学案3 研究电场的能的性质(一)
[学习目标定位] 1.知道电场力做的功与移动电荷的路径无关.2.掌握电场力做的功与电势能变化的关系.3.会应用WAB＝qUAB进行有关计算．
一、电场力做功的特点
在任意静电场中，电场力对电荷所做的功跟移动电荷的路径无关．
二、电荷在电场中的功能关系
1．电势能：电荷在电场中具有的势能叫做电势能．
2．电场力做正功，电势能减少，减少的电势能等于电场力做的功．电场力做负功，电势能增加，增加的电势能等于克服电场力做的功，公式表达为WE＝EpA－EpB.
3．电荷在电场中某处的电势能，等于在电场力作用下把它从该处移动到零电势能位置时电场力所做的功．通常把离开场源电荷无限远处规定为零电势能位置，或者把地球表面规定为零电势能位置．
三、电势差
1．将电荷从A点移到B点的过程中，电场力对电荷做的功WAB与所移动的电荷q的比值称为电场中A、B两点间的电势差，公式表示为UAB＝.电势差的单位是伏特，简称伏，符号是V，如果1 C的正电荷在电场中由一点移动到另一点，电场力所做的功为1_J，这两点间的电势差就是1_V，即1 V＝1_J/C.
2．在研究微观粒子时，常用电子伏特(简称电子伏，符号是eV)作为能量的单位.1 eV＝1.6×10－19J.
一、电场力做功的特点
[问题设计]
1．如图1所示，试探电荷q在电场强度为E的匀强电场中，沿直线从A移动到B，电场力做的功为多少？若q沿折线AMB从A点移动到B点，电场力做的功为多少？
图1
答案 电场力F＝qE，电场力与位移夹角为θ，电场力对试探电荷q做的功W＝F·|AB|cos θ＝qE·|AM|.在线段AM上电场力做的功W1＝qE·|AM|，在线段MB上电场力做的功W2＝0，总功W＝W1＋W2＝qE·|AM|.
2．若q沿任意曲线从A点移动到B点，电场力做的功为多少？据1、2可得出什么结论．
答案 W＝qE·|AM|.电荷在匀强电场中从不同路径由A运动到B，电场力做功相同．说明电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关．
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[要点提炼]
1．电场力做功的特点：电场力对某电荷所做的功，与该电荷的电荷量有关，与电荷经过的路径无关，与电场是否是匀强电场也无关．
2．电场力做功与重力做功相似，只要初、末位置确定了，移动电荷q做的功就是确定值．
二、电势能
[问题设计]
类比重力做功与重力势能变化的关系，电场力做正功，电势能如何变化？电场力做负功，电势能如何变化？电场力做功与电势能变化有怎样的数量关系？
答案 电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加．
电场力做功的值等于电势能的变化量，即：WAB＝EpA－EpB.
[要点提炼]
1．电场力做功是电势能变化的量度，用公式表示为WAB＝EpA－EpB，即电场力做正功，电荷的电势能减少，电场力做负功，电荷的电势能增加．
2．电势能具有相对性．
电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能规定为零，或把电荷在地球表面上的电势能规定为零．
[延伸思考] 当正电荷顺着电场线运动时，电场力做什么功？电势能是增加还是减少？当负电荷顺着电场线运动时，电场力做什么功？电势能是增加还是减少？
答案 正电荷顺着电场线运动时，电场力做正功，电势能减少．负电荷顺着电场线运动时，电场力做负功，电势能增加．
三、电势差
[问题设计]
在图1所示的示例中，我们知道了同一电荷沿不同路径由A移到B，电场力做的功是相同的，那么移动不同电荷从A至B，电场力做的功是否相同？电场力做的功与电荷量q的比值是否相同？
答案 电场力做的功WAB＝qEL，所以移动不同电荷做的功不同；但＝EL是相同的．
[要点提炼]
1．电势差的定义式UAB＝，这是用比值法定义的物理量．UAB与WAB和q无关，只跟电场中A、B两点的位置和电场强度有关．
2．电势差是标量，但有正、负之分．
3．用UAB＝或WAB＝qUAB计算时，各物理量符号的处理：
(1)带正、负号进行运算：把电荷q的电性和两点间的电势差U的正、负号代入，算出的功为正，则说明电场力做正功，电荷的电势能减小；算出的功为负，则说明电场力做负功，电荷的电势能增大．
(2)只将绝对值代入公式运算：即在计算时，q、U都取绝对值，算出的功也是绝对值，至于电场力做的是正功还是负功，可以根据电荷的正、负及电荷移动的方向与电场线方向的关系判断．
[延伸思考] 电势的大小与零电势点的选取有关，电势差的大小与零电势点的选取有关吗？
答案 无关．
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一、电场力做功与电势能变化的关系
例1 在场强为4×105 V/m的匀强电场中，一质子从A点移动到B点，如图2所示．已知A、B间距离为20 cm，AB连线与电场线成30°角，求：
图2
(1)电场力做的功．
(2)质子从A到B的过程中，电势能是增加还是减少？
(3)若规定B点的电势能EpB＝0，则质子在A点的电势能是多少？
解析 (1)在匀强电场中电场力为F＝qE
沿电场力方向的位移为lABcos 30°
电场力对质子做的功为
WAB＝qElABcos 30°＝1.6×10－19×4×105×0.2× J≈1.1×10－14 J.
