学案6 电场强度与电势差的关系
[学习目标定位] 1.理解匀强电场中场强与电势差的关系U＝Ed，并会用公式解决有关问题.2.掌握等势面的特点，理解电场线与等势面的关系．
一、探究场强与电势差的关系
1．在匀强电场中，沿着电场强度的方向，任意两点之间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积，用公式表示为U＝Ed.
2．在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿场强方向距离为单位长度的两点间的电势差，用公式表示为E＝.
二、电场线与等势面的关系
电场线跟等势面垂直，在等势面上移动电荷电场力不做功．沿着电场线的方向各等势面上的电势减小，逆着电场线的方向各等势面上的电势增大．电场线密的区域等势面密，电场线疏的区域等势面疏.一、探究场强与电势差的关系
[问题设计]
如图1所示
图1
的匀强电场中有A、B两点，A、B两点位于同一条电场线上，B、C连线垂直电场线，已知场强大小为E，A、B两点间的电势差为UAB，A、B间距离为d，电荷q从A点移动到B点，回答下列问题：
(1)电荷所受静电力是多少？从力和位移的角度计算静电力所做功的大小．通过A、B间的电势差计算静电力做功的大小．
(2)比较两次计算的功的大小，电势差与电场强度有何关系？
(3)在图1中，如果将电荷从A点移动到C点，在利用(1)问中的推导过程试着推导，能获得何结论？(已知AB与AC的夹角为θ，A、C间的距离为L)
答案 (1)F＝qE WAB＝Fd＝qEd WAB＝qUAB
(2)UAB＝Ed
(3)WAC＝qELcos θ＝qEd，WAC＝qUAC，UAC＝Ed
[要点提炼]
1．公式U＝Ed只适用于匀强电场，其中d为A、B两点沿电场方向的距离．
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2．电场中A、B两点的电势差UAB跟电荷移动的路径无关，由电场强度E及A、B两点沿电场方向的距离d决定．
3．公式E＝说明电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，且场强方向就是电势降低最快的方向．
4．在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等；在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点的电势差相等．
[延伸思考]
公式U＝Ed是在匀强电场中得到的，在非匀强电场中能否适用？
答案 在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．
二、电场线与等势面的关系
[问题设计]
为什么等势面一定跟电场线垂直？
答案 在同一等势面上移动电荷时，电势能不变，所以电场力不做功，即电场力方向与等势面垂直，如果不垂直，电场力就有一个沿着等势面的分量，在等势面上移动电荷时电场力就要做功，所以等势面一定跟电场线垂直．
[要点提炼]
1．电场线与等势面垂直；在等势面上移动电荷电场力不做功(填“做功”或“不做功”)．
2．沿着电场线的方向各等势面上的电势减小，逆着电场线的方向各等势面上的电势增大．即电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面．
3．电场线密的区域等势面密，电场线疏的区域等势面疏．即电场强度大的地方等势面密，电场强度小的地方等势面疏．
[延伸思考]
请大致画出点电荷、等量异号点电荷、等量同号点电荷和匀强电场的等势面．简述它们的特点？
答案
(1)点电荷的等势面：点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面．
(2)等量异号点电荷的等势面：等量异号点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，中垂线是一等势线．
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(3)等量同号点电荷的等势面：等量正点电荷连线的中点电势最低，中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．连线上和中垂线上关于中点的对称点等势．等量负点电荷连线的中点电势最高，中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高，连线上和中垂线上关于中点的对称点等势．
(4)匀强电场的等势面：匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面．
说明：等势面密集处电场线也密集．任意两个等势面不会相交．
一、对电势差与电场强度关系的理解
例1 如图2所示，
图2
P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm.求：
(1)P板及A点的电势．
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
解析 板间场强方向水平向左，可见Q板是电势最高处．Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值．利用公式E＝可求出板间匀强电场的场强，再由U＝Ed可求出各点与Q板间的电势差，即各点的电势．
(1)场强E＝＝ V·m－1＝5×102 V·m－1
Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V
所以A点电势φA＝－30 V，P点电势φP＝UPQ＝－50 V
(2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离d″＝(10－5) cm＝5 cm
Q板与A点间距离变为d＝(10－4) cm－5 cm＝1 cm
电场强度E′＝＝ V·m－1＝1.0×103 V·m－1
Q、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2 V＝10 V
所以A点电势φA＝－10 V.
