学案7 习题课：电场能的性质的应用
[学习目标定位] 1.掌握电势、等势面、电势差、电势能的概念.2.掌握电场力做功与电势能、电势差的关系，并会进行有关计算.3.进一步增强运用力学规律处理电场问题的能力．
1．动能定理：合外力所做的功等于物体动能的变化．
2．电场力做功的计算方法
(1)WAB＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场线方向的位移．
(2)WAB＝qUAB，适用于任何形式的电场．
3．电势能大小由电场和电荷决定．电场力做功与电势能变化的关系为W＝ΔEp，电势能与电势的关系Ep＝φq.
4．电势φ＝，是反映电场性质的物理量，其大小与零电势点的选取有关．通常把离场源电荷无穷远处的电势规定为零，或把大地的电势规定为零．
5．A、B两点间的电势差UAB＝＝φA－φB，其大小与零电势点的选取无关．
6．用电场线和等势面可以形象地研究电场：(1)沿电场线的方向电势逐渐降低；(2)等势面一定与电场线垂直，等差等势面越密的地方电场强度越大，反之则越小．
7．匀强电场中电势差与场强的关系式：U＝Ed，其中d为电场中两点间沿电场线方向的距离．电场中场强方向是指电势降低最快的方向.
一、电势、电势能、电场力做功的综合分析
计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：(1)利用电场力做功与电势能的关系求解：WAB＝EpA－EpB.
(2)利用W＝Fd求解，此公式只适用于匀强电场．
(3)利用公式WAB＝qUAB求解．
(4)利用动能定理求解．
例1 为使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线匀速地由A运动到B，必须对电荷施加一恒力F，如图1所示．若AB＝0.4 m，α＝37°，q＝－3×10－7 C，F＝1.5×10－4 N，A点电势φA＝100 V．(不计重力)
图1
(1)在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B两点的等势线，并标明它们的电势值．
(2)q在由A到B的过程中电势能的变化量是多少？
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解析 (1)由平衡条件可知电场力方向与F方向相反、大小相等，又知点电荷带负电，故电场强度方向与电场力方向相反，所以电场方向与F方向相同，如图所示．E＝＝ N/C＝5×102 N/C，UBA＝φB－φA＝－Ecos α，φB＝φA－Ecos α＝－60 V.
(2)负电荷在由A到B的过程中，电势能增加，增量为ΔEp＝－qEd＝qUBA＝－3×10－7×(－160) J＝4.8×10－5 J.
答案 (1)见解析图 (2)4.8×10－5 J
二、电场线、等势面和运动轨迹等方面的综合
带电粒子在电场中运动时，在电场线密处所受电场力大，加速度也大；其速度方向沿轨迹的切线方向或与切线相反的方向，所受电场力的方向沿电场线的切线方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧；其速度方向与电场力方向夹角小于90°时电场力做正功，大于90°时电场力做负功．
例2 (单选)两个固定的等量异号点电荷所产生电场的等势面如图2中虚线所示，一带负电的粒子以某一速度从图中A点沿图示方向进入电场在纸面内飞行，最后离开电场，粒子只受电场力的作用，则粒子在电场中( )
图2
A．做直线运动，电势能先变小后变大
B．做直线运动，电势能先变大后变小
C．做曲线运动，电势能先变小后变大
D．做曲线运动，电势能先变大后变小
解析 带负电的粒子受到的电场力垂直电势为0 V的等势面向上，粒子做曲线运动，电场力先做正功后做负功，电势能先变小后变大，故C正确．
答案 C
针对训练 (双选)某静电场中的电场线如图3所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，由M运动到N，其运动轨迹如图中虚线所示，以下说法正确的是( )
图3
A．粒子必定带正电荷
B．由于M点没有电场线，粒子在M点不受电场力的作用
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C．粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度
D．粒子在M点的动能小于在N点的动能
答案 AD
解析 根据带电粒子运动轨迹弯曲的情况，可以确定粒子受电场力的方向沿电场线方向，故此粒子带正电，A选项正确．由于电场线越密，电场强度越大，粒子受到的电场力就越大，根据牛顿第二定律可知其加速度也越大，故此粒子在N点加速度大，B、C项错误．粒子从M点运动到N点，电场力做正功，根据动能定理得此粒子在N点的动能大，故D选项正确．
三、等分法确定等势点(等势线)
根据“匀强电场中，任意方向上，平行且相等的两个线段之间的电势差相等”，先确定电势相等的点，画出等势面；根据电场线和等势面的关系，画出电场线．
