学案5 习题课：电磁感应问题的分析
[学习目标定位] 1.知道公式E＝n与E＝BLv的区别和联系，能够应用两个公式求解电动势.2.掌握电磁感应电路中感应电荷量求解的基本思路和方法．
1．E＝n和E＝BLv的区别和联系
(1)研究对象不同：E＝n研究整个闭合回路，求得的是整个回路的感应电动势；E＝BLv研究的是闭合回路上的一部分，即做切割磁感线运动的导线，求得的是部分导体上的感应电动势．
(2)适用范围不同：E＝n适用于各种电磁感应现象；E＝BLv只适用于导体在磁场中做切割磁感线运动的情况．
(3)实际应用不同：E＝n应用于磁感应强度变化所产生的电磁感应现象较方便；E＝BLv应用于导线切割磁感
线所产生的电磁感应现象较方便．
(4)E的意义不同：E＝n一般求得的是平均感应电动势；E＝BLv一般求得的是瞬时感应电动势．
①求解某一过程(或某一段时间)内的电动势或平均电流以及通过导体某一横截面的电荷量等问题时，应选用E＝n.
②求解某一时刻(或某一位置)的电动势、瞬时电流、功率及某段时间内的电功、电热等问题时，应选用E＝BLv.
2．I＝是电流在时间t内的平均值，变形公式q＝It可以求时间t内通过导体某一横截面的电荷量．
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一、公式E＝n和E＝BLv的选用技巧
1．E＝n适用于任何情况，但一般用于求平均感应电动势，当Δt→0时，E为瞬时值．
2．E＝BLv是法拉第电磁感应定律在导体切割磁感线时的具体表达式．
(1)当v为平均速度时，E为平均感应电动势．
(2)当v为瞬时速度时，E为瞬时感应电动势．
(3)当回路中同时存在两部分导体切割磁感线产生的感应电动势时，总电动势在两者方向相同时相加，方向相反时相减(方向相同或相反是指感应电流在回路中的方向)．
例1 如图1甲所示，固定在水平面上电阻不计的光滑金属导轨，间距d＝0.5 m．右端接一阻值为4 Ω的小灯泡L，在CDEF矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B按如图乙规律变化．CF长为2 m．在t＝0时，金属棒从图中位置由静止在恒力F作用下向右运动到EF位置，整个过程中，小灯泡亮度始终不变．已知ab金属棒电阻为1 Ω，求：
图1
(1)通过小灯泡的电流；(2)恒力F的大小；(3)金属棒的质量．
答案 (1)0.1 A (2)0.1 N (3)0.8 kg
解析 (1)金属棒未进入磁场时，电路总电阻R总＝RL＋Rab＝5 Ω
回路中感应电动势为：E1＝＝S＝0.5 V
灯泡中的电流强度为：IL＝＝0.1 A
(2)因灯泡亮度不变，故在t＝4 s末金属棒刚好进入磁场，且做匀速运动，此时金属棒中的电流强度：I＝IL＝0.1 A
恒力大小：F＝FA＝BId＝0.1 N
(3)因灯泡亮度不变，金属棒在磁场中运动时，产生的感应电动势为：E2＝E1＝0.5 V
金属棒在磁场中的速度：v＝＝0.5 m/s
金属棒未进入磁场的加速度为：a＝＝0.125 m/s2
故金属棒的质量为：m＝＝0.8 kg
例2 如图2所示，导轨OM和ON都在纸面内，导体AB可在导轨上无摩擦滑动，若AB以5 m/s的速度从O点开始沿导轨匀速右滑，导体与导轨都足够长，它们每米长度的电阻都是0.2 Ω，磁场的磁感应强度为0.2 T．问：
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图2
(1)3 s末夹在导轨间的导体长度是多少？此时导体切割磁感线产生的感应电动势多大？回路中的电流为多少？
(2)3 s内回路中的磁通量变化了多少？此过程中的平均感应电动势为多少？
解析 (1)夹在导轨间的部分导体切割磁感线产生的电动势才是电路中的感应电动势．
3 s末，夹在导轨间导体的长度为：
L＝vt·tan 30°＝5×3×tan 30°＝5 m
此时：E1＝BLv＝0.2×5×5 V＝5 V
电路电阻为R＝(15＋5＋10)×0.2 Ω＝8.196 Ω
所以I＝＝1.06 A.
