学案5 电势和电势差
[学习目标定位] 1.理解电势差的概念，理解电场力做功的特点，掌握电场力做功与电势能变化的关系.2.理解电势、等势面的概念，知道电势差与电势的关系.3.会用UAB＝φA－φB及UAB＝WAB/q进行有关计算．
一、电势差
电场力的功与所移动电荷的电荷量的比值与电荷无关，它反映了电场自身在A、B两点的性质．我们定义这个比值为电场中A、B两点的电势差UAB＝.在国际单位制中，电势差单位为伏特，简称伏，符号为V.
二、电势
1．如果在电场中选定一个参考点P，规定该点电势为零，则电场中任意一点A的电势，数值上等于把单位正电荷从A点移到参考点P时电场力所做的功．用φA表示A点的电势，则φA＝，电势的单位是伏特．
2．电场中任意两点A、B间的电势差可表示为UAB＝φA－φB.若UAB为正值，表示A点的电势比B点的电势高．若UAB为负值，表示A点的电势比B点电势低，电势只有大小，没有方向，是标量．
三、等势面
电场中电势相等的点构成的曲面叫做等势面，相邻等势面之间的电势差值相等时，等势面密集的地方，电场较强，等势面稀疏的地方电场较弱.
一、电场力做功的特点及其与电势能变化的关系
[问题设计]
1．如图1所示，试探电荷q在电场强度为E的匀强电场中，(1)沿直线从A移动到B，电场力做的功为多少？(2)若q沿折线AMB从A点移动到B点，电场力做的功为多少？(3)若q沿任意曲线从A点移动到B点，电场力做的功为多少？据此可以得出什么结论？
图1
答案 (1)电场力F＝qE，电场力与位移夹角为θ，电场力对试探电荷q做的功W＝F·|AB|cos θ＝qE·|AM|.
(2)在线段AM上电场力做的功W1＝qE·|AM|.在线段MB上电场力做的功W2＝0，总功W＝W1＋W2＝qE·|AM|.
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(3)电荷在匀强电场中沿任意路径由A运动到B，电场力做功相同，为qE·|AM|.说明对同一电荷，电场力做功与路径无关，只与电荷的初末位置有关．
2．类比重力做功与重力势能变化的关系，电场力做正功，电势能如何变化？电场力做负功，电势能如何变化？电场力做功与电势能变化有怎样的数量关系？
答案 电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加．
电场力做功的值等于电势能的变化量，即：WAB＝EpA－EpB.
[要点提炼]
1．电场力做功的特点
电场力对某电荷所做的功，与该电荷的初末位置有关，与电荷经过的路径无关．
(1)虽然此结论从匀强电场中推导出来，但也适用于非匀强电场．
(2)电场力做功与重力做功相似，只要初末位置确定了，移动电荷做的功就是确定值．
2．电场力做功与电势能变化的关系
电场力做正功，电势能减少，减少的电势能等于电场力做的功．电场力做负功，电势能增加，增加的电势能等于克服电场力做的功，公式表达为WAB＝EpA－EpB.
[延伸思考]
当正电荷顺着电场线运动时，电场力做什么功？电势能是增加还是减少？当负电荷顺着电场线运动时，电场力做什么功？电势能是增加还是减少？
答案 正电荷顺着电场线运动时，电场力做正功，电势能减少．负电荷顺着电场线运动时，电场力做负功，电势能增加．
二、电势
[问题设计]
如图2所示的匀强电场，场强为E，取O点为零势能点，A点距O点为l，AO连线与电场线的夹角为θ.电荷量分别为q和2q的试探电荷在A点的电势能为多少？电势能与电荷量的比值各是多少？
图2
答案 由EpA－EpO＝WAO＝Eqlcos θ，知电荷量为q和2q的试探电荷在A点的电势能分别为Eqlcos θ、2Eqlcos θ；电势能与电荷量的比值相同，都为Elcos θ.
[要点提炼]
1．电场中某点的电势φ＝，在计算时应代入各自的正负号．
2．电势的标量性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负之分，电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低．
3．电势的相对性：零电势点的选取原则：一般选大地或无穷远处为零电势，只有选取了零电势点才能确定某点的电势大小．
4．电势是描述电场性质的物理量，决定于电场本身，与试探电荷无关．
5．判断电势高低的方法：(1)利用电场线：沿着电场线方向电势逐渐降低(此为主要方法)；
(2)利用公式φ＝判断，即在正电荷的电势能越大处，电势越高，负电荷电势能越大处，电势越低．
三、电势差
[问题设计]
如图3所示，
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A、B、C为同一电场线上的三点，取B点电势为零时，A、C两点的电势分别为8 V和－6 V．A、C两点间的电势差UAC是多少？C、A两点间的电势差UCA是多少？
图3
答案 UAC＝φA－φC＝14 V UCA＝φC－φA＝－14 V
[要点提炼]
1．电场中两点间电势差的计算公式：UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，UAB＝－UBA.