(2)因为电场力做正功，所以电势能减少．
(3)EpA＝WAB－EpB＝1.1×10－4 J.
答案 (1)1.1×10－14 J (2)减少 (3)1.1×10－4 J
例2 对于电场中的A、B两点，下列说法正确的是( )
A．电势差的定义式UAB＝，说明两点间的电势差UAB与电场力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B．A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点电场力所做的功
C．若将1 C正电荷从A点移到B点，电场力做1 J的功，则两点间的电势差为1 V
D．若电荷由A点移到B点的过程中，除受电场力外，还受其他力的作用，则电荷电势能的变化就不再等于电场力所做的功
解析 两点间的电势差由电场本身决定，与移动电荷及电场力做功无关，故A错；电荷在电场中运动时，不管受几个力作用，其电势能变化总等于电场力做功，故D错；由公式UAB＝，可知B错，C对．
答案 C
二、对电势差的理解
例3 在电场中把一个电荷量为6×10－6 C的负电荷从A点移到B点，克服电场力做功3×10－5 J，再将电荷从B点移到C点，电场力做功1.2×10－5 J，求A点与B点，B点与C点间的电势差．
思路点拨 这是一个直接应用电势差的定义来计算的题目，解题的关键是注意电场力的功、电荷、电势能正、负值三者之间的关系．如果把这三个量及其正、负符号都代入，结果是统一的．
解析 根据电场力做功与电势差的关系得：
UAB＝＝ V＝5 V，
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UBC＝＝ V＝－2 V.
答案 UAB＝5 V UBC＝－2 V
针对训练 一个带正电的质点，电荷量q＝2.0×10－9 C，在静电场中由a点移动到b点．在这个过程中，除电场力外，其他外力做的功为6.0×10－5 J，质点的动能增加了8.0×10－5 J，则a、b两点间的电势差Uab为( )
A．1×104 V B．－1×104 V
C．4×104 V D．－7×104 V
答案 A
解析 Uab＝ ①
Wab＋W外＝mv2 ②
由①②式得Uab＝1×104 V.
1．(对电势差的理解)下列说法正确的是( )
A．A、B两点的电势差等于将负电荷从A点移到B点时克服电场力所做的功
B．电势差是一个标量，但有正、负值之分
C．由于电场力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关
D．A、B两点的电势差是恒定的，不随零电势能位置的不同而改变，所以UAB＝UBA
答案 BC
解析 解答本题的关键是要全面地理解电势差这个概念，从电势差的定义可知A项错误．从电势差的特性可知电势差是标量，但有正、负值之分，B项正确．从电场力做功的特性及电势差的定义可知两点间电势差只与两点位置有关，C项正确．移动相同电荷从A到B和从B到A做功不同，WAB＝－WBA，所以UAB＝－UBA，故D项错误．
2．(电势差、电势能和电场力做功)在静电场中，一个电子由a点移到b点时电场力做功为5 eV(1 eV＝1.6×10－19 J)，则以下说法中正确的是( )
A．电场强度的方向一定由b沿直线指向a
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B．a、b两点间电势差Uab＝5 V
C．电子的电势能减少5 eV
D．电子的电势能减少5 J
答案 C
解析 电场强度的方向与运动路径无关，A错；Uab＝＝＝－5 V，B错；电场力做5 eV的正功，电势能减少
5 eV，C对，D错．
3．(电场力做功、电势能和电势差的关系)把质量为m＝4.0×10－6 kg，带电荷量为q＝1.0×10－4 C的粒子，在电场中的A点由静止释放．当它运动到B点时，电场力对它做功W＝1.25×1017 eV，则A、B两点间电势差为多少？粒子运动到B点时的速度为多少？
答案 200 V 100 m/s
解析 因为W＝qUAB，所以
UAB＝＝ V＝200 V.
