7.3 一元一次不等式组
1．了解一元一次不等式组和它的解集的概念，会解一元一次不等式组，并能利用数轴确定它的解集．
2．会运用一元一次不等式组解决简单的应用问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
3．学会运用数形结合的思想，体会数学的应用价值，培养理论联系实际的习惯．
1．一元一次不等式组的概念
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
例如，就是一元一次不等式组．再例如等也都是一元一次不等式组．
(1)组成不等式组的每个不等式必须是一元一次不等式；
(2)这几个一元一次不等式必须是“关于同一个未知数”的不等式，如中含两个未知数x，y，故不是一元一次不等式组．
(3)这里的“几个”可以是两个、三个或三个以上，如：等都是一元一次不等式组．
【例1】下列不等式组是一元一次不等式组的是( )．
A． B．
C． D．
解析：A中的不等式x2＋1＜0与D中的不等式－x＞0都不是一元一次不等式；B中的不等式的次数虽然都是1次的，但是含有两个未知数，故A，B，D均不是一元一次不等式组．
答案：C
判断一个不等式组是一元一次不等式组，需满足两个条件：一是组成不等式组的不等式必须都是一元一次不等式且未知数都相同；二是不等式组中不等式的个数至少有2个．
2．一元一次不等式组的解集
组成一元一次不等式组的各个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
当不等式组中各个不等式的解集没有公共部分时，我们称这个不等式组无解(即解集为空集)．
(1)几个不等式解集的公共部分，通常利用数轴来确定．公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖住的部分，若无公共部分，则说这个不等式组无解或者说解集是空集．
(2)一元一次不等式组的解集在数轴上的四种表示(a＜b)如下表所示：
不等式组
(其中a＜b)
图示
解集
口诀
x≥b
同大取大
x≤a
同小取小
a≤x≤b
大小、小大
取中间
空集
小小、大大
无解
【例2－1】一元一次不等式组的解集在数轴上表示应为( )．
解析：由不等式组得再分别表示在数轴上为.故选C．
答案：C
【例2－2】下列说法正确的是( )．
A．不等式组的解集是5＜x＜3
B．不等式组的解集是－3＜x＜－2
C．不等式组的解集是x＝2
D．不等式组的解集是x≠3
解析：根据“同大取大，同小取小，大小、小大取中间，大大小小无解”判定．A．不等式组属于“同大取大”，所以解集为x＞5；
B．不等式组属于“大大、小小无解”，所以无解；
C．不等式组属于“大小、小大取中间”，所以解集表示为2≤x≤2，即x＝2；
D．不等式组属于“大大、小小无解”，所以无解．
答案：C
3．一元一次不等式组的解法
(1)解不等式组的概念
求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组．
(2)一元一次不等式组的解法和步骤
由一元一次不等式组的解集的概念可得解一元一次不等式组的方法和步骤．
①分别求出这个不等式组中每一个不等式的解集；
②利用数轴，求出各个不等式的解集的公共部分；
③用数学符号语言(即不等式的最简形式)来表示公共部分，即写出不等式组的解集．
步骤简记为：求分解，画公解，写组解．
【例3－1】解不等式组
解：解不等式①得x≥－3.解不等式②得x＜4.将不等式①、②的解集表示在数轴上，如下图．
所以原不等式组的解集为－3≤x＜4.
解一元一次不等式组中每一个不等式的解集，然后通过将每个不等式的解集表示在数轴上，认真观察并找出公共部分确定不等式组的解集．
【例3－2】解不等式组
分析：本题应根据解一元一次不等式组的步骤：(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴表示各个不等式的解集，并求出各个不等式解集的公共部分．
解：解不等式①，得x≤2.解不等式②，得x＞－1.解不等式③，得x＜1.
在同一条数轴上表示不等式①②③的解集，如图：
故原不等式组的解集是－1＜x＜1.
