（江苏专用）2015高考数学程序方法策略篇 专题2 优化解答程序，构建答题模板 第3讲 空间中的平行与垂直问题.doc

‎2015年高考数学第3讲空间中的平行与垂直问题 例4　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.‎ ‎(1)求证：EF∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.‎ 审题破题　(1)根据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判定定理．(2)先利用线面垂直的判定定理，再利用性质定理．‎ 证明　(1)连结AC，则F是AC的中点，又∵E为PC的中点，‎ ‎∴在△CPA中，EF∥PA，‎ 又∵PA⊂平面PAD，‎ EF⊄平面PAD，‎ ‎∴EF∥平面PAD.‎ ‎(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，且CD⊥AD，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA.‎ 又PA＝PD＝AD，‎ ‎∴△PAD是等腰直角三角形，‎ 且∠APD＝90°，即PA⊥PD.‎ 又∵CD∩PD＝D，‎ ‎∴PA⊥平面PCD，‎ 又∵PA⊂平面PAB，‎ ‎∴平面PAB⊥平面PCD.‎ 第一步：将题目条件和图形结合起来；‎ 第二步：根据条件寻找图形中的平行、垂直关系；‎ 第三步：和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系；‎ 第四步：严格按照定理条件书写解题步骤.‎ 跟踪训练4　(2013·山东) 如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．‎ 3‎ ‎(1)求证：CE∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.‎ 证明　(1)方法一　取PA的中点H，连结EH，DH.‎ 又E为PB的中点，‎ 所以EH綊AB.‎ 又CD綊AB，所以EH綊CD.‎ 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.‎ 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.‎ 所以CE∥平面PAD.‎ 方法二　连结CF.因为F为AB的中点，所以AF＝AB.‎ 又CD＝AB，所以AF＝CD.‎ 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD，‎ 又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，‎ 所以CF∥平面PAD.‎ 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.‎ 又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又因为AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.‎ 又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.‎ 所以AB⊥平面EFG.‎ 又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，‎ 3‎ 又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.‎ 又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.‎ 3‎