7.2 一元一次不等式
1．了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法．
2．了解解不等式的概念，会用不等式的性质解简单的不等式，并能用数轴表示解集．
3．运用一元一次不等式建立数学模型来解决实际问题，体会探索问题的过程，感知数学的应用价值．
1．一元一次不等式的概念
含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式．如不等式x－2≥4,2x＋1＜11，x－3＞2,0.2x＋4≤5都是一元一次不等式．
(1)一元一次不等式的一般形式：ax＋b＞(≥)0或ax＋b＜(≤)0.(a≠0)
(2)一元一次不等式的最简形式：ax＞(≥)0或ax＜(≤)0.(a≠0)
(3)一元一次不等式概念的理解：
①表示不等关系，即式子是不等式．
②不等号的左右两边都是整式．例如，＜2，≥5就不是一元一次不等式．
③只含有一个未知数，即未知数的个数不能多．例如，2x＋y＞3不是一元一次不等式．
④未知数的最高次数是1.如x2＋x－2≤1不是一元一次不等式．
判断式子是否是一元一次不等式，上述四个条件缺一不可．
一元一次不等式与一元一次方程的异同
相同点：两者都只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，左边和右边都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，用不等号连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，用等号连接，等号没有方向．
【例1】下列不等式是一元一次不等式的是( )．
A．2x(x－3)＞9 B．x＋5y＜2
C．6x－3＞2 D．－3＞5
解析：A中的2x(x－3)应将括号展开，否则容易误认为x的指数为1，其最高次数为2，故不是一元一次不等式；B中含有两个未知数，故不是一元一次不等式；D中不等号左边不是整式，也不是一元一次不等式；只有C符合一元一次不等式的定义．故选C．
答案：C
2．不等式的解集
(1)一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集．求不等式解集的过程叫做解不等式．
例如，x＝3,4,5,6,7.5，…都是不等式x＋2≥5的解，可以用x≥3来表示，其中x
≥3就是不等式x＋2≥5的解集．
(2)不等式的解集必须满足的条件：一是解集中的每一个数值都能使不等式成立，解集外的任何一个数值都不能使不等式成立；二是能够使不等式成立的所有数值都在解集中．
不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解集是由使不等式成立的所有未知数的值组成的，一个不等式的解集包括不等式的每一个解．即所有的解组成了解集，解集包括解．
(3)检验一个数是否为不等式的解与检验一个数是否为方程的解的方法相同，即将这个数代入不等式中，看不等式是否成立(其中方程是看等号两边是否相等，而不等式是看是否与不等号方向相同)．
【例2】下列说法正确的个数是( )．
(1)5是不等式x＋2＞6的解；
(2)3是不等式y－1＞2的解；
(3)所有小于1的整数都是不等式x＋1＜2的解．
A．1 B．2 C．3 D．0
解析：把x＝5代入(1)中不等式的左、右两边，这时x＋2＝7，而7＞6，即x＋2＞6成立，所以x＝5是不等式x＋2＞6的解，故说法(1)正确；把y＝3代入(2)中不等式的左、右两边，这时y－1＝2，即y－1＞2不成立，所以3不是不等式y－1＞2的解，故说法(2)不正确；因为所有小于1的整数都能使x＋1＜2成立，故说法(3)正确．因此选B．
答案：B
3．一元一次不等式的解集及其表示
(1)一元一次不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．类似地，使一元一次不等式成立的所有的解，组成了一元一次不等式的解集．
(2)解集的形式：
任意一个一元一次不等式最终都化简为ax＞b或ax＜b(a≠0)的形式，其解集可分为以下两种情形：①当a＞0时，ax＞b的解集为x＞，ax＜b的解集为x＜；
②当a＜0时，ax＞b的解集为x＜，ax＜b解集为x＞.
