
n
)
【
预测
2】
用同样大小的白色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆，则第
n
个图形需棋子
________
枚
(
用含
n
的代数式表示
)
．
常考角度
1
．幂的运算法则；
2
．乘法公式；
3
．整式的加、减、乘、除运算；
4
．乘法公式的几何背景；
5
．化简代数式并求代数式的值．
对接点二：整式的运算与求代数式的值
A
．
2
a
2
＋
a
2
＝
3
a
4
B
．
a
6
÷
a
2
＝
a
3
C
．
a
5
·
a
2
＝
a
10
D
．
(
－
a
6
)
2
＝
a
12
解析
∵
2
a
2
＋
a
2
＝
3
a
2
∴
A
错．
∵
a
6
÷
a
2
＝
a
6
－
2
＝
a
4
，∴
B
错．
∵
a
5
·
a
2
＝
a
5
＋
2
＝
a
7
，∴
C
错．
∵
(
－
a
6
)
2
＝
a
6×2
＝
a
12
，∴
D
对．
答案
D
【
例题
3】 (2012·
衢州
)
下列计算正确的是
(
)
解析
本题答案不唯一，有三种，只写一种即可．
答案
不唯一，例：
分析
由公式
(
a
±
b
)
2
＝
a
2
±2
ab
＋
b
2
，易求
A
2
和
B
2
，然后代入
A
2
－
B
2
并计算．
解
∵
A
2
＝
(2
x
＋
y
)
2
＝
4
x
2
＋
4
xy
＋
y
2
B
2
＝
(2
x
－
y
)
2
＝
4
x
2
－
4
xy
＋
y
2
∴
A
2
－
B
2
＝
(4
x
2
＋
4
xy
＋
y
2
)
－
(4
x
2
－
4
xy
＋
y
2
)
＝
8
xy
.
【
例题
5】 (2012·
丽水
)
已知：
A
＝
2
x
＋
y
，
B
＝
2
x
－
y
，计算
A
2
－
B
2
.
1.
掌握整式的加减乘除及幂的运算法则；
2
．熟练掌握乘法公式，能正确运用乘法公式进行
计算和化简；
3
．了解乘法公式的几何背景．
解析
因为甲图的面积为
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
，而乙图的面积为
a
2
－
b
2
，甲，乙图的面积又相等，所以填
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
＝
a
2
－
b
2
.
答案
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
＝
a
2
－
b
2
【
预测
4】
将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是
________
．
【
预测
5】
如图，图
1
是一个组合烟花
(
图
2
为横截面
)
，其中
16
个圆的半径相同，点
O
1
，
O
2
，
O
3
，
O
4
分别是四个角上的圆的圆心，且四边形
O
1
O
2
O
3
O
4
为正方形．若圆的半径为
r
，组合烟花的高度为
h
，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要
(
接缝面积不计
) (
)
A
．
26π
rh
B
．
24
rh
＋
π
rh
C
．
12
rh
＋
2π
rh
D
．
24
rh
＋
2π
rh
解析
烟花盒横截面的周长为
24
r
＋
2π
r
，烟花盒的高度为
h
，所以侧面包装纸的面积至少为
24
rh
＋
2π
rh
，选
D.
答案
D
常考角度
1
．商品销售提价和打折问题；
2
．商品销售盈利百分率及盈亏问题．
对接点三：整式的运算在打折销售和商品利润中的应用
问：用这三种方案调价的结果是否一样？最后是不是都恢复了原价？
分析
提价、降价问题有现成的公式：设原价为
a
，若涨幅为
x
%
，则提价后的价格是
a
(1
＋
x
%)
；若降幅为
y
%
，则降价后的价格是
a
(1
－
y
%)
．
【
例题
6】 (2012·
烟台
)
某商店出售一种商品，有如下几种方案：
(1)
先提价
10%
，再降价
10%
；
(2)
先降价
10%
，再提价
10%
；
(3)
先提价
20%
，再降价
20%.
解
设出售的商品原价为
a
，则
方案
(1)
的最后价格是
a
×110%×90%
＝
0.99
a
；
方案
(2)
的最后价格是
a
×90%×110%
＝
0.99
a
；
方案
(3)
的最后价格是
a
×120%×80%
＝
0.96
a
.
根据以上计算可知，方案
(1)
和
(2)
最后的结果是一样的，方案
(3)
打的折扣最大．但三种方案都没有使出售价格恢复到原价．
分析
我们已经知道了这一天的销售总收入是
2 400
元，因此要知道盈亏情况，只要求出甲、乙两件商品的成本价即可．
【
例题
7】
某商贩一天出售了甲 、乙两种商品，售价都是
1 200
元，其中甲商品盈利
20%
，乙商品亏本
20%
，请分析这个商贩这一天的盈亏情况．
1.
清楚“打折和提价都是相对于标价”；
2
．理解“盈亏都是相对于进价
(
或成本
)”
；
3
．乘除运算不能混．
A
．先涨价
m
%
，再降价
n
%
B
．先涨价
n
%
，再降价
m
%
【
预测
6】
某商品的原价为
100
元，现有下列四种调价方案，其中
0
＜
n
＜
m
＜
100
，则调价后使该商品价格最高的方法是
(
)
答案
A
易
错
防
范
问题
1.
幂的运算法则“张冠李戴”，并且易与整式
的乘除法相混；
问题
2.
括号前是负数，去括号时，括号内的部分项
忘记变号；
问题
3.
违背混合运算的顺序．
整式及其运算常见错误
A
．
(
－
p
2
q
)
3
＝
p
5
q
3
B
．
(12
a
2
b
3
c
)÷(6
ab
2
)
＝
2
ab
C
．
3
m
2
÷(3
m
－
1)
＝
m
－
3
m
2
D
．
(
x
2
－
4
x
)
x
－
1
＝
x
－
4
[
错解
]
A
、
B
、
C
[
错因分析
]
选
A
、
B.
错误的原因是：对幂的运算法则掌握不好，理解不透，选
C
错误的原因是单项式除以多项式，当不能约分时，结果只能用分式表示．
【
例题
8】 (2012·
杭州
)
下列计算正确的是
(
)
[
正解
]
A
．
(
－
p
2
q
)
3
＝－
p
6
q
3
，故本选项错误；
B
．
(12
a
2
b
3
c
)÷(6
ab
2
)
＝
2
abc
，故本选项错误；
D
．
(
x
2
－
4
x
)
x
－
1
＝
x
－
4
，故本选项正确．
[
错因分析
]
去括号时，当括号前是负号，忘记括号内各项都要变号．
1.
正确理解运算法则；
2
．在练习中吸取教训，避免错误，总结经验．
课
时
跟
踪
检
测
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