(2)3 s内回路中磁通量的变化量ΔΦ＝BS－0＝0.2××15×5 Wb＝ Wb
3 s内电路产生的平均感应电动势为：E2＝＝ V＝ V.
答案 (1)5 m 5 V 1.06 A
(2) Wb V
二、电磁感应中的电荷量问题
电磁感应现象中通过闭合电路某截面的电荷量q＝Δt，而＝＝n，则q＝n，所以q只和线圈匝数、磁通量的变化量及总电阻有关，与完成该过程需要的时间无关．
注意：求解电路中通过的电荷量时，一定要用平均电动势和平均电流计算．
例3 如图3甲所示，一个圆形线圈的匝数n＝1 000，线圈面积S＝300 cm2，线圈的电阻r＝1 Ω，线圈外接一个阻值R＝4 Ω的电阻，线圈内有一方向垂直线圈平面向里的圆形磁场，圆形磁场的面积S0＝200 cm2，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．求：
(1)第4秒时线圈的磁通量及前4 s内磁通量的变化量；
(2)前4 s内的平均感应电动势；
(3)4 s内通过R的电荷量．
图3
解析 (1)磁通量Φ＝BS0＝0.4×200×10－4 Wb＝8×10－3 Wb
因此磁通量的变化为：ΔΦ＝0.2×200×10－4Wb＝4×10－3 Wb
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(2)由图象可知前4 s内磁感应强度B的变化率＝0.05 T/s
前4 s内的平均感应电动势E＝nS0＝1 000×0.02×0.05 V＝1 V
(3)电路中平均电流＝，q＝t
通过R的电荷量q＝n
所以q＝0.8 C.
答案 (1)8×10－3 Wb 4×10－3 Wb
(2)1 V (3)0.8 C
1．(E＝n的理解与应用)如图4所示，导轨是水平的导轨，间距L1＝0.5 m，ab杆到导轨左端的距离L2＝0.8 m，由导轨与ab杆所构成的回路的总电阻R＝0.2 Ω，垂直导轨的方向有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B0＝1 T，重物的质量M＝0.04 kg，用细绳通过定滑轮与ab杆的中点相连，各处的摩擦均可忽略不计．现使磁感应强度以＝0.2 T/s的变化率均匀地增大，试求当t为多少秒时，M刚好离开地面(取g＝10 m/s2)?
图4
答案 5 s
解析 根据法拉第电磁感应定律，感生电动势
E＝＝L1L2，
回路中的感应电流为I＝
ab杆所受的安培力
F安＝BL1I＝(B0＋t)L1I，
重物刚好离开地面时F安＝Mg
联立上述四个方程解得：
t＝5 s.
2．(E＝BLv的理解与应用)如图5所示，在水平面内固定着足够长且光滑的平行金属轨道，轨道间距L＝0.40 m，轨道左侧连接一定值电阻R＝0.80 Ω.将一金属直导线ab垂直放置在轨道上形成闭合回路，导线ab的质量m＝0.10 kg、电阻r＝0.20
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Ω，回路中其余电阻不计．整个电路处在磁感应强度B＝0.50 T的匀强磁场中，B的方向与轨道平面垂直．导线ab在水平向右的拉力F作用下，沿力的方向以加速度a＝2.0 m/s2由静止开始做匀加速直线运动，求：
图5
(1)5 s末的感应电动势大小；
(2)5 s末通过R电流的大小和方向；
(3)5 s末，作用在ab金属杆上的水平拉力F的大小．
答案 (1)2 V (2)2 A d→c (3)0.6 N
解析 (1)由于导体棒ab做匀加速直线运动，设它在第5 s末速度为v，所以v＝at＝10.0 m/s，根据法拉第电磁感应定律：E＝BLvE＝2.0 V
(2)根据闭合电路欧姆定律：
I＝I＝2.0 A
方向d→c
(3)因为金属直导线ab做匀加速直线运动，故F－F安＝ma
其中：F安＝BIL＝0.40 N
F＝F安＋maF＝0.6 N
3．(电磁感应中的电荷量问题)如图6甲所示，横截面积为S＝0.20 m2，匝数为N＝100匝的闭合线圈放在平行于线圈轴线的匀强磁场中，该匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示．线圈电阻为r＝1.2 Ω，电阻R＝4.8 Ω.求：
(1)线圈中产生的感应电动势：
(2)从t1＝0到t2＝0.30 s时间内，通过电阻R的电荷量q.