(3)一元一次不等式的解集可以用数轴来表示．
不等式的解集在数轴上的表示方法有以下几种情况：
不等式的解集
用数轴表示
x＜a
x≤a
x＞a
x≥a
x＜a表示小于a的全体实数，在数轴上表示a左边的所有点，不包括a在内；x≤a表示小于或等于a的全体实数，在数轴上表示a左边的所有点，包括a在内；x＞a表示大于a的全体实数，在数轴上表示a右边的所有点，不包括a在内；x≥a表示大于或等于a的全体实数，在数轴上表示a右边的所有点，包括a在内．
【例3】写出下列数轴上所表示的不等式的解集：
解：把数轴上的点所表示的数的范围用不等式表示，即为所求的解集．所以(1)的解集为x＞0；(2)的解集为x≤－1.
4．解一元一次不等式的步骤
解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤一样，主要有以下几个步骤：
(1)去分母：根据不等式的基本性质2或3，把不等式的两边都乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的不等式．
(2)去括号：根据去括号法则去括号，特别要注意括号外面是负号时，括号里面的各项要改变符号．
(3)移项：根据不等式的基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等号的左边，常数项移到不等号的右边．
(4)合并同类项：根据整式的运算法则，将同类项合并．
(5)系数化为1：根据不等式的基本性质2或3，将未知数的系数化成1.
解一元一次不等式时易错点：
(1)去分母时，不含分母的项容易漏乘分母的最小公倍数．如不等式3＋≤去分母时，常数项3容易漏乘分母的最小公倍数10.
(2)去括号时，括号前是负号的，括号内各项的符号均要变．如不等式3－5－4(－1＋5x)＜0去括号时，不要忽视括号前面的负号．
(3)移项时要变号．如不等式7x－6＜4x－9移项时，要改变符号．
(4)未知数的系数化为1时，不等式的两边都除以未知数的系数，当系数是负数时，不等号的方向改变．如在化简－0.8x≤－1.6时，两边都除以－0.8，要改变不等号的方向．
【例4】解不等式：1＋＞5－，并在数轴上表示其解集．
分析：将不等式左右两边同时乘以未知数的系数的最小公倍数，然后合并化简求解．
解：去分母，得6＋2x＞30－3(x－2)．
去括号，得6＋2x＞30－3x＋6.
移项，得2x＋3x＞30＋6－6.
合并同类项，得5x＞30.
未知数系数化为1，得x＞6.
不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
在解这个一元一次不等式时要注意移项时要改变符号，系数化为1时，如果同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5．一元一次不等式的应用
与列一元一次方程解决实际问题一样，列一元一次不等式解应用题的步骤是：
(1)审题．弄清题意和题目中的数量关系和不等关系，即分析题中已知什么、未知什么、求什么．
(2)设元．即设未知数．分直接设和间接设两种，设时要带有单位．
(3)列不等式．根据不等关系，用含有未知数的代数式表示出来．
(4)解不等式．解所列不等式，求出未知数的范围．
(5)检验并作答．检验所求解是否符合题意，是否符合实际情况，最后写出答案．
【例5】某市自来水公司按如下标准收取水费，若每户每月用水不超过5 m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5 m3，则超过部分每立方米收费2元．小童家某月的水费不少于10元，那么她家这个月的用水量至少是多少？
分析：本题目中水费计算方法与用水量在不同的范围内而有所不同，设小童家的用水量是x m3，当x≤5时，水费为1.5x元；当x＞5时，不超过5 m3的部分共收水费为1.5×5元，超过5 m3部分的水收费2(x－5)元，两部分共1.5×5＋2(x
－5)元．本题目中不等关系为：某月的水费不少于10元．
解：设小童家的用水量是x m3.由于10＞1.5×5，所以小童家的用水量超过5 m3.根据题意，得1.5×5＋2(x－5)≥10.
解这个不等式，得x≥6.25(m3)．
故小童家这个月的用水量至少是6.25 m3.