答案 (1)－50 V －30 V (2)－10 V
针对训练 (单选)对公式E＝的理解，下列说法正确的是( )
A．此公式适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B．A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中的d是指A点和B点之间的距离
D．公式中的d是A、B所在两个等势面间的垂直距离
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解析 公式E＝，仅适用于匀强电场，所以A错；公式中的d是指A、B两点沿电场线方向的距离，即A、B所在两等势面间的垂直距离．所以B、C均错，D对．
答案 D
二、对电场线与等势面的关系的理解
例2 (单选)关于等势面的说法，正确的是( )
A．电荷在等势面上移动时，由于不受电场力作用，所以说电场力不做功
B．在同一个等势面上各点的场强大小相等
C．两个不等电势的等势面可能相交
D．若相邻两等势面的电势差相等，则等势面的疏密程度能反映场强的大小
解析 等势面由电势相等的点组成，等势面处的电场线跟等势面垂直，因此电荷在等势面上移动时，电场力不做功，但并不是不受电场力的作用，A错．等势面上各点场强大小不一定相等，等势面不可能相交，B、C错．等差等势面的疏密反映场强的大小，D对．
答案 D
例3 (双选)如图3所示，
图3
实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在轴上有A、B两点，则( )
A．A点场强小于B点场强
B．A点场强方向指向x轴负方向
C．A点场强大于B点场强
D．A点电势高于B点电势
解析 由于电场线与等势面总是垂直，所以B点电场线比A点密，B点场强大于A点场强，故A正确，C错误．电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，故B错误．由题图数据可知D正确．
答案 AD
—
—
1.(对场强与电势差关系的理解)(单选)下列关于匀强电场中场强和电势差的关系，说法正确的是( )
A．任意两点间的电势差，等于场强和这两点间距离的乘积
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B．在任何方向上，若两点间距离相等，则它们之间电势差就相等
C．沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降落必定相等
D．电势降落的方向必定是电场强度的方向
答案 C
解析 匀强电场中电势差与场强的关系U＝Ed中的d是两点沿电场线方向的距离，并不是两点间的距离，A错；两点距离相等，两点沿电场方向的距离不一定相等，B错；由U＝Ed＝Elcos α，可知C对，D错．
2．(对电场线与场强和等势面的理解)(单选)
图4
三个点电荷电场的电场线分布如图4所示，图中a、b两点处的场强大小分别为Ea、Eb，电势分别为φa、φb，则( )
A．Ea＞Eb，φa＞φb
B．Ea＜Eb，φa＜φb
C．Ea＞Eb，φa＜φb
D．Ea＜Eb，φa＞φb
答案 C
解析 由题图可知，a点附近的电场线比b点附近的电场线密，所以Ea＞Eb.电场线由电势较高的等势面指向电势较低的等势面，a点所在的等势面的电势一定低于b点所在的等势面的电势，即φb＞φa.故选项C正确．
3．(对电场线与等势面关系的理解)(双选)
图5
位于A、B处的两个带有不等量电荷的负点电荷在平面内电势分布如图5所示，图中实线表示等势线，则( )
A．a点和b点的电场强度相同
B．正电荷从c点移到d点，电场力做正功
C．负电荷从a点移到c点，电场力做正功
D．正电荷从e点沿图中虚线移到f点，电势能先减小后增大
答案 CD
解析 a点的等势面比b点的稀疏，故a点的场强比b点的小，A错．c点电势低于d点，正电荷从c点移到d点，即正电荷向高电势处移动，电场力做负功，B错．a点电势低于c点，从a到c，把负电荷移向高电势，电场力做正功，C对．从e到f，电势先降低后升高，故沿此方向移动正电荷，电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大，D对．
4．(匀强电场中电场强度与电势差的关系)(双选)
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图6
如图6所示，A、B两板间电压为600 V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12 cm，C点离A板4 cm，下列说法正确的是( )
A．E＝2 000 V/m，φC＝200 V
B．E＝5 000 V/m，φC＝－200 V
C．电子在C点具有的电势能为－200 eV
D．电子在C点具有的电势能为200 eV
答案 BD
解析 A板接地，则其电势为零，又因为A、B两板间的电压为600 V，则B板电势为－600 V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强E＝U/d＝600 V/12 cm＝50 V/cm＝5 000 V/m，φC＝－EdC＝－50 V/cm×4 cm＝－200 V，A错误，B正确；电子在C点具有的电势能为200 eV，C错误，D正确．
题组一 对电场强度E的全面认识
1．(单选)下列说法正确的是( )
A．由公式E＝U/d得，电场强度E与电势差U成正比，与两点间距离d成反比
B．由公式E＝U/d得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小
C．在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点间距离的乘积
D．公式E＝U/d只适用匀强电场
答案 D
2．(单选)关于电场强度，下列说法正确的是( )
A．根据公式E＝可知，场强E跟电荷所受的静电力F成正比，跟放入电荷的电荷量q成反比
B．由公式E＝可知，在真空中由点电荷Q形成的电场中，某点的场强E跟Q成正比，跟该点到Q的距离r的平方成反比
C．虽然正、负电荷在电场中的同一点所受的静电力方向相反，但该点的场强方向只有一个，即正电荷在该点的受力方向，也就是负电荷在该点受力方向的反方向
D．由公式E＝及E＝均可以确定在真空中点电荷形成的电场中某点的场强，可见场强E与Q、q均有关
答案 C
3．(双选)如图1所示，
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图1
在电场中任意取一条电场线，电场线上的a、b两点相距为d，则( )
A．a点场强一定大于b点的场强
B．a点的电势一定高于b点的电势
C．a、b两点间的电势差一定等于E·d(E为a点的场强)
D．a、b两点间的电势差等于单位正电荷由a点沿任意路径移动到b点的过程中电场力所做的功
答案 BD
解析 场强方向不能表示场强大小，A项错；沿场强方向电势降低，B项对；C项错是因为此电场不一定是匀强电场；由电势差的定义知D项对．
题组二 对电势差与电场强度关系的理解
4．(单选)在水深超过200 m的深海，光线极少，能见度极低，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发出的生物电获取食物、威胁敌害、保护自己．若该电鳗的头尾相当于两个电极，它在海水中产生的电场强度达到104 N/C，可击昏敌害．则身长50 cm的电鳗，在放电时产生的瞬间电压可达( )
A．50 V B．500 V
C．5 000 V D．50 000 V
答案 C
解析 U＝Ed＝104×0.5 V＝5 000 V.