又根据动能定理有W＝mv2，得
v＝ ＝ m/s
＝100 m/s.
4．(电场力做功与电势能变化的关系)在电场中把一个电荷量为6×10－6 C的负电荷从A点移到B点，克服电场力做功3×10－5 J，则电荷从A到B的过程中，电势能变化了多少？是增加还是减少？若规定电荷在B点的电势能为零，则电荷在A点的电势能为多大？
答案 3×10－5 J 增加 －3×10－5 J
解析 电荷克服电场力做功，即电场力做负功，有WAB＝－3×10－5 J．由WAB＝EpA－EpB知，电势能变化了3×10－5 J；由于电场力做负功，则电势能增加．
若EpB＝0，则由WAB＝EpA－EpB得EpA＝－3×10－5 J.
题组一 电场力做功与电势能变化的关系
1．下列说法正确的是( )
A．电荷从电场中的A点运动到了B点，路径不同，电场力做功的大小就可能不同
B．电荷从电场中的某点开始出发，运动一段时间后，又回到了该点，则说明电场力做功为零
C．正电荷沿着电场线运动，电场力对正电荷做正功，负电荷逆着电场线运动，电场力对负电荷做正功
D．电荷在电场中运动，因为电场力可能对电荷做功，所以能量守恒定律在电场中并不成立
答案 BC
解析 电场力做功与路径无关，只与电荷的初、末位置有关，所以B项正确，A项错误；正电荷沿电场线运动、负电荷逆着电场线运动，所受电场力与速度的夹角均为0度，电场力均做正功，C项正确；能量守恒定律是自然界的普遍适用定律之一，与是什么力做功无关，D项错．
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2．带电粒子M只在电场力作用下由P点运动到Q点，在此过程中克服电场力做了2.6×10－6 J的功．那么( )
A．M在P点的电势能一定小于它在Q点的电势能
B．M在P点的电势能一定大于它在Q点的电势能
C．P点的场强一定小于Q点的场强
D．M在P点的动能一定大于它在Q点的动能
答案 AD
解析 带电粒子M只在电场力作用下从P点运动到Q点，克服电场力做功，其电势能增加，动能减小，故选项A、D正确，B错误；场强的大小与电场力做功的正负无关，选项C错．故正确答案为A、D.
3．如图1所示，A、B是一条电场线上的两点，若在A点释放一初速度为零的电子，电子仅受电场力作用，沿电场线从A运动到B.则( )
图1
A．电场强度的方向向左
B．A点场强一定大于B点场强
C．电场力做负功
D．电场力做正功
答案 AD
4．如图2所示，实线为方向未知的三条电场线，a、b两带电粒子从电场中的O点附近以相同的初速度飞入．仅在电场力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线所示，则( )
图2
A．a一定带正电，b一定带负电
B．a加速度增大，b加速度增大
C．a电势能减小，b电势能增大
D．a和b的动能一定都增大
答案 D
题组二 电场力做功、电势能、电势差
5．关于电势差与电场力做功的说法中，正确的是( )
A．电势差的大小由电场力在两点间移动电荷做的功和电荷的电荷量决定
B．电场力在两点间移动电荷做功的多少由两点间的电势差和该电荷的电荷量决定
C．电势差是矢量，电场力做的功是标量
D．电场中两点间的电势差等于电场力在这两点间所做的功与移动的电荷量的比值
答案 BD
6．如图3所示，A、B两点各固定着电荷量为＋Q和＋2Q的点电荷，A、B、C、D四点在同一直线上，且AC＝CD＝DB，将一正电荷从C点沿直线移到D点，则电场力对电荷( )
图3
A．一直做正功
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B．一直做负功
C．先做正功再做负功
D．先做负功再做正功
答案 C
7．如图4所示，两个等量的正点电荷分别置于P、Q两位置，在P、Q连线的垂直平分线上有M、N两点，另有一试探电荷q，则( )
图4
A．若q是正电荷，q在N点的电势能比在M点的电势能大
B．若q是负电荷，q在M点的电势能比在N点的电势能大
C．无论q是正电荷，还是负电荷，q在M、N两点的电势能都一样大
D．无论q是正电荷还是负电荷，q在M点的电势能都比在N点的电势能小
答案 AB
解析 由两个等量的正点电荷周围的电场线的分布情况可知，两点电荷连线的中垂线上的电场方向是：由连线的中点沿中垂线指向无穷远处．正电荷从N点移到M点，电场力做正功，电势能减小；负电荷从N点移到M点，电场力做负功，电势能增大．故选A、B.
