学案2 表征交变电流的物理量
[学习目标定位] 1.掌握交变电流的周期、频率、线圈转动角速度三者之间的关系.2.能理解电流的有效值是与热效应有关的量，而平均值只是简单意义的平均.3.掌握交变电流有效值与峰值的关系，会进行有关有效值的计算．
1．线圈在某一段时间内从一个位置转动到另一个位置的过程中产生的平均电动势为E＝n.
2．恒定电流产生电热的计算遵循焦耳定律，Q＝I2Rt.
一、交变电流的周期和频率
1．周期：交变电流完成一次周期性变化的时间称为交变电流的周期，通常用T表示，单位是s.
2．频率：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数，叫做它的频率，通常用f表示，单位是赫兹，简称赫，符号是Hz.
3．周期和频率都是描述交变电流变化快慢的物理量，关系为T＝或f＝.
二、交变电流的峰值和有效值
1．峰值：交变电流的峰值是指在一个周期内所能达到的最大数值．交变电流的电动势、电流和电压的峰值分别用Em、Im和 Um表示．
2．有效值：交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的．让交变电流和恒定电流分别通过相同阻值的电阻，如果它们在相同时间内产生的热量相等，这一恒定电流的数值就是相应交变电流的有效值．
3．我们平时所说的交变电流的大小、各种使用交变电流的电气设备所标注的额定电压和额定电流的数值，以及一般交流电流表和交流电压表测出的数值，指的都是有效值．
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一、交变电流的周期和频率
[问题设计]
如图1所示，这个交变电流的周期是多少？频率是多少？
图1
答案 周期T＝0.02 s；频率f＝50 Hz.
[要点提炼]
1．交流电变化越快，则周期越短，频率越大．
2．角速度与周期的关系：ω＝.
3．转速(n)：线圈单位时间(1 s或1 min)转过的圈数，单位是r/s或r/min.
角速度与转速的关系：ω＝2πn(n单位为r/s)或ω＝(n单位为r/min)．
4．我国电网中交变电流的周期是0.02 s，频率是50 Hz.
二、交变电流的峰值和有效值
[问题设计]
1．图2是通过一个R＝1 Ω的电阻的电流i随时间变化的曲线．这个电流不是恒定电流．
(1)怎样计算1 s内电阻R中产生的热量？
(2)如果有一个大小、方向都不变的恒定电流通过这个电阻R，也能在1 s内产生同样的热，这个电流是多大？
图2
答案 (1)Q＝IRt1＋IRt2＝42×1×0.5 J＋22×1×0.5 J＝10 J
(2)由Q＝I2Rt得I＝ ＝ A＝ A
2．某交流电压瞬时值表达式u＝6sin (100πt) V，把标有“6 V,2 W”的小灯泡接在此电源上会不会被烧坏？把标有6 V的电容器接在此电源上会不会被击穿？
答案 小灯泡不会被烧坏，交流电压瞬时值表达式u＝6sin (100πt) V中6 V是最大值，其有效值为6 V，而标有“6 V,2 W”的小灯泡中的6 V是有效值．电容器会被击穿．
[要点提炼]
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1．峰值：也叫最大值，它是所有瞬时值中的最大值．
(1)当线圈平面跟磁感线平行时，交变电流电动势最大，Em＝nBSω(转轴垂直于磁感线)．
(2)电容器接在交流电路中，交变电压的最大值不能超过电容器的耐压值．
2．有效值的应用
(1)计算与电流热效应有关的量(如功率、热量)要用有效值．
(2)交流电表的测量值，电气设备标注的额定电压、额定电流，通常提到的交流电的数值指有效值．
3．有效值的计算
(1)正弦式交变电流：根据E＝、U＝、I＝计算其有效值．
(2)非正弦式交变电流：只能根据电流的热效应计算．计算时要注意三同：“相同电阻”上、“相同时间”内、产生“相同热量”．计算时，“相同时间”一般取一个周期．
4．平均值的应用
计算通过导体某一截面的电荷量时，只能用交变电流的平均值，即q＝·Δt＝Δt＝n，这是平均值应用最多的一处．