求三个或三个以上的不等式组成的不等式组的解集时，也是先求出各个不等式的解集，再借助数轴把各不等式的解集在数轴上表示出来，然后再确定公共部分．注意空心点和实心点的画法．
4．列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤
(1)审：弄清题意，明确已知量和未知量及各数量之间的关系；
(2)设：设未知数(只能设一个未知数)；
(3)找：找出表示实际问题题意的所有不等关系；
(4)列：根据这些不等关系列出不等式组；
(5)解：解这个不等式组，求出解集；
(6)答：写出符合题意的答案(包括单位名称等)．
(1)列不等式组解决实际问题的关键是找出所有不等关系，这需要运用数学思维方式抓住表示不等的关键词语，以及隐含的不等关系．
(2)解决实际问题时，应根据实际意义检验结果的合理性．
【例4】已知一件文化衫价格为18元，一个书包的价格是一件文化衫的2倍还少6元．
(1)求一个书包的价格是多少元？
(2)某公司出资1 800元，拿出不少于350元但不超过400元的经费奖励山区小学的优秀学生，剩余经费还能为多少名山区小学的学生每人购买一个书包和一件文化衫？
分析：(1)一个书包的价格是一件文化衫的2倍还少6元，即一个书包的价格是18×2－6＝30(元)；(2)由题意可知，剩余经费最少为1 800－400＝1 400(元)，最多为1 800－350＝1 450(元)，所以为这些学生每人购买一个书包和一件文化衫的总花费在1 400元～1 450元之间，也就是说总花费大于或等于1 400元，小于或等于1 450元．
解：(1)因为18×2－6＝30(元)，
所以一个书包的价格是30元．
(2)设还能为x名学生每人购买一个书包和一件文化衫，根据题意得：
解得
于是这个不等式组的解集为29≤x≤30.
因为x为正整数，所以x＝30(名)．
故剩余经费还能为30名学生每人购买一个书包和一件文化衫．
列不等式组解应用题，注意分析题目中的不等量关系，正确建立数学模型是解决问题的关键．
(1)列不等式组时，几个不等式必须含有同一个未知数．
(2)解应用题时，题目中较多的是求特殊解，如人数必须为自然数，这是隐含的条件．
(3)找不等关系时，要找到题目中表示不等关系的关键词语．另外有一些需要根据实际情况和生活常识确定不等关系．
5．求一元一次不等式组的特殊解
不等式组的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解、非负整数解，要求这些特殊解，首先是确定不等式组的解集，然后根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．这类题目主要考查解不等式组的能力和对特殊解的理解．确定不等式组的解集可利用口诀，也可借助数轴，利用数形结合找到特殊解．
【例5】解不等式组并写出它的所有整数解．
解：因为不等式＞－1的解集为x＞－2；
不等式2x＋1≥5(x－1)的解集为x≤2，
所以不等式组的解集为－2＜x≤2.
因为该解集中所包含的整数解有－1,0,1,2，
所以不等式组的整数解为－1,0,1,2.
6．一元一次双向不等式的求解
双向不等式a＜y＜b的求解(其中y是关于x的整式)，是解不等式的一类常见的题型．
其解法一般有两种：
(1)化为两个不等式组成的不等式组来求解；
(2)将不等式的左、中、右三部分都加(或减)同一个整式或都乘以(或除以)同一个正数(或负数)，注意乘(除以)负数时两个不等号的方向都要改变，经过若干次变形，将不等式化为中间只含未知数x，左右两边都不含未知数的形式，从而求出不等式的解集．
【例6】求不等式－4＜＜－2的解集．
解：(方法一)不等式－4＜＜－2可化为不等式组：
解不等式①，得x＞－.
解不等式②，得x＜－.
所以不等式组的解集是－＜x＜－.
(方法二)去分母，得－12＜2x－1＜－6.
移项，得－11＜2x＜－5.
系数化为1，得－＜x＜－.
