学案4 法拉第电磁感应定律
[学习目标定位] 1.理解和掌握法拉第电磁感应定律，并能够运用法拉第电磁感应定律定量计算感应电动势的大小.2.能够运用E＝BLv或E＝BLvsin θ计算导体切割磁感线时的感应电动势.3.知道反电动势的定义和在生产中的应用．
1．在电磁感应现象中，产生感应电流的条件是穿过闭合电路的磁通量发生变化．
2．磁通量发生变化的方式：磁感应强度B变化、闭合电路的有效面积S变化、磁感应强度B和闭合电路的有效面积S均变化．
一、影响感应电动势大小的因素
1．在电磁感应现象中产生的电动势叫做感应电动势．
2．产生感应电动势的那部分导体就相当于电源，而感应电流的强弱由感应电动势的大小和闭合电路的电阻决定，可以由闭合电路欧姆定律算出．
3．实验表明：感应电动势的大小跟磁通量变化的快慢有关．磁通量的变化率表示磁通量变化的快慢，用表示．
二、法拉第电磁感应定律
1．内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量变化率成正比．
2．表达式：E＝n.其中n为线圈的匝数、叫磁通量的变化率．
三、感应电动势的另一种表述
1．如图1所示，直导线做切割磁感线运动时产生的感应电动势E＝BLvsin_θ.θ为直导线运动方向与磁感线方向的夹角．
图1
2．当切割磁感线的导线的运动方向与磁感线方向垂直时，感应电动势E＝BLv.
一、法拉第电磁感应定律
[问题设计]
1．在图2所示实验中，以相同速度分别将一根和两根同向条形磁铁快速插入或拔出螺线管，灵敏电流计指针的偏转角度有什么不同？可以得出什么结论？
12
图2
答案 将一根条形磁铁快速插入或拔出螺线管时灵敏电流计指针的偏转角度小；而以相同速度(即在保证磁通量变化所用时间相同的情况下)换用两根同向条形磁铁快速插入或拔出螺线管时灵敏电流计指针的偏转角度大．由此可以得出结论：在磁通量变化所用时间相同时，感应电动势E的大小与磁通量的变化量ΔΦ有关，ΔΦ越大，E越大．
2．在图2所示实验中，保证磁通量变化量相同，将两根同向条形磁铁快速或慢速插入螺线管，灵敏电流计指针的偏转角度有什么不同？可以得出什么结论？
答案 将两根条件磁铁快速插入螺线管时灵敏电流计指针的偏转角度大；将两根条形磁铁慢速插入螺线管时灵敏电流计指针的偏转角度小．由此可以得出结论：在磁通量变化量相同时，感应电动势E的大小与磁通量的变化所用的时间Δt有关，Δt越小，E越大．
3．结合上面2个实验，可以得到什么结论？
答案 实验表明：感应电动势的大小跟磁通量变化的快慢有关．
[要点提炼]
1．(1)公式E＝n的理解：n为线圈匝数，ΔΦ总取绝对值；叫磁通量的变化率．
(2)E决定于磁通量的变化率，与Φ、ΔΦ无关
①Φ很大时，可能很小，也可能很大；
②Φ＝0时，可能不为0.
(3)E＝n适用于任何情况下感应电动势的计算，但一般用于求Δt时间内的平均值．
2．常见感应电动势的计算式有：
(1)线圈面积S不变，磁感应强度B均匀变化：E＝n·S.(为B－t图象上某点切线的斜率)
(2)磁感应强度B不变，线圈面积S均匀变化：E＝nB·.
3．产生感应电动势的那部分导体相当于电源．如果电路没有闭合，这时虽然没有感应电流，但感应电动势依然存在．
二、导线切割磁感线时的感应电动势
[问题设计]
如图3所示，闭合电路一部分导体ab处于匀强磁场中，磁感应强度为B，ab的长度为L，ab以速度v匀速切割磁感线，求回路中产生的感应电动势．
12
图3
答案 设在Δt时间内导体棒由原来的位置运动到a1b1，如图所示，这时线框面积的变化量为ΔS＝LvΔt
穿过闭合电路磁通量的变化量为ΔΦ＝BΔS＝BLvΔt
根据法拉第电磁感应定律得E＝＝BLv.
[要点提炼]
1．当导体平动垂直切割磁感线时，即B、L、v两两垂直时(如图4所示)E＝BLv.