例3 如图4所示， A、B、C是匀强电场中等腰直角三角形的三个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，试确定场强的方向，并画出电场线．
图4
解析 根据A、B、C三点电势的特点，
在AC连线上取M、N两点，使AM＝MN＝NC，如图所示，尽管AC不一定是场强方向，但可以肯定AM、MN、NC在场强方向上的投影长度相等，由U＝Ed可知，UAM＝UMN＝UNC＝＝ V＝6 V．由此可知，φN＝3 V，φM＝9 V，B、N两点等电势，BN的连线即为等势线，那么电场线与BN垂直．电场强度的方向为电势降低的方向：斜向下．
答案 见解析
四、电场中的动力学问题
带电体在电场中的平衡问题和一般的平衡问题相同，在原有受力分析的基础上增加了电场力，根据带电体在电场中的平衡情况列出平衡方程．当带电体在电场中做加速运动时，可用牛顿运动定律和动能定理求解．
例4 竖直放置的两块足够长的平行金属板间有匀强电场．其电场强度为E，在该匀强电场中，用丝线悬挂质量为m的带电小球，丝线跟竖直方向成θ角时小球恰好平衡，如图5所示．请问：
图5
(1)小球带电荷量是多少？
(2)若剪断丝线，小球碰到金属板需多长时间？
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解析 (1)由于小球处于平衡状态，对小球受力分析如图所示
FTsin θ＝qE ①
FTcos θ＝mg ②
由得tan θ＝，故q＝
(2)由第(1)问中的方程②知FT＝，而剪断丝线后小球所受电场力和重力的合力与未剪断丝线时丝线的拉力大小相等，故剪断丝线后小球所受重力、电场力的合力等于.小球的加速度a＝＝，小球由静止开始沿着丝线拉力的反方向做匀加速直线运动，当碰到金属板时，它的位移为x＝，又由x＝at2得t＝ ＝ ＝
答案 (1) (2)
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1.(电势能、静电力和运动轨迹等方面的综合)(双选)如图6所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知( )
图6
A．三个等势面中，a的电势最高
B．带电质点通过P点时电势能较大
C．带电质点通过P点时动能较大
D．带电质点通过P点时加速度较大
答案 BD
解析 由轨迹QP可以确定质点的受力方向，由于该质点带正电，所以可以判断P点电势高．由Q到P，电场力做负功，电势能增加，故质点在P点电势能较大，由于P处等势面密集，所以带电质点通过P点时加速度较大．
2．(电势差、静电力做功的计算)如图7所示，(单选) A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，＝20 cm，把一个电荷量q＝10－5 C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为－1.73×10－3 J，则该匀强电场的电场强度的大小和方向为( )
图7
A．865 V/m，垂直AC向左
B．865 V/m，垂直AC向右
C．1 000 V/m，垂直AB斜向上
D．1 000 V/m，垂直AB斜向下
答案 D
解析 把电荷q从A移到B，电场力不做功，说明A、B两点在同一等势面上．因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故题图中直线AB即为等势线，电场强度方向应垂直于AB，可见，选项A、B错误；UBC＝＝ V＝－173 V，说明B点电势比C点低173 V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB斜向下，电场强度大小E＝＝＝ V/m＝1 000 V/m，因此选项D正确，C错误．
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3．(电势、电势差、电场力做功的计算)如图8所示， a、b、c、d为匀强电场中四个等势面，相邻等势面间距离均为2 cm，已知UAC＝60 V，求：
图8
(1)设B点电势为零，求A、C、D、P点的电势；
(2)将q＝－1.0×10－10 C的点电荷由
A移到D，电场力所做的功WAD；
(3)将q＝1.0×10－10 C的点电荷由B移到C，再经过D最后回到P，电场力所做的功WBCDP.
答案 (1)30 V －30 V －60 V 0 (2)－9.0×10－9 J
(3)0
解析 (1)由题意可知φP＝φB＝0
UAC＝60 V，UAB＝UBC，所以UAB＝φA－0＝30 V
则φA＝30 V，同理φC＝－30 V，φD＝－60 V
(2)WAD＝qUAD＝q(φA－φD)＝－9.0×10－9 J
(3)由于电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关，所以做功为WBCDP＝qUBP＝0.