7．根据条件确定一元一次不等式组中字母系数的取值范围
由不等式组的解集或整数解的个数确定待定系数的取值范围时，常用的方法是先求出含有待定系数的不等式组的解集，然后结合数轴或将给出的条件代入，即可确定待定系数的取值范围，这是要注意端点的取舍．
确定不等式组中字母参数的值或取值范围时，常要用到以下方法：
(1)对照比较法——对照原不等式的化简、求解以及条件中字母的取值范围从而确定未知字母的范围．
(2)分类讨论法——根据不等式组解集的四种情况，灵活选择．
(3)数形结合——利用数轴来确定．数轴能够实现数与形的结合，能够使不等式组的解集形象地展现出来，尤其是不等式组的特殊解能够很容易求出来．
【例7－1】若不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围是( )．
A．m≤2 B．m≥2
C．m≤1 D．m＞1
解析：原不等式组可变形为因为不等式组的解集为x＞2，根据“同大取大”法则可知，m＋1≤2，解得m≤1.故本题选C．
答案：C
【例7－2】不等式组的解集中每一个x的值均不在3≤x≤7范围内，则a的取值范围是________．
解析：先化简不等式组得由题意知原不等式组有解集，即a－1＜x＜a＋2有解，又由题意知原不等式组的解均不落在3≤x≤7的范围内，从而有a＋2≤3或a－1≥7，所以解得a≤1或a≥8.
答案：a≤1或a≥8
8．与一元一次不等式组有关的综合题
一元一次不等式组常和方程(组)综合在一起出现，考查方程(组)与不等式组的解法．
一般解法有两种：
(1)正确求出方程(组)的解，并根据要求列出不等式组，求出不等式组的解集．
(2)求出不等式组的解集，确定特殊解，再根据要求代入方程组，求出方程组的解．
【例8】若关于x，y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围．
解：对于
①＋②，得2x＝4m－2，所以x＝2m－1.
②－①，得2y＝2m＋8，所以y＝m＋4.
因为x的值为负数，即x＜0，y的值为正数，即y＞0，
所以解得－4＜m＜.
故m的取值范围为－4＜m＜.
9．一元一次不等式组的实际应用
列不等式组解实际问题与列方程组解实际问题的方法、步骤类似，关键是由实际问题中的不等关系列出不等式(组)，建立解决问题的数学模型，通过解不等式(组)可以得到实际问题的答案．
(1)根据题意设未知数，常常直接设未知数，或把与未知量联系紧密的量设为未知数．
(2)建立相应的数学模型，根据不等关系列出不等式(题中出现“至多、至少、不大于、小于”等特征词)，要根据题意列出所有不等式，一个意思列一个不等式，尽量简化．
(3)解不等式组，结合问题的实际背景，找出适合题意的解，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．
(4)对于方案设计题要结合不等式组的解集，确定未知数的具体数值，一般要根据实际取解集中的整数，有几个整数值，即有几种方案．
【例9】某商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
类别
冰箱
彩电
进价(元/台)
2 320
1 900
售价(元/台)
2 420
1 980
为满足市场需求，商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的.
(1)请你帮助该商场设计相应的进货方案；
(2)哪种进货方案商场获得利润最大(利润＝售价－进价)，最大利润是多少？
解：(1)设冰箱采购x台，则彩电采购(40－x)台，根据题意，得
解不等式组，得18≤x≤21，因为x为正整数，
所以x＝19,20,21.
故该商场共有3种进货方案：
方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台
方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台；
方案三：冰箱购买21台，彩电购买19台．
(2)因为每台冰箱获利100元，每台彩电获利80元，
所以购进冰箱越多获利越多，即方案三获利最多，最大利润是21(2 420－2 320)＋19(1 980－1 900)＝2 100＋1 520＝3 620(元)．
故方案三商场获得利润最大，最大利润是3 620元．
微信/支付宝扫码支付