5．(单选)如图2所示，
图2
一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN.P点在y轴右侧，MP⊥ON.则下列说法正确的是( )
A．M点的电势比P点的电势高
B．将负电荷由O点移动到P点，电场力做正功
C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D．M、N两点间的电势差等于O、M两点间的电势差
答案 A
解析 根据电场线和等势面的关系画出等势面，可以判断M点的电势比P点的电势高，A正确．负电荷由O点移动到P点，电场力做负功，B错误．根据U＝Ed进行定性分析可知，C、D错误．
6．(单选)如图3所示是
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图3
匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定电场强度的方向及大小为( )
A．竖直向下，E＝0.4 N/C
B．水平向右，E＝0.4 N/C
C．水平向左，E＝40 N/C
D．水平向右，E＝40 V/m
答案 D
解析 电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝＝ V/m＝40 V/m，故D项正确．
7．(单选)如图4所示，
图4
在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为( )
A．UOP＝－10sin θ (V)
B．UOP＝10sin θ (V)
C．UOP＝－10cos θ (V)
D．UOP＝10cos θ (V)
答案 A
解析 由题图可知匀强电场的方向是沿y轴负方向的．沿着电场线的方向电势是降低的，所以P点的电势高于O点的电势，O、P两点的电势差UOP为负值．根据电势差与场强的关系UOP＝－Ed＝－E·Rsin θ＝－10sin θ (V)，所以A正确．
8．(单选)如图5所示，
图5
三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列．A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上．A、C两点的电势依次为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势( )
A．一定等于6 V B．一定低于6 V
C．一定高于6 V D．无法确定
答案 B
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题组三 综合应用
9．如图6所示，
图6
三条曲线表示三条等势线，其电势φC＝0，φA＝φB＝10 V，φD＝－30 V，将电荷量q＝1.2×10－6 C的电荷在该电场中移动．
(1)把这个电荷从C移到D，电场力做功多少？
(2)把这个电荷从D移到B再移到A，电势能变化多少？
答案 见解析
解析 (1)UCD＝φC－φD＝30 V
WCD＝qUCD＝1.2×10－6×30 J
＝3.6×10－5 J
(2)UDA＝φD－φA＝(－30－10) V＝－40 V
WDA＝qUDA＝1.2×10－6×(－40) J
＝－4.8×10－5 J
所以电势能应该增加4.8×10－5 J.
10．如图7所示，
图7
A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面．现将电荷量为10－8C的正点电荷从A点移到B点，电场力做功为3×10－6J，将另一电荷量为10－8C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功3×10－6J.
(1)求电场线方向，UAB、UAC、UBC各为多少？
(2)AB边长为2 cm，求电场强度．
答案 见解析
解析 (1)正点电荷从A点移到B点时，电场力做正功，故A点电势高于B点，可以求得UAB＝＝ V＝300 V.
同理可判断A点电势高于C点，可求得UAC＝＝300 V.
因此B、C两点电势相等，UBC＝0，由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线．因此，BC为一等势线，故电场线方向垂直BC.设D为BC的中点，则电场线方向为由A指向D.
(2)直线AB沿场强方向的距离d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与场强的关系式可得：
E＝＝V/m＝104 V/m.
11
11.
图8
把一个带正电荷q的小球用细线悬挂在两块面积很大的竖直平行板间的O点，小球质量m＝2 g，悬线长L＝6 cm，两板间距离d＝8 cm，当两板间加上U＝2×103 V的电压时，小球自悬线水平的A点由静止开始向下运动到达O点正下方的B点时的速度刚好为零，如图8所示，以后小球一直在A、B之间来回摆动．取g＝10 m/s2，求小球所带的电荷量．
答案 8×10－7 C
解析 取小球为研究对象，重力mg竖直向下，电场力qE水平向左，绳的拉力为FT，在小球由A向B运动的过程中，重力mg对小球做正功，电场力qE对小球做负功，拉力FT不做功，根据动能定理mgL－qEL＝0，
又因为E＝，
由以上两式可得：q＝8×10－7 C.
12．如图9所示的电场，
图9
等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各平面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：
(1)小球应带何种电荷及其电荷量；
(2)小球受到的合外力；
(3)在入射方向上小球运动的最大位移sm.(电场足够大)
答案 (1)正电荷 (2)mg (3)
解析 (1)作电场线如图(a)所示．由题意知，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图(b)所示．只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动．由图(b)知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝，所以q＝＝.
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(2)由图(b)知，F合＝＝mg
(3)由动能定理得－F合 sm＝0－mv
所以sm＝＝.
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