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第三章 圆 ‎6．圆和圆的位置关系 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：在学习本章之前，学生已经通过图形变换和推理证明等方式认识了许多图形的性质。在本章前面几节课中，学生学习了圆的有关概念，对圆的相关知识有所了解，并通过运用图形运动的方法研究了点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，初步理解了相切、相交和相离的概念，同时具备了作图和图形平移的基本技能。‎ 学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索活动，解决了一些简单的现实问题，获得了从事数学探究活动所必须的一些的经验；在以前的数学学习中学生已经经历了很多自主探索和合作学习的过程，具备了一定的动手操作能力、观察能力和收集资料的能力，具备了一定的归纳表达能力和推理论证能力，具备了一定的合作和互助的意识。 ‎ 二、教学任务分析 由于新课程标准降低了对圆这一章的教学要求，教科书提出了本课的具体学习任务：了解圆和圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系。本节课要学习的内容是圆和圆的位置关系，其中包括利用平移实验直观地探索圆和圆之间的几种位置关系，通过讨论两圆圆心之间的距离d与两圆半径R和r之间的关系来确定两圆的位置关系。重点和难点是通过学生动手操作和互相交流探索出圆和圆之间的几种位置关系。通过学习本节课的内容，使学生具备一定的识图能力，体会数学活动充满着探索性和创造性，敢于发表自己的观点，并尊重和理解他人的见解，能从交流中获益。为此，本节课的教学目标是：‎ 知识与技能 了解圆和圆之间的几种位置关系，了解两圆相切时图形的轴对称性，理解两圆位置与两圆圆心距、半径的联系。‎ 过程与方法 经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力。通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力。‎ 情感态度与价值观 通过探索圆和圆的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维能力，体验数学活动的探索精神，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。‎ 教学重点：理解两圆位置与两圆圆心距、半径的联系。‎ 教学难点：理解两圆位置与两圆圆心距、半径的联系。‎ 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：课前准备、情境引入、实验探索、归纳总结、知识应用、课堂小结、布置作业。‎ 第一环节 课前准备 活动内容：（提前两天布置）‎ ‎（1）观察生活中有关圆和圆位置关系的事例。‎ ‎（2）收集生活中有关圆和圆位置关系的图案。‎ ‎（3）在两张半透明白纸上分别画好大小不等的两个圆。 ‎ 活动目的：通过前两个活动，希望学生能从生活中获取尽可能多的有关圆和圆位置关系的图案，体会圆在社会生活中的实际应用，培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质及理论联系实际的意识。通过课前准备活动，让学生进行观察和收集活动，使学生提前进入课题学习角色，让学生在活动中感受圆在日常生活中有着广泛应用。此外，这两个活动所收集的各种图案为后面分析圆和圆的各种位置关系提供了极好的素材，在课堂中使用源于学生收集到的生活中的实例展开教学，会拉近知识与现实的距离，从而激发学生学习的积极性与主动性。第三个活动则是直接为课堂上探索两圆的位置关系做好准备。‎ 实际教学效果：学生搜集的图案和实例各式各样，涉及图标（如奥迪汽车标志，奥运会标志）、机械（如齿轮，钟表，自行车前后轮）、天文现象（如 日食，月食）、城市景观等等；来源方式也是多种多样，有的查阅报纸杂志，有的上网调查，有的在学校内观察，有的走向街头，还有的向家长了解。这些都充分展现了学生走进生活感受数学的热情。‎ 附部分学生收集的图案：‎ ‎ ‎ 第二环节 情境引入 活动内容：选派代表展示自己课前所收集到的图案（可以是照片、资料、还可以是实物或模型），并尝试说明所提供的图案中圆和圆的位置关系。‎ 活动目的：使学生感受到圆和圆的位置关系在现实生活中普遍存在，为后面进一步探讨问题奠定基础。培养学生的读图能力，并通过亲身体验圆和圆的位置关系在现实生活中的实际意义。而且由此引出：圆和圆究竟有哪几种位置关系呢？这就是本节课要来研究的问题（引出课题）。‎ 实际教学效果：这个环节有意为学生创造一个平台来展示、讲解亲 自搜集到的生活中的图案，亲身经历了感受生活的过程。学生通过自己的劳动，得到展现劳动成果的机会，自然就获得成就感。在展示讲解过程中其他的学生可以适当补充，因此，基本上能将几种位置关系包括在内。其他的学生也能从中获取信息，通过这样的活动让学生经历一个自然感知的过程，学生基本上都能区分圆和圆的几种位置关系，这就为下一环节的实验探索打好基础。在这一环节中还能反映出学生善于观察事物，善于分析问题的良好品质,而这种品质正需要学生在自觉行为中逐渐培养起来。‎ 第三环节 实验探索 活动内容：利用平移实验探索圆和圆的位置关系和探索两圆圆心之间的距离d与两圆半径R和r之间的关系来确定两圆的位置关系。‎ 实验：请你分别在两张透明或半透明的纸上作半径不等的圆，将两张纸叠在一起， 固定其中一张，平移另一张。观察两圆总共有哪几种位置关系。‎ 让学生动手操作，探索圆和圆的位置关系。总结出不同的位置关系，然后四人小组互相交流。