8.3 同底数幂的除法（2）
教学目标
1．了解、（a≠0，n为正整数）的规定；
2．在对“规定”的合理性做出解释的过程中，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法，学会数学思考、
感悟理性精神．
教学重点
感受“规定”的合理性，并会运用“规定”进行解题．
教学难点
对“规定”的合理性做出解释．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、情境创设
之前学习了当a≠0，m、n为正整数，m＞n时，，那么若m＝n，m＜n时，
还能用这样的运算性质进行计算吗？（引入新课）．
有些学生可能会无以应答，也有学生会说不能，也有学生会说能．
此问题情境富有较强的数学味和挑战性，明确地指引学生学习的一个动力和方向，使学生产生对零指数幂和负指数幂做出解释的思考和猜想．
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二、新知探究
1．活动一．
提问：若m＝n，a≠0，m、n为正整数，如何计算？能否运用前面所学的同底数幂相除的运算性质？
对于计算，学生会借助除法的意义进行计算，．
学生思考：若运用已学同底数幂相除的运算性质计算，当m＝n时，，继而思考：是什么？等于几？猜想是不是？
提出这个切口较大的问题，由学生从已有的知识出发思考问题，从而发现问题，进而得出猜想，激发学生进一步的探究欲望．
2．活动二．
（1）思考：一张纸对折1次是2层，对
折2次是4层，对折3次是8层，对折4次是16层……，对折后纸的层数与对折的次数之间的关系可以表示成什么？若没有将纸对折，如何表示，纸张的层数又为多少？
（2）观察数轴上表示、、、的
点的位置是如何随着指数的变化而变化的？你有什么猜想？
学生较容易表述出：，，，……当纸没有对折的时候表示为，纸张的层数为1，得出猜想．
学生较容易得到指数和幂的变化如下：，，，，观察可以发现幂的值以及指数的变化规律是：幂的值每缩小到原来的，指数减少1，继而可以猜想得到．
通过两个活动学生发现．
创设学生比较熟悉的可操作情境——“折纸”，使学生从中观察得出对折后纸的层数与对折的次数之间的关系中存在的规律，从而得出猜想．再借助数轴的几何直观，引导学生观察得出幂的值以及指数的变化规律，继而得出猜想．由两个实际的活动，让学生原有的幂的指数可以扩展到零指数幂，充分地体现了数学自身发展的轨迹，让学生从中感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法，有助于学生借助学习“零指数”所获得的经验，进一步尝试对负整数指数幂的意义做出合理的规定，发展了学生理性的精神．
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（3）由上面两个活动，你有什么发现？
（4）得到规定：（a≠0）即任何不
等于0的数的0次幂等于1．
3．活动三．
（1）提问：若m＜n，a≠0，m、n为正
整数，还可以用同底数幂除法的运算性质进行计算吗？
（2）例如：等于几？能利用同底
数幂除法的运算性质进行计算吗？借助活动二中的式子，进一步思考你能得到什么猜想？把你的发现用式子表示出来．
（3）得到规定：（a≠0, n为正
整数），即任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数．
学生会借助除法的意义对进行计算，即．
若借助同底数幂的除法性质加以计算，继而思考：指数为负数的幂是什么？等于几？猜想是不是？
学生观察活动二的式子中幂的值以及指数的变化：，，，，，进一步思考得到猜想：，，
，将发现用式子表示为（a≠0，n为正整数）．
充分利用探究零指数幂的式子，带领学生进一步观察、思考、猜想，从中感受“规定”的合理性，验证“规定”与原有知识体系没有矛盾，从而将幂的指数可以进一步扩展到负指数幂．在此活动中感受从一般到特殊的思考问题的方法，引导学生学会数学思考、感悟理性精神．
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4．活动4．
计算：（1）（a≠0）；
（2）（a≠0）.
由学生小组内分别根据规定和同底数幂除法的运算性质加以计算，然后进行比较，得出发现．
引导学生得出发现：可将同底数幂的除法运算性质扩展为一切整数指数幂：
（a≠0， m、n为整数）.
学生根据规定加以计算：
；
.
学生借助同底数幂除法的运算性质加以计算：；
.
小组交流得到发现．
在得出零指数幂与负指数幂的规定后，由学生对两条同底数幂除法的式子，分别借助规定、运算性质加以计算，然后比照，在实际计算验证的过程之中自主发现性质的扩展，进一步发展了学生理性的精神．
三、例题讲解
例1 用小数或分数表示下列各数：
（1）；（2）；（3）.
学生口答，教师板书．
参考答案：（1）；（2）；
（3）.
此道例题的教学，帮助学生巩固新知，进一步理解负指数幂的意义，教师的板书也能即时给学生以示范作用．
例2 下面的计算是否正确？如有错误，请改正．
（1）；（2）；
（3）；
学生口答辨析．
参考答案：（1）错误，正确解答是－1；
（2）错误，正确解答是；
（3）正确；
由一组辨析题，便于学生进一步理解零指数幂和负指数幂的意义，在纠错的过程中让学生注意一些常见的错误，在解题中加以避免．
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（4）（a≠0, n为正整数）.
（4）错误，正确答案是1．
四、练习巩固
1．课本练习．
课本P57练一练第1、2、3题．
第1、2题学生口答，第3题学生板演．
三道题目即时巩固了零指数幂和负指数幂的知识，以及同底数幂除法的运算性质．
2．补充练习：
练习1．
（1）成立的条件是 ；
（2）当x 时，有意义；
（3）若有意义，则x ；
学生思考后口答．
参考答案：（1）x≠3；（2）x≠－5；
（3）
由此题让学生在解题的过程中加强对零指数幂和负指数幂有意义的条件是底数不等于0的理解．
练习2．
（1），则x＝ ；
（2），则x＝ ；
（3），则x＝ .
学生思考后口答.
参考答案：（1）x＝－3；（2）x＝10；
（3）x=－4．
这一题设置了逆向运用规定的问题，培养了学生逆向思维的习惯，进一步加强对两个规定的理解和掌握．
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五、课堂小结
谈谈本节课收获的知识与方法．
教师利用口号“一二一”帮助学生总结本节课的知识和方法．
扩展了一个性质：同底数幂除法的运算性质适用于一切整数指数幂；
认识了二个幂：零指数幂、负指数幂；
收获了一个方法：由特殊到一般的思考问题的方法．
1．小组内相互交流收获；
2．集体交流；
3．跟着老师一起借助口号整理收获．
在相互交流中总结本节课的收获，体验成功．最后由教师借助“一二一”这个朗朗上口的口号，帮助学生整理收获的知识和方法，便于学生记忆和消化．
六、作业布置
1．必做题：课本P59习题8.3第3、4题；
2．思考题：回顾较大的数借助科学记数法如何表示？观察P57练习第2题的（1）（2）小题，将原书与写成的负指数幂的结果进行比照，思考较小的数能否借助科学记数法表示？
课后完成必做题，学有余力的学生可以选作思考题．
作业分层布置，必做题是对本节课基本知识点的巩固，思考题的设置是在学生学习过用科学记数法表示较大数、会用负整数指数幂表示较小数的基础上设置的，便于学生思考，为下一节课的学习作好铺垫.
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