（江苏专用）2015高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第8讲 构造法在解题中的应用.doc

‎2015年高考数学第8讲构造法在解题中的应用 ‎[方法精要]　在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连结条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，称为构造法．‎ 解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手．在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径．构造法就是这样的手段之一．构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维．其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性．数学证明中的构造法一般可分为两类，一类为直接性构造法，一类为间接性构造法．‎ 题型一　构造向量解决不等式的问题 例1　若直线＋＝1通过点M(cos α，sin α)，则下列正确的有________．‎ ‎①a2＋b2≤1; ②a2＋b2≥1；‎ ‎③＋≤1; ④＋≥1.‎ 破题切入点　根据点在直线上可以得到＋＝1，联想向量的数量积的坐标运算法则，可以构造向量．‎ 答案　④‎ 解析　设向量m＝(cos α，sin α)，n＝(，)，‎ 由题意知＋＝1，‎ 由m·n≤|m||n|可得1＝＋≤ .‎ 所以＋≥1.‎ 题型二　构造不等式解决证明问题 例2　已知a，b，c>0，证明：＋＋≥.‎ 破题切入点　直接用一个式子或两个式子都不好直接构造轮换不等式．观察其结构特点，必须想办法去掉不等式左端各项的分母，为此可以做变换：在不等式两端都加上，即我们证明不等式＋＋＋≥a＋b＋c，这时把拆成＋＋，就可以构造轮换不等式了．‎ 证明　证明＋＋≥，‎ - 7 -‎ 即证＋＋＋≥a＋b＋c，‎ 即证＋＋＋＋＋≥a＋b＋c.‎ 又因为＋≥a，＋≥b，＋≥c，‎ 所以所证三式相加，不等式成立．‎ 题型三　构造函数最值、比较大小的问题 例3　已知f(x)＝3－4x＋2xln 2，数列{an}满足－b>c且a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求a＋b的范围．‎ 解　由a＋b＋c＝1得a＋b＝1－c，①‎ 将①的两边平方并将a2＋b2＋c2＝1代入得ab＝c2－c，②‎ 由①②可知，a，b是方程x2＋(c－1)x＋(c2－c)＝0的两个不等的实根，‎ 于是Δ＝(c－1)2－4(c2－c)＝－‎3c2＋‎2c＋1>0，‎ 解得－