一、对描述交变电流物理量的认识
例1 (单选)一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图3所示，由图可知( )
图3
A．该交流电的电压的有效值为100 V
B．该交流电的频率为25 Hz
C．该交流电压瞬时值的表达式为u＝100sin 25t V
D．并联在该电压两端的电压表指针不停摆动
解析 根据题图可知该交变电流电压的最大值为100 V，周期为4×10－2 s，所以频率为25 Hz，A错，B对；而ω＝2πf＝50π rad/s，所以u＝100sin (50πt) V，C错；交流电压表的示数为交流电的有效值而不是瞬时值，不随时间变化，D错．
答案 B
二、正弦式交变电流有效值的计算
例2 (单选)一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图象如图4甲所示．已知发电机线圈内阻为5.0 Ω，外接一只电阻为95.0 Ω的灯泡，如图乙所示，则 ( )
图4
A．电压表的示数为220 V
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B．电路中的电流方向每秒钟改变50次
C．灯泡实际消耗的功率为484 W
D．发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24.2 J
解析 电压表示数为灯泡两端电压的有效值，由题图知电动势的最大值Em＝220 V，有效值E＝220 V，灯泡两端电压U＝＝209 V，A错；
由题图甲知T＝0.02 s，一个周期内电流方向变化两次，可知1 s内电流方向变化100次，B错；
灯泡的实际功率P＝＝ W＝459.8 W，C错；
电流的有效值I＝＝2.2 A，发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为Qr＝I2rt＝2.22×5×1 J＝24.2 J．D对．
答案 D
三、非正弦式交变电流有效值的计算
例3 如图5所示是一交变电流随时间变化的图象，求此交变电流的有效值．
图5
解析 设该交变电流的有效值为I′，直流电的电流强度为I，让该交变电流和直流电分别通过同一电阻(阻值为R)，在一个周期(T＝0.2 s)内，该交变电流产生的热量：
Q′＝IRt1＋IRt2
＝(4)2R×0.1＋(－3)2R×0.1＝5R
在一个周期内直流电通过该电阻产生的热量
Q＝I2RT＝0.2I2R.
由Q＝Q′得，0.2I2R＝5R，解得I＝5 A，即此交变电流的有效值I′＝I＝5 A
答案 5 A
四、有效值、瞬时值、平均值的区别及应用
例4 在水平方向的匀强磁场中，有一正方形闭合线圈绕垂直磁感线的轴匀速转动，已知线圈的匝数为n＝100匝，边长为20 cm，电阻为10 Ω，转动频率f＝50 Hz，磁场的磁感应强度为0.5 T，求：
(1)外力驱动线圈转动的功率．
(2)转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势及感应电流的大小．
(3)线圈由中性面转至与中性面成30°夹角的过程中，通过线圈横截面的电荷量．
解析 (1)线圈中交变电动势的最大值
Em＝nBSω＝100×0.5×(0.2)2×2π×50 V＝628 V.
交变电动势的有效值E＝＝314 V.
外力驱动线圈转动的功率与线圈中交变电流的功率相等．
即P外＝＝ W＝1.97×104 W.
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(2)线圈转到与中性面成30°角时，其电动势的瞬时值e＝Emsin 30°＝314 V，交变电流的瞬时值
i＝＝ A＝31.4 A.
(3)在线圈从中性面转过30°角的过程中，线圈中的平均感应电动势＝n，
平均感应电流＝＝n，
通过线圈横截面的电荷量为q，
则q＝Δt＝n＝
＝ C
＝2.68×10－2 C.
