2015年高考数学第7讲配凑法在解题中的应用
[方法精要] 为解答某些数学问题,常在运算或证明过程中巧妙地配上一些适当的数或式,凑成某一合适的形式,以使问题迅速解决,我们称这类解题技巧为配凑法.当题目给出的信息按照常规思路难以处理或结构差异比较明显时,常借助题目中的信息或特定的背景利用配凑法解决.
题型一 配凑法在函数中的应用
例1 已知f(x)-2f()=x,求f(x)的解析式.
破题切入点 x与互为倒数,故可用代替x,类似解方程组,消去f(),即可求出f(x)的解析式.
解 因为f(x)-2f()=x,用代替x可得f()-2f(x)=,
联立
消去f()可得f(x)=-,
所以f(x)的解析式是f(x)=-.
题型二 配凑法在三角函数中的应用
例2 求cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°.
破题切入点 20°、40°、80°恰好有二倍角的关系,而cos 60°=可不必考虑变形,有二倍角的关系即可联想到二倍角公式的应用,故分子、分母同乘2sin 20°配凑成二倍角公式,反复利用二倍角公式即可.
解 cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°
=
=·
=·
=·
=·=.
题型三 配凑法在数列中的应用
例3 设{an}是公比为q的等比数列.
(1)求{an}的前n项和公式;
(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
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破题切入点 本题求数列的通项公式要分类讨论,分公比等于1和不等于1两种情况,当公比不等于1时,在前n项和Sn=a1+a2+…+an-1+an的两边同乘以q,得到qSn=qa1+qa2+…+qan-1+qan,配凑成错位相减的方法,然后整理就可以求出前n项和公式.
解 (1)分两种情况讨论.
①当q=1时,数列{an}是首项为a1的常数列,
所以Sn=a1+a1+…+a1=na1.
②当q≠1,Sn=a1+a2+…+an-1+an,两边同时乘以q(配凑成错位同类项)
qSn=qa1+qa2+…+qan-1+qan.
上面两式错位相减:
(1-q)Sn=a1+(a2-qa1)+(a3-qa2)+…+(an-qan-1)-qan
=a1-qan.
所以Sn==.
综上,Sn=
(2)设{an}是公比q≠1的等比数列,假设数列{an+1}是等比数列.则
①当∃n∈N*,使得an+1=0成立,
则{an+1}不是等比数列.
②当∀n∈N*,使得an+1≠0成立,
则=恒为常数α
⇒a1qn-1(q-α)=α-1
⇒当a1≠0时,q=1.
这与题目条件q≠1矛盾.
综上两种情况,假设数列{an+1}是等比数列均不成立,所以当q≠1时,数列{an+1}不是等比数列.
题型四 配凑法在几何中的应用
例4 如图,在△ABC中,已知三个角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且∠A=120°,
求证:S△ABC=[a2-(b-c)2].
破题切入点 由∠A=120°知,∠B+∠C=60°,有这样的三个三角形可以配凑成一个等边三角形花环,求出两个三角形的面积的差,即为三个三角形面积的和,就可以求出△ABC的面积.
证明
如图所示,阴影部分是三个△ABC的面积,
S△BCD=a·a·sin 60°=a2,
S△AEF=(b-c)·(b-c)·sin 60°
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=(b-c)2,
所以S△ABC=(S△BCD-S△AEF)
=[a2-(b-c)2]
=[a2-(b-c)2].
总结提高 “配凑”就是通过恰当的拼与凑,使问题简洁、明了,从而达到比较容易解决问题的目的.一般来说,配与凑总是相辅相成、互为依托、互为补充的,所谓配凑就是在解题过程中,对某些题目同时给式子的分子、分母乘以同一个不等于零的式子,或者给式子左右加减同一个式子,或者有目的地编造一个式子,使要解证的式子能出现某种特定的形式,或具有某种特性,使问题向特定的方向转化,最后到问题的解决.配凑法是一种启发思维的好方法.
1.方程x2+y2-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是________.
答案 k1
解析 把方程x2+y2-4kx-2y+5k=0化为圆的标准方程的形式(x-2k)2+(y-1)2=4k2-5k+1,若表示圆,须满足4k2-5k+1>0,即k1.
2.函数f(x)=log0.5(-2x2+5x+3)的单调递增区间是________.
答案 [,3)
解析 要使函数有意义,须满足-2x2+5x+3>0,
即-