4．(电场中的动力学问题)如图9所示， Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将另一点电荷从A点由静止释放，运动到B点时速度正好变为零，若此电荷在A点处的加速度大小为g，求：
图9
(1)此电荷在B点处的加速度；
(2)A、B两点间的电势差(用Q和h表示)．
答案 (1)3g，方向竖直向上 (2)－
解析 (1)由题意可知，这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律得，在A点时：mg－k＝m· g．在B点时：k－mg＝m·aB，解得aB＝3g，方向竖直向上．
(2)从A到B的过程，由动能定理得mg(h－0.25h)＋qUAB＝0，解得UAB＝－.
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题组一 电势、电势能、电场力做功的综合分析
1．(双选)关于电势和电势能的说法正确的是( )
A．电荷在电场中电势越高的地方电势能也越大
B．电荷在电场中电势越高的地方，电荷量越大，所具有的电势能也越大
C．在正点电荷电场中的任意一点处，正电荷所具有的电势能一定大于负电荷所具有的电势能
D．在负点电荷电场中的任意一点处，正电荷所具有的电势能一定小于负电荷所具有的电势能
答案 CD
解析 沿电场线方向电势越来越低，正电荷的电势能越来越小，负电荷的电势能却越来越大．
2．(单选)如图1所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab的中点，a、b电势分别为φa＝5 V、φb＝3 V．下列叙述正确的是( )
图1
A．该电场在c点处的电势一定为4 V
B．a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb
C．一正电荷从c点运动到b点电势能一定减少
D．一正电荷运动到c点时受到的电场力方向由c指向a
答案 C
解析 由于无法确定该电场是否为匀强电场及a、b、c处场强的关系，所以A、B错．正电荷运动到c点受力方向为由a指向c，故D错．
3．(双选)等量异号点电荷的连线和中垂线如图2所示，现将一个带负电的试探电荷先从图中的a点沿直线移动到b点，再从b点沿直线移动到c点，则试探电荷在此全过程中( )
图2
A．所受电场力的方向不变
B．所受电场力的大小恒定
C．电势能一直减小
D．电势能先不变后减小
答案 AD
解析 ab线是等量异号点电荷电场的等势线，而合电场的场强方向都是垂直ab线向下的，试探电荷在a→b过程中电场力方向始终竖直向上，与在c点相同，A对；沿ab方向越靠近两点电荷的连线，电场线越密，场强越大，所受电场力越大，B错；从a→b电场力不做功，从b→c电场力做正功，电势能先不变后减小，C错，D对．
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4．(双选)图3是某种静电矿料分选器的原理示意图，带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后，分落在收集板中央的两侧．对矿粉分离的过程，下列表述正确的有( )
图3
A．带正电的矿粉落在右侧
B．电场力对矿粉做正功
C．带负电的矿粉电势能变大
D．带正电的矿粉电势能变小
答案 BD
解析 由题图可知，电场方向水平向左，带正电的矿粉所受电场力方向与电场方向相同，所以落在左侧；带负电的矿粉所受电场力方向与电场方向相反，所以落在右侧，选项A错误；无论矿粉所带电性如何，矿粉均向所受电场力方向偏转，电场力均做正功，选项B正确；电势能均减少，选项C错误，选项D正确．
题组二 静电力、电场线和运动轨迹等方面的综合
5．(单选)一带电粒子沿图4中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则( )
图4
A．粒子一定带正电
B．粒子的运动是匀变速运动
C．粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
D．粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
答案 B
解析 由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据电荷运动规律可知其受力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子的动能在增大，电势能在减小．
6．(双选)如图5所示，两个等量异种点电荷的连线和其中垂线上有a、b、c三点，下列说法正确的是( )
图5
A．a点电势比b点电势高
B．a、b两点的场强方向相同，b点场强比a点场强大
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C．b点电势比c点电势高，场强方向相同
D．一个电子仅在电场力作用下不可能沿如图所示的曲线轨迹从a点运动到c点
答案 BD
解析 本题考查电场分布及其规律，意在考查学生对电场特点的掌握，由等量异种点电荷电场分布的特点可知，等量异种点电荷的中垂线为等势线，因此a、b两点电势相等，A错误；在中垂线上场强方向都与中垂线垂直，且从b点向外越来越小，B正确；在两点电荷连线上，沿电场线方向电势越来越低，所以b点电势比c点电势低，C错误；电子受力应指向电场的反方向，根据力与速度的关系可判断电子不可能沿图示曲线轨迹运动，D正确．
7．(单选)如图6所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知( )
图6
A．带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小
B．带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大
C．带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大
D．带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小
答案 A
解析 根据牛顿第二定律可得ma＝qE，又根据电场线的疏密程度可以得出Q、R两点处的电场强度的大小关系为ER>EQ，则带电粒子在R、Q两点处的加速度的大小关系为aR>aQ，故D错误；由于带电粒子在运动过程中只受电场力作用，只有动能与电势能之间的相互转化，则带电粒子的动能与电势能之和不变，故C错误；根据带电粒子做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知，带电粒子在R处所受电场力的方向为沿电场线向右．假设粒子从Q向P运动，电场力做正功，电势能减小，动能增大，速度增大，所以A正确，B错误．
题组三 等分法确定等势点、等势线
8．(单选)如图7所示，匀强电场中有一平行四边形abcd，且平行四边形所在平面与场强方向平行．其中φa＝10 V，φb＝6 V，φd＝8 V，则c点电势为( )
图7
A．10 V B．4 V
C．7 V D．8 V
答案 B
解析 因为bc与ad平行且相等，由匀强电场特点可得：φb－φc＝φa－φd，解得φc＝4 V，故选B.