答案 (1)1.97×104 W (2)314 V 31.4 A
(3)2.68×10－2 C
描述交变电流的物理量
1．(对描述交变电流物理量的认识)(单选)如图6是某种正弦式交流电压的波形图，由图可确定该电压的 ( )
图6
A．周期是0.01 s
B．最大值是220 V
C．有效值是220 V
D．表达式为u＝220sin (100πt) (V)
答案 C
解析 由题图可知，该交流电压的周期为0.02 s，最大值为311 V，而有效值U＝＝ V＝220 V，故A、B错误，C正确．
正弦式交流电压的瞬时值表达式
u＝Umsin ωt＝311sin (t) V＝311sin (100πt) V，
故D选项错误．
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2．(正弦式交变电流有效值的计算)(单选)一个矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，周期为T.从中性面开始计时，当t＝T时，线圈中感应电动势的瞬时值为2 V，则此交变电流的有效值为( )
A．2 V B．2 V
C. V D. V
答案 A
解析 先用代入法求出感应电动势的最大值：由e＝Emsin ωt得2 V＝Emsin (×)，由此得Em＝4 V，因此有效值为2 V．选项A正确．
3. (非正弦式交变电流有效值的计算)(单选)通过一阻值R＝100 Ω的电阻的交变电流如图7所示，其周期为1 s．电阻两端电压的有效值为 ( )
图7
A．12 V
B．4 V
C．15 V
D．8 V
答案 B
解析 根据电流的热效应计算电流的有效值．由(0.1)2R×0.4×2＋(0.2)2R×0.1×2＝I2R×1可得，流过电阻的电流的有效值I＝ A，电阻两端电压的有效值为U＝IR＝4 V，B正确．
题组一 对描述交变电流物理量的认识
1．(单选)下列提到的交流电，不是指有效值的是( )
A．交流电压表的读数 B．保险丝熔断电流
C．电容器击穿电压 D．220 V交流电压
答案 C
解析 电容器击穿电压指电容器两端允许加的电压的最大值．
2．(单选)以下说法正确的是 ( )
A．交变电流的有效值就是它的平均值
B．任何交变电流的有效值都是它最大值的
C．如果交变电流接在电阻R上产生的热量为Q，那么该交变电流的有效值为
D．以上说法均不正确
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答案 D
解析 有效值是根据电流的热效应来定义的，平均值并不是有效值，例如线圈在匀强磁场中转动一圈，其平均电动势为零，故A错．在正弦(余弦)式交变电流中，其有效值为最大值的，对于其他交变电流并不一定满足此关系，故B错．交变电流要产生热量需要一定的时间，C选项中没有告诉时间，因此是错误的．
3．(单选)下列关于交变电流的说法正确的是 ( )
A．若交变电流的峰值为5 A，则它的最小值为－5 A
B．用交流电流表测交变电流时，指针来回摆动
C．我国工农业生产和生活用的交变电流频率为50 Hz，故电流方向每秒改变100次
D．正弦交变电流i＝20sin (10πt) A的峰值为20 A，频率为100 Hz
答案 C
解析 电流的负值表示电流方向与规定正方向相反，不表示大小，A项错误；交流电流表测交变电流时，指针不会来回摆动，B项错误；我国工农业生产和生活用的交变电流，周期为0.02 s，交流电方向在一个周期内改变两次，所以每秒改变100次，C项正确；由ω＝2πf得正弦交变电流i＝20sin (10πt) A的频率为5 Hz，D项错误．
题组二 非正弦式交变电流有效值的计算
4．(单选)阻值为1 Ω的电阻上通以交变电流，其i－t关系如图1所示，则在0～1 s内电阻上产生的热量为 ( )
图1
A．1 J
B．1.5 J
C．2 J
D．2.8 J
答案 D
解析 因为所加的电流为交变电流，大小在变化，所以只能分时间段来求热量．在0～1 s内有效电流的瞬时值大小为1 A和2 A的时间段分别为t1＝0.4 s，t2＝0.6 s，所以Q＝IRt1＋IRt2＝2.8 J.
5．某一交变电流的电压波形如图2所示，求这一交变电流的电压的有效值U.
图2
答案 2 V
解析 假设让一直流电压U和如题图所示的交流电压分别加在同一电阻两端，交变电流在一个周期内产生的热量Q1＝2(·＋·)＝·＋·.直流电在一个周期内产生的热量Q2＝
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·T.由交变电流有效值的定义知Q1＝Q2，即·＋·＝·T.解得U＝2 V.