图4
2．公式中L指有效切割长度：即导体在与v垂直的方向上的投影长度．
图5
图5甲中的有效切割长度为：L＝sin θ；
图乙中的有效切割长度为：L＝；
图丙中的有效切割长度为：沿v1的方向运动时，L＝R；沿v2的方向运动时，L＝R.
[延伸思考] 如图6所示，如果长为L的直导线的运动方向与直导线本身是垂直的，但与磁感线方向有一个夹角θ(θ≠90°)，则此时直导线上产生的感应电动势表达式是什么？
图6
答案 如图所示，可以把速度v分解为两个分量：垂直于磁感线的分量v1＝vsin θ和平行于磁感线的分量v2＝vcos θ.后者不切割磁感线，不产生感应电动势；前者切割磁感线，产生的感应电动势为E＝BLv1＝BLvsin θ.
一、法拉第电磁感应定律的理解
例1 (单选)下列几种说法中正确的是 ( )
A．线圈中磁通量变化越大，线圈中产生的感应电动势一定越大
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B．线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大
C．线圈放在磁场越强的位置，线圈中产生的感应电动势一定越大
D．线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大
解析 本题考查对法拉第电磁感应定律的理解，关键是抓住感应电动势的大小和磁通量的变化率成正比．感应电动势的大小和磁通量的大小、磁通量变化量的大小以及磁场的强弱均无关系，它由磁通量的变化率决定，故选D.
答案 D
二、公式E＝n的应用
例2 一个200匝、面积为20 cm2的线圈，放在磁场中，磁场的方向与线圈平面成30°角，若磁感应强度在0.05 s内由0.1 T增加到0.5 T，在此过程中穿过线圈的磁通量的变化量是_____ Wb；磁通量的平均变化率是______ Wb/s；线圈中的感应电动势的大小是_______ V.
解析 磁通量的变化量为ΔΦ＝ΔB·Ssin θ
＝(0.5－0.1)×20×10－4×0.5 Wb
＝4×10－4 Wb
磁通量的平均变化率为＝ Wb/s＝8×10－3 Wb/s
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势的大小为：
E＝n＝200×8×10－3 V＝1.6 V.
答案 4×10－4 8×10－3 1.6
例3 如图7甲所示，平行导轨MN、PQ水平放置，电阻不计，两导轨间距d＝10 cm，导体棒ab、cd放在导轨上，并与导轨垂直．每根棒在导轨间的电阻均为R＝1.0 Ω.用长为L＝20 cm的绝缘丝线将两棒系住．整个装置处在匀强磁场中，t＝0的时刻，磁场方向竖直向下，丝线刚好处于未被拉伸的自然状态．此后，磁感应强度B随时间t的变化如图乙所示．不计感应电流磁场的影响，整个过程丝线未被拉断．求：(1)0～2.0 s的时间内，电路中感应电流的大小与方向；(2)t＝1.0 s时，丝线的拉力大小．
图7
解析 (1)由题图乙可知＝0.1 T/s
由法拉第电磁感应定律有E＝＝S＝2.0×10－3 V
则I＝＝1.0×10－3 A
由楞次定律可知电流方向为顺时针方向
(2)导体棒在水平方向上受丝线拉力和安培力平衡
由题图乙可知t＝1.0 s时B＝0.1 T
则FT＝FA＝BId＝1.0×10－5 N.
答案 (1)1.0×10－3 A 顺时针 (2)1.0×10－5 N
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三、公式E＝BLv的应用
例4 试写出如图8所示的各种情况下导线中产生的感应电动势的表达式[导线长均为l，速度为v，磁感应强度均为B，图(3)、(4)中导线垂直纸面]．
图8
答案 (1)E＝0 (2)E＝Blv (3)E＝0
(4)E＝Blvcos θ
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1．(对法拉第电磁感应定律的理解)(单选)穿过一个单匝闭合线圈的磁通量始终为每秒均匀增加2 Wb，则( )
A．线圈中感应电动势每秒增加2 V
B．线圈中感应电动势每秒减少2 V
C．线圈中感应电动势始终为2 V
D．线圈中感应电动势始终为一个确定值，但由于线圈有电阻，电动势小于2 V
答案 C
解析 由E＝n知：恒定，n＝1，所以E＝2 V.