题组三 电场中的能量问题
8．如图5所示，带正电的点电荷固定于Q点，电子在静电力作用下，做以Q为焦点的椭圆运动．M、P、N为椭圆上的三点，P点是轨道上离Q最近的点．电子在从M经P到达N点的过程中( )
图5
A．速率先增大后减小 B．速率先减小后增大
C．电势能先减小后增大 D．电势能先增大后减小
答案 AC
解析 电子从M→P→N的运动过程中，先靠近正点电荷再远离，所以电子受到的静电引力先做正功后做负功，因此电势能先减小后增大，速率先增大后减小，A、C正确．
9．如图6所示，匀强电场方向竖直向下，在此电场中有a、b、c、d四个带电微粒(不计微粒间相互作用)各以水平向左、水平向右、竖直向下和竖直向上的速度做匀速直线运动，则下列说法正确的是( )
图6
A．c、d带异种电荷
B．a、b带同种电荷且电势能均不变
C．d的电势能、重力势能均减小
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D．c的电势能减小，机械能增加
答案 B
10．一带电油滴在匀强电场E中的运动轨迹如图7所示，电场方向竖直向下．若不计空气阻力，则此带电油滴从a运动到b的过程中，能量变化情况为( )
图7
A．动能减小
B．电势能增加
C．动能和电势能之和减少
D．重力势能和电势能之和增加
答案 C
解析 由题图的轨迹可知电场力竖直向上且大于重力，则从a到b电场力做正功，电势能减少，重力做负功，重力势能增加．又电场力做功的值大于重力做功的值，由动能定理可得ΔEk＝W电＋W重＞0，故动能增加．由能量守恒定律可知，重力势能、动能和电势能之和不变，所以，动能和电势能之和减少，重力势能和电势能之和减少，所以只有C选项正确．
11．如图8所示，在a点由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子到达b点时速度恰好为零，设ab所在的电场线竖直向下，a、b间的高度差为h，则( )
图8
A．带电粒子带负电
B．a、b两点间的电势差Uab＝
C．b点场强大于a点场强
D．a点场强大于b点场强
答案 ABC
解析 带电粒子由a到b的过程中，重力做正功，而粒子运动到b点时动能没有增大，说明电场力做负功．根据动能定理有：mgh－qUab＝0，解得a、b两点间电势差为Uab＝.因为a点电势高于b点电势，Uab>0，所以粒子带负电，选项A、B正确．带电粒子由a运动到b过程中，在重力和电场力的共同作用下，先加速运动后减速运动．因为重力为恒力，所以电场力为变力，且电场力越来越大，由此可见b点场强大于a点场强．选项C正确，D错误．
题组四 综合题组
12．如图9所示的匀强电场中，有a、b、c三点，ab＝5 cm，bc＝12 cm，其中ab沿电场线方向，bc和电场线方向成60°角，一个电荷量为q＝4×10－8 C的正电荷从a点移到b点时电场力做功为W1＝1.2×10－7 J，从b点移到c点时电场力做功为W2＝1.44×10－7 J．求：
9
图9
(1)匀强电场的场强E；
(2)a、c两点间的电势差Uac.
答案 (1)60 V/m (2)6.6 V
解析 (1)设a、b间距离为d，由题设条件有W1＝qEd.
E＝＝ V/m＝60 V/m.
(2)正电荷从a移到c电场力做功W＝W1＋W2，又W＝qUac，则
Uac＝＝ V＝6.6 V.
13．如图10所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为 .求小球由A到B的过程中电场力做的功及A、B两点间的电势差．
图10
答案 mgh －
解析 由A到B过程中电场力是变力，所以不能直接用W＝Fs来解，只能考虑应用功能关系求解．
因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：电场力做功WE和重力做功mgh，由动能定理得：
WE＋mgh＝mv
代入已知条件vB＝得电场力做功
WE＝m·3gh－mgh＝mgh
UAB＝＝－
9
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