9．(单选)如图8所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
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图8
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
答案 A
解析 在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上．O点到BC的距离d＝OCsin α，而sin α＝＝，所以d＝OC＝1.5×10－2 m．根据E＝得，匀强电场的电场强度E＝＝ V/m＝200 V/m，故选项A正确，选项B、C、D错误．
10．如图9所示，虚线方框内为一匀强电场，A、B、C为该电场中的三个点．已知φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V．试在该方框中作出该电场的示意图(即画出几条电场线)，并要求保留作图时所用的辅助线．若将一个电子从A点移到B点，电场力做多少电子伏的功？
图9
答案 见解析
解析 由于电场线与等势面垂直，而且在匀强电场中，电势相等的点的连线必在同一等势面上，所以与等势点连线垂直的线必是电场线．电势相等的点可根据匀强电场的特点，利用等分法来找．因φB＝6 V，φC＝－6 V，由匀强电场的特点：知，BC连线的中点D处的电势必为零；同理，把AC线段等分成三份，在等分点D′处的电势也必为零．连结DD′即为该电场中的一条等势线．根据电场线与等势线垂直，可以画出电场中的电场线，如图中实线所示，由沿场强方向电势降低可确定场强的方向．将一电子从A移到B，电场力做功为：W＝－eUAB＝－e×(12－6)V＝－6 eV.
题组四 匀强电场中的力学综合题
11．匀强电场的场强为40 N/C，在同一条电场线上有A、B两点，把质量为2×10－9 kg、带电荷量为－2×10－9 C的微粒从A点移到B点，电场力做了1.5×10－7 J的正功．求：
(1)A、B两点间的电势差UAB；
(2)A、B两点间的距离；
(3)若微粒在A点具有与电场线同向的速度为10 m/s，在只有电场力作用的情况下，求经过B点的速度．
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答案 (1)－75 V (2)1.875 m (3)5 m/s，方向与电场线同向
解析 (1)WAB＝UAB·q
UAB＝＝ V＝－75 V.
(2)由题意知：场强方向由B→A，故UBA＝E·d，d＝＝ m＝1.875 m.
(3)由动能定理有WAB＝mv－mv
解得vB＝5 m/s，方向与电场线同向．
12．如图10所示，匀强电场中有A、B、C三点构成等边三角形，边长均为4 cm，将一带电荷量q＝1.0×10－10 C的正电荷(不计重力)从A点移到C点，电场力做功为－×10－9 J，若把同一电荷从A点移到B点，电场力做功也为－×10－9 J，那么该电场的场强是多大？
图10
答案 5×102 V/m
解析 如题图所示，把正电荷从电场中的A点分别移到C点或B点，电场力做的功相同，根据WAB＝qUAB可知，B、C两点电势相同，在同一等势面上，由于电场中的等势面与电场线垂直，可见A点与BC等势面在场强方向的距离
d＝sin 60°＝4×10－2× m＝2×10－2 m.
A、B两点的电势差UAB＝＝ V＝－10 V.
该电场的电场强度E＝＝ V/m＝5×102 V/m.
13．如图11所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2.求：
图11
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点作为参考点(零电势点)，试确定A点的电势．
答案 (1) (2)
解析 (1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零．
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝
12
根据动能定理有mg·＝－
解得vC＝.
(2)小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝，又根据电场力做功与电势能的关系：W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC)．
又因为φC＝0，
可得φA＝.
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