2．电势差是标量，有正负，电势差的正负表示电势的高低．UAB＞0，表示A点电势比B点电势高．
[延伸思考]
1．上面的问题中，若取C点电势为零，A、C两点间的电势差UAC是多少？C、A两点间的电势差UCA是多少？A、B两点的电势分别是多少？
答案 UAC＝φA－φC＝14 V UCA＝φC－φA＝－14 V φA＝14 V φB＝6 V
2．选取不同的零电势参考面，电场中某点的电势、两点之间的电势差也会随之改变吗？
答案 电场中某点的电势会改变，电势与零势面的选取有关．两点间的电势差不会改变，电势差与零电势面的选取无关．
一、静电力做功与电势能变化的关系
例1 在电场中把一个电荷量为6×10－6 C的负电荷从A点移到B点，克服静电力做功3×10－5 J，则电荷从A到B的过程中，电势能变化了多少？是增加还是减少？若规定电荷在B点的电势能为零，则电荷在A点的电势能为多大？
解析 电荷克服静电力做功，即静电力做负功，有WAB＝－3×10－5 J．由WAB＝EpA－EpB知，电势能变化了3×10－5 J；由于静电力做负功，则电势能增加．
若EpB＝0，则由WAB＝EpA－EpB得EpA＝－3×10－5 J.
答案 3×10－5 J 增加 －3×10－5 J
二、对电势的理解
例2 如果把电荷量q＝1.0×10－8 C的电荷从无穷远移到电场中的A点，需要克服静电力做功W＝1.2×10－4 J，那么，
(1)q在A点的电势能和A点的电势各是多少？
(2)q未移入电场前，A点的电势是多少？
解析 (1)静电力做负功，电势能增加，无穷远处的电势为零，电荷在无穷远处的电势能也为零，即
φ∞＝0，Ep∞＝0.
由W∞A＝Ep∞－EpA得EpA＝Ep∞－W∞A＝0－(－1.2×10－4 J)＝1.2×10－4 J
再由φA＝得φA＝1.2×104 V
(2)A点的电势是由电场本身决定的，跟A点是否有电荷存在无关，所以q未移入电场前，A点的电势仍为1.2×104 V.
答案 (1)1.2×10－4 J 1.2×104 V
(2)1.2×104 V
三、对电势和电势差的理解
例3 (双选)下列说法正确的是( )
A．电势差与电势一样，是相对量，与零电势点的选取有关
B．电势差是一个标量，但有正、负之分
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C．由于电场力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关
D．A、B两点的电势差是恒定的，不随零电势面的不同而改变，所以UAB＝UBA
解析 电势具有相对性，与零电势点的选择有关．而电势差是标量，有正、负之分，但大小与零电势点的选择无关．故A错误，B正确；由于UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，故D错误；电势差为电场中两点电势之差，与移动电荷的路径无关，故C正确．
答案 BC
例4 如图4所示，某电场的等势面用实线表示，各等势面的电势分别为10 V、6 V和－2 V，则UAB＝________，UBC＝________，UCA＝________.
图4
解析 由电势差的定义可知：因A、B两点在同一个等势面上，
故有φA＝φB＝10 V，φC＝－2 V，
所以UAB＝φA－φB＝(10－10)V＝0.
B、C间的电势差为
UBC＝φB－φC＝[10－(－2)] V＝12 V.
C、A间的电势差为
UCA＝φC－φB＝(－2－10) V＝－12 V
答案 0 12 V －12 V
1.(静电力做功与电势能变化的关系)(单选)在电场中，把电荷量为4×10－9 C的正点电荷从A点移到B点，克服静电力做功6×10－8 J，以下说法中正确的是( )
A．电荷在B点具有的电势能是6×10－8 J
B．B点电势是15 V
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C．电荷的电势能增加了6×10－8 J
D．电荷的电势能减少了6×10－8 J
答案 C
解析 电荷在电场中某点的电势能具有相对性，只有确定了零势点，B点的电势、电荷在B点的电势能才是确定的数值，故选项A、B错误；由于电荷从A移到B的过程中是克服静电力做功6×10－8 J，故电荷电势能应该是增加了6×10－8 J，选项C正确，选项D错误．
2．(对电势的理解)(双选)关于电势，下列说法正确的是( )
A．电场中某点的电势，其大小等于单位电荷从该点移动到零电势点时，静电力所做的功
B．电场中某点的电势与零电势点的选取有关
C．由于电势是相对的，所以无法比较电场中两点的电势高低
D．电势是描述电场能的性质的物理量
答案 BD
解析 没有说明电荷的电性，A错误．由于电势是相对量，电势的大小与零电势点的选取有关，故B正确．虽然电势是相对的，但电势的高低是绝对的，因此C错误．电势与电势能相联系，它是描述电场能的性质的物理量，故D正确．
3．(对电势和电势差的理解)(单选)在电场中A、B两点间的电势差UAB＝75 V，B、C两点间的电势差UBC＝－200 V，
则A、B、C三点的电势高低关系为( )
A．φA＞φB＞φC B．φA＜φC＜φB
C．φC＞φA＞φB D．φC＞φB＞φA
答案 C
解析 UAB＝75 V，φA－φB＝75 V，φA＝φB＋75 V；UBC＝－200 V，φB－φC＝－200 V，φC＝φB＋200 V；φC＞φA＞φB.
4．(电场力做功与等势面的关系)(单选)如图5所示，在点电荷Q产生的电场中，将两个带正电的试探电荷q1、q2分别置于A、B两点，虚线为等势线．取无穷远处为零电势点，若将q1、q2移动到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等，则下列说法正确的是( )
图5
A．A点电势大于B点电势
B．A、B两点的电场强度相等
C．q1的电荷量小于q2的电荷量
D．q1在A点的电势能小于q2在B点的电势能
答案 C
解析 由于电场力做负功，所以Q应带负电荷，由负点电荷产生电场的电场线的分布规律可判断出φB>φA，故A项错误；由E＝k，r不相等，所以EA≠EB，B项错误；由φA＝、φB＝，因为WA→∞＝WB→∞＜0，φA，即q1
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