图6
解 由B－t图象知，＝ T/s＝1 T/s
根据法拉第电磁感应定律得：
E＝N＝N＝100×1×0.20 V＝20 V
(2)由闭合电路欧姆定律得电流强度：
I＝＝ A＝ A
通过电阻R的电荷量：q＝IΔt＝×0.3 C＝1 C
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答 (1)20 V (2)1 C
题组一 电磁感应中的电荷量问题
1．(单选)如图1所示，将直径为d、电阻为R的闭合金属环从匀强磁场B中拉出，这一过程中通过金属环某一截面的电荷量为 ( )
图1
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ＝n，故q＝·Δt＝·Δt＝n＝n＝.
2．(单选)在物理实验中，常用一种叫做“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷量．如图2所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度．已知线圈的匝数为n，面积为S，线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R.若将线圈放在被测量的匀强磁场中，开始线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转90°，冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q，由上述数据可测出被测量磁场的磁感应强度为 ( )
图2
A. B. C. D.
答案 B
解析 由法拉第电磁感应定律：E＝n可求出感应电动势大小，再由闭合电路欧姆定律I＝可求出感应电流大小，根据电荷量的公式q＝It，可得q＝n.由于开始线圈平面与磁场垂直，现把探测圈翻转90°，则有ΔΦ＝BS；所以由以上公式可得：q＝，则磁感应强度B＝
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，故B正确，A、C、D错误；故选B.
3．(单选)如图3甲所示，一个电阻为R，面积为S的矩形导线框abcd，磁场的磁感应强度为B，方向与ad边垂直并与线框平面成45°角，o、o′分别是ab和cd边的中点．现将线框右半边obco′绕oo′逆时针旋转90°到图乙所示位置．在这一过程中，导线中某个横截面通过的电荷量是( )
图3
A. B. C. D．0
答案 A
解析 线框的右半边(obco′)未旋转时整个回路的磁通量Φ1＝BSsin 45°＝BS；线框的右半边(obco′)旋转90°后，穿进跟穿出的磁通量相等，整个回路的磁通量Φ2＝0.ΔΦ＝Φ1－Φ2＝BS.根据公式可得：q＝It＝Δt＝.A正确．
4．如图4所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内、外，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B.一半径为b，电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合．在内、外磁场的磁感应强度同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线截面的电荷量q＝________.
图4
解析 初始状态导线环中的磁通量为Φ1＝(πb2－πa2)B＝πa2B.末状态导线环中的磁通量为Φ2＝0.其磁通量的变化量|ΔΦ|＝|Φ2－Φ1|＝|(π b2－2πa2)B|
通过线圈横截面的电荷量q＝It＝t＝＝
答案
题组二 E＝n与E＝BLv的运用技巧及综合应用
5．(单选)如图5所示，矩形金属框置于匀强磁场中，ef为一导体棒，可在ab与cd间滑动并接触良好．设磁感应强度为B，ac长为L，在Δt时间内向左匀速滑过距离Δd，由法拉第电磁感应定律E＝n可知，下列说法正确的是 ( )
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图5
A．当ef向左滑动过程中，左侧面积减少LΔd，右侧面积增加LΔd，因此E＝
B．当ef向左滑动过程中，左侧面积减少LΔd，右侧面积增加LΔd，互相抵消，因此E＝0
C．在公式E＝n中，在切割磁感线情况下，ΔΦ＝BΔS，ΔS应是导体棒切割磁感线扫过的面积，因此E＝BLΔd/Δt
D．在切割磁感线的情况下，只能用E＝BLv计算，不能用E＝n计算