‎ 探索：（1）你能分别构造出圆和圆的几种位置关系吗？（抽学生到黑板上拼图）。‎ ‎（2）当圆和圆相离、相交、相切时所组成的图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪里？‎ ‎（3）当两圆相切（内、外切）时，图形是轴对称图形吗？你能在课本上P123的两个图中分别画出对称轴吗？对称轴是连心线吗？‎ ‎（4）探讨两圆位置关系与两圆半径和圆心距的数量关系之间的联系。‎ 设两圆的半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d。当两圆外离、外切、相交、内切和内含时，d与R和r之间具有怎样的数量关系？反之，当d与R和r之间满足一定的数量关系时，我们能判定两圆之间的位置关系吗？‎ 活动目的：通过实验，使学生能够直观发现圆和圆的位置关系并能初步探索两圆位置关系与两圆半径和圆心距的数量关系之间的联系。此处要留给学生充分的时间去动手操作，然后逐条思考并验证相关结论。从而培养学生对问题作出正确判断的能力。使学生经历“猜想——实验——判定——论证”的活动过程，深刻感受到知识的形成过程。‎ 实际教学效果：教师鼓励学生先作猜想，再进行实验验证，最后尝试从理论上进行论证。对于问题（3）中的“对称轴是连心线吗”，绝大多数学生通过作图可以得出正确的结论，但个别学生会进一步试图从理论上加以证明。对此，教师可以适当提示学生利用反证法证明，其余不必过多展开。‎ 学生经过这个环节的实验探索对两圆位置关系有了全面的认识，通过对上述问题的探索验证和最终回答，学生的思维由感性认识进一步上升到理性认识的高度。这些结论的得出来源于学生在实例分析中的亲身感受，对学生的印象会更加深刻。‎ 第四环节 归纳总结 活动内容：总结实验结果，归纳出圆和圆的五种位置关系及两圆的位置关系与两圆半径和圆心距的数量关系之间的联系。‎ ‎（1）在刚才的实验中，你发现了几种位置关系？（提问学生，并在黑板上记录学生的回答）。‎ ‎（2）从公共点的个数，我们又可以将圆和圆的位置关系划分为几类？（相离、相切、相交）。‎ ‎（3）究竟如何进一步区分外离和内含，外切和内切呢？（从一个圆的点是在另一个圆的外部还是内部）‎ ‎（4）两圆的位置关系与两圆半径和圆心距的数量关系之间有什么联系？‎ 活动目的：通过思考、讨论，让学生理解圆和圆的五种位置关系的不同分类，从而建立与点和圆、直线和圆的位置关系的联系。这里同样以问题串的形式引导学生逐步深入的思考。这些问题的设置主要是帮助学生进行归纳总结。‎ 实际教学效果： 对于问题（1）（2），学生并不难回答，对于问题（3），很多学生能够区分判断，但表达不够清楚，教师要做好适当的引导和启发，要求不能太苛刻。对于问题（4），教师可以结合之前让学生在黑板上的拼图进行分析，帮助学生建立数形结合的联系，在利用数量关系说明位置关系时，部分学生容易混淆，教师可以抓住内切、外切两种关键位置作为分界。‎ 第五环节 知识应用 活动内容：讲解课本例题和完成课本练习 ‎（1）例题：（投影）两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示（点O，O，是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP，NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小.‎ O O，‎ Q P N T ‎（剖面图在幻灯片上画出）。‎ ‎（2）课堂练习：‎ ‎①已知两圆半径分别是1，2，圆心距是，那么两圆有什么样的位置关系？‎ ‎②课本P125 练习 ‎ 活动目的：对本节知识进行巩固练习。‎ 实际教学效果：加深学生对两圆的位置关系与两圆半径和圆心距的数量关系之间联系的理解。学生基本都能应用所学的知识进行分析和解决相应的问题，收到了较好的教学效果。‎ 第六环节 课堂小结 活动内容：师生互相交流总结（帮助学生回顾本节课学习的内容）。‎ ‎1、探索了圆和圆的位置关系；‎ ‎2、讨论了两圆所成图形的轴对称性和对称轴，以及相切时切点与对称轴（连心线）的位置关系；‎ ‎3、探讨了圆和圆的位置关系与圆心距和半径之间的联系。‎ O3‎ O2‎ O1‎ O 活动目的：鼓励学生结合本节课的学习（包括实验探索活动）及课前的准备，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）‎ 实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获。‎ 第七环节 布置作业 ‎1．课本P127习题3.9‎ ‎2．补充练习：（投影）已知：图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径.‎ ‎3．课本P128试一试 ‎ ‎ 四、教学反思 在归纳圆和圆的五种位置关系时，学生很容易得到结论，但从数量关系上判定两圆位置关系时则显得比较抽象。教师应给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使探究学习更具实效性。‎ 充分开发和利用现实生活中的教学素材，尽可能地设计具有挑战性的情境或活动，有效激发学生的求知和探索的欲望。在教学中还要积极引导学生进行操作、观察、归纳、推理等活动，帮助他们有意识地积累活动经验。在教学中还要鼓励学生动手、动脑和动口，使学生在学习活动中获得成功。‎ 在教学中教师不要只强调结论，要关注学生的动手操作过程，关注他们互相交流的过程，看学生是否能积极在投入到数学活动中去，要多加鼓励，提高他们学习数学的兴趣，只要学生有了兴趣，他们就能敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验。‎