建立不等式模型，即把实际问题转化为不等式问题求解，根据不等关系列出不等式．不等关系的找法可抓住关键词语，如：“至少”“最多”“不超过”“不低于”．
6．与一元一次不等式有关的综合题
一般情况下，不等式的解有无数个，但在特定的条件下，不等式的解的个数可以是有限个，可以利用这种方法和技巧求不等式的特殊解．
求不等式的特殊解时，要先求出不等式的所有解集，再从所有解集中找出题目中要求的特殊解．通常先用数轴表示不等式的解集，再通过数轴求特殊解．
不等式的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解、非负整数解，要求这些特殊解，首先要确定不等式的解集，然后再找到相应的答案．
【例6】求不等式＜1的非正整数解．
分析：首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出符合条件的非正整数解即可．
解：解不等式＜1.
去分母，得5－4x＜12.
移项，得－4x＜12－5.
合并同类项，得－4x＜7.
未知数系数化为1，得x＞－.
因此原不等式解集为x＞－.
该不等式的解集在数轴上表示为：
故不等式＜1的非正整数解为－1,0，共两个．
求不等式的特殊解，利用数轴表示解集可避免多解、漏解的现象．
7．不等式解集的应用
(1)不等式解集的应用范围很广，最典型的是求字母的取值范围．
解决这一问题的关键是观察不等式中不等号的方向与其解集中不等号的方向是否一致．若不一致，则说明未知数的系数为负，即未知数的系数小于零；若一致，则说明未知数的系数为正，即未知数的系数大于零．从而把问题转化为关于参数的不等式，解这个不等式得到参数的解．
(2)利用不等式的解集还可以解决以下问题：
①判断代数式的值的大小关系；
②求与之有关联的另一个不等式的解集；
③与方程综合求代数式的值．
解决这些问题的关键是正确地求出不等式的解集，根据题意列出新的方程或不等式．然后结合数轴或将给出的条件代入，即可确定字母系数的取值范围，但是要注意端点的取舍．
【例7】m取何值时，关于x的方程x－1＝6m＋5(x－m)的解是非负数．
分析：本题首先要解这个关于x的方程，求出方程的解，根据解是非负数，可以得到一个关于m的不等式，然后再根据不等式求出m的范围．
解：由原方程，解得x＝－，
因为方程x－1＝6m＋5(x－m)的解是非负数，
所以x≥0，即－≥0.
解这个不等式，得m≤－1.
8．列一元一次不等式解决实际问题
一元一次不等式的应用题与实际生活联系密切．此类题目涉及的知识点主要是一元一次不等式的解法，以及求不等式的特殊解(整数解、非负整数解、非正整数解、正整数解、负整数解)．要加强建立不等式模型解决问题的数学意识．对涉及日常生活中的经营决策、方案设计、最佳效益等方面的问题，要了解其中的专业术语和数学关系．例如方案设计问题常常是根据题中的不等关系列不等式，得到某些量的限制条件，从而确定不同的方案，完成对某些实际问题的方案设计．
根据题中字母或有关量的限制条件找出符合实际意义的解，一般不等式有无数个解，但应用题要求的往往是符合实际意义的、具体的、有限的特殊解．
【例8】为了更好地满足人民生活需求，丰富市场供应，某地区农村温棚设施农业迅速发展，温棚种植面积在不断扩大．在耕地上培成一行一行的矩形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种．科学研究表明：在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果(同一种紧挨在一起种植不超过两垄)，可增加它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益．
现有一个种植总面积为540 m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄(垄数为正整数)，它们的占地面积、产量、利润分别如下：
占地面积(m2/垄)
产量(千克/垄)
利润(元/千克)
西红柿
30
160
1.1
草莓
15
50
1.6
若设草莓共种植了x垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？
解：设西红柿种了(24－x)垄．根据题意，得15x＋30(24－x)≤540.解得x≥12.∵x≤14，且x是正整数，∴x＝12,13,14.
故共有三种种植方案，分别是：
方案一：草莓种植12垄，西红柿种植12垄；
方案二：草莓种植13垄，西红柿种植11垄；
方案三：草莓种植14垄，西红柿种植10垄．
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