答案 C
6．(单选)我国第一艘航母“辽宁舰”交接入列后，歼—15飞机顺利完成了起降飞行训练，图7为一架歼—15飞机飞行时的情景．已知该飞机机身长为l，机翼两端点C、D的距离为d，飞机飞行时的速度沿水平方向，大小为v，该空间地磁场磁感应强度的水平分量为Bx，竖直分量为By.C、D两点间的电势差为U，下列分析正确的是( )
图6
A．U＝Bxlv，C点电势低于D点电势
B．U＝Bxdv，C点电势高于D点电势
C．U＝Bylv，C点电势低于D点电势
D．U＝Bydv，C点电势高于D点电势
答案 D
解析 我国疆域处于北半球，北半球地磁场的竖直分量方向向下，当飞机如题图所示飞行时，机翼CD切割地磁场的竖直分量，由右手定则可知，C端电势较高，C、D两点的电势差U＝Bydv，所以D选项正确．
7．(单选)如图7所示，PQRS为一正方形导线框，它以恒定速度向右进入以MN为边界的匀强磁场，磁场方向垂直线框平面向里，MN边界与线框的边QR所在的水平直线成45°角，E、F分别是PS和PQ的中点．关于线框中的感应电流，正确的说法是( )
图7
A．当E点经过边界MN时，线框中感应电流最大
B．当P点经过边界MN时，线框中感应电流最大
C．当F点经过边界MN时，线框中感应电流最大
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D．当Q点经过边界MN时，线框中感应电流最大
答案 B
解析 当P点经过边界MN时，切割磁感线的有效长度是SR，感应电流达到最大．
8．(单选)穿过某线圈的磁通量随时间的变化关系如图8所示，在线圈内产生感应电动势最大值的时间是( )
图8
A．0～2 s
B．2～4 s
C．4～6 s
D．6～10 s
答案 C
解析 在Φ－t图象中，其斜率在数值上等于磁通量的变化率，斜率越大，电动势也越大，故C正确．
9．如图9(a)所示的螺线管，匝数n＝1 500匝，横截面积S＝20 cm2，电阻r＝1.5 Ω，与螺线管串联的外电阻R1＝3.5 Ω，R2＝25 Ω，方向向右穿过螺线管内的匀强磁场的磁感应强度按图(b)所示规律变化，试计算回路中的电流．
图9
答案 0.2 A
解析 由题图(b)知，螺线管中磁感应强度B均匀增加，其变化率为＝ T/s＝2 T/s
由法拉第电磁感应定律知螺线管中产生的感应电动势
E＝n＝n·S＝1 500×20×10－4×2 V＝6.0 V
由闭合电路欧姆定律知螺线管回路的电流为
I＝＝ A＝0.2 A
10．如图10所示，边长为L的正方形金属框，质量为m，电阻为R，用细线把它悬挂于一个有界的匀强磁场边缘，金属框的上半部处于磁场内，下半部处于磁场外．磁场随时间变化规律为B＝kt(k>0)，已知细线所能承受的最大拉力为2mg，求：
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图10
(1)线圈的感应电动势大小；
(2)细绳拉力最大时，导体棒受到的安培力大小；
(3)从t＝0开始直到细线会被拉断的时间．
答案 (1)k· (2)F安＝mg (3)t＝
解析 (1)由题意知＝k
根据法拉第电磁感应定律知E＝·S＝k·
(2)当细线拉力最大时：F安＝mg
(3)I＝＝，B＝kt
解得：t＝
11.如图11所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0＝0.10 Ω，导轨的端点P、Q用电阻可以忽略的导线相连，两导轨间的距离l＝0.20 m．有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面．已知磁感应强度B与时间t的关系为B＝kt，比例系数k＝0.020 T/s.一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直．在t＝0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t＝6.0 s时金属杆所受的安培力．
图11
答案 1.44×10－3 N
解析 以a表示金属杆运动的加速度，在t时刻，金属杆与初始位置的距离L＝at2，
此时杆的速度v＝at，这时，杆与导轨构成的回路的面积S＝Ll，回路中的感应电动势E＝S＋Blv
因B＝kt故＝k
回路的总电阻R＝2Lr0
回路中的感应电流I＝
作用于杆的安培力F＝BlI
解得F＝t，
代入数据为F＝1.44×10－3 N.
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