题组三 正弦式交变电流有效值的计算
6．(双选)如图3甲是小型交流发电机的示意图，两磁极N、S间的磁场可视为水平方向的匀强磁场，为交流电流表．线圈绕垂直于磁场方向的水平轴OO′沿逆时针方向匀速转动，从图示位置开始计时，产生的交变电流随时间变化的图象如图乙所示，以下判断正确的是 ( )
图3
A．电流表的示数为10 A
B．线圈转动的角速度为50π rad/s
C．0.01 s时线圈平面与磁场方向平行
D．0.02 s时电阻R中电流的方向自右向左
答案 AC
7．(单选)电阻R1、R2与交流电源按照如图4甲所示方式连接，R1＝10 Ω、R2＝20 Ω.合上开关S后，通过电阻R2的正弦交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示．则( )
图4
A．通过R1的电流的有效值是1.2 A
B．R1两端的电压有效值是6 V
C．通过R2的电流的最大值是1.2 A
D．R2两端的电压最大值是6 V
答案 B
解析 由题图乙可得，正弦交变电流的最大值Im＝0.6 A，所以电流的有效值I＝＝0.6 A，电阻R1、R2串联，所以电流的最大值均为0.6 A，有效值均为0.6 A．由欧姆定律U＝IR得，U1＝IR1＝6 V，所以U1m＝U1＝6 V；U2＝IR2＝12 V，U2m＝U2＝12 V.
8．(单选)在图5所示电路中，A是熔断电流I0＝2 A的保险丝，电阻可不计，R是可变电阻，S是交流电源．交流电源的内电阻不计，其电动势随时间变化的规律是e＝220sin 314t V．为了不使保险丝熔断，可变电阻的阻值应该大于( )
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图5
A．110 Ω B．110 Ω
C．220 Ω D．220 Ω
答案 B
解析 U＝220 V，Rmin＝＝ Ω＝110 Ω.
9．(单选)把U0＝10 V的直流电压加在阻值为R的电阻上，其发热功率跟另一个正弦交变电压加在阻值为上的电功率相同，则这个交变电流的电压的峰值为 ( )
A．10 V B．10 V
C．20 V D．20 V
答案 A
解析 直流电压U0加在阻值为R的电阻上，而交变电流加在阻值为的电阻上，它们联系的桥梁是发热功率相等．设这个交变电压的有效值为U，则由电功率公式得T＝T，U＝，
故Um＝ U＝U0＝10 V．正确答案为A.
题组四 瞬时值、峰值、有效值、平均值的区别应用
10．(单选)矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，从中性面开始转动180°的过程中，平均感应电动势和最大感应电动势之比为( )
A．π/2 B．2/π C．2π D．π
答案 B
11.如图6所示，线圈abcd的面积是0.05 m2，共100匝，线圈电阻为1 Ω，外接电阻R＝9 Ω，匀强磁场的磁感应强度为B＝ T，当线圈以300 r/min的转速匀速转动时，求：
图6
(1)电路中交流电压表和交流电流表的示数；
(2)线圈从图示位置转过90°的过程中通过电阻R的电荷量．
答案 (1)31.86 V 3.54 A (2)0.16 C
解析 (1)Em＝NBSω
＝100××0.05×2π× V
＝50 V
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E＝＝25 V≈35.4 V.
电流表示数I＝＝3.54 A，
电压表示数U＝IR＝3.54×9 V＝31.86 V.
(2)从图示位置转过90°的过程中，
＝N，
又因为＝，
q＝Δt，
联立得q＝＝≈0.16 C.
12.如图7所示，矩形线圈面积为S，匝数为N，线圈电阻为r，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R.当线圈由图示位置转过90°的过程中，求：
图7
(1)通过电阻R的电荷量q；
(2)电阻R上所产生的热量Q.
答案 (1) (2)
解析 本题考查交变电流平均值、有效值的应用，关键要知道求电荷量用交变电流的平均值，求热量用交变电流的有效值．
(1)依题意磁通量的变化量ΔΦ＝BS，线圈转过90°的时间为Δt＝＝＝，平均感应电动势为＝N＝.平均感应电流为＝＝.通过电阻R的电荷量为q＝·Δt＝.
(2)线圈中感应电动势有效值和最大值Em的关系是E＝＝，电路中电流的有效值为I＝＝.
电阻R上产生的热量为Q＝I2Rt＝.
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