2．(公式E＝n的应用)(双选)单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场，若线圈所围面积的磁通量随时间变化的规律如图9所示，则O～D过程中( )
图9
A．线圈中O时刻感应电动势最大
B．线圈中D时刻感应电动势最大
C．线圈中O至D时间内的平均感应电动势为0.4 V
D．线圈中O至E时间内的平均感应电动势为0.4 V
答案 AC
解析 由法拉第电磁感应定律E＝n，即为Φ－t图象对应时刻切线的斜率，所以A正确，B错误；线圈中O至D时间内的平均感应电动势＝n＝1× V
＝0.4 V．所以C正确；而O至E时间内，因ΔΦ＝0，所以′＝0，所以D错误．
3．(公式E＝BLv的应用)(单选)如图10所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一个水平放置的金属棒ab以水平初速度v0抛出，设运动的整个过程中不计空气阻力，则金属棒在运动过程中产生的感应电动势大小将( )
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图10
A．越来越大 B．越来越小
C．保持不变 D．无法确定
答案 C
解析 金属棒做平抛运动，水平速度不变，且水平速度即为金属棒垂直切割磁感线的速度，故感应电动势保持不变．
题组一 对法拉第电磁感应定律的理解
1．(双选)将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，关于线圈中产生的感应电动势，下列表述正确的是 ( )
A．感应电动势的大小与线圈的匝数无关
B．当穿过线圈的磁通量为零时，感应电动势可能不为零
C．当穿过线圈的磁通量变化越快时，感应电动势越大
D．感应电动势的大小与磁通量的变化量成正比
答案 BC
解析 由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E＝n，即感应电动势与线圈匝数有关，故A错误；同时可知，感应电动势与磁通量的变化率有关，故D错误；磁通量变化越快，感应电动势越大，故C正确；当穿过线圈的磁通量为零时，磁通量的变化率不一定为零，因此感应电动势不一定为零．故B正确．
2．(单选)关于感应电动势的大小，下列说法正确的是 ( )
A．穿过闭合电路的磁通量最大时，其感应电动势一定最大
B．穿过闭合电路的磁通量为零时，其感应电动势一定为零
C．穿过闭合电路的磁通量由不为零变为零时，其感应电动势一定为零
D．穿过闭合电路的磁通量由不为零变为零时，其感应电动势一定不为零
答案 D
解析 磁通量的大小与感应电动势的大小不存在内在的联系，故A、B错；当磁通量由不为零变为零时，闭合电路的磁通量一定改变，一定有感应电流产生，有感应电流就一定有感应电动势，故C错，D对．
3．(双选)如图1所示，闭合开关S，将条形磁铁插入闭合线圈，第一次用时0.2 s，第二次用时0.4 s，并且两次磁铁的起始和终止位置相同，则 ( )
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图1
A．第一次线圈中的磁通量变化较快
B．第一次电流表G的最大偏转角较大
C．第二次电流表G的最大偏转角较大
D．若断开S，电流表G均不偏转，故两次线圈两端均无感应电动势
答案 AB
解析 两次磁通量变化相同，第一次时间短，则第一次线圈中磁通量变化较快，故A正确．感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比，磁通量的变化率大，感应电动势大，产生的感应电流大．故B正确，C错误．断开电键，电流表不偏转，故感应电流为零，但感应电动势不为零，故D错误．故选A、B.
题组二 公式E＝BLv的应用
4．(单选)如图2所示的情况中，长度为l的金属导体中产生的感应电动势为Blv的是 ( )
图2
A．乙和丁 B．甲、乙、丁
C．甲、乙、丙、丁 D．只有乙
答案 B
5．(双选)某地的地磁场磁感应强度的竖直分量方向向下，大小为4.5×10－5 T．一灵敏电压表连接在当地入海河段的两岸，河宽100 m，该河段涨潮和落潮时有海水(视为导体)流过．设落潮时，海水自西向东流，流速为2 m/s.下列说法正确的是( )
A．电压表记录的电压为5 mV
B．电压表记录的电压为9 mV
C．河南岸的电势较高
D．河北岸的电势较高
答案 BD
解析 海水在落潮时自西向东流，该过程可以理解为：自西向东运动的导体在切割竖直向下的磁感线．根据右手定则，北岸是正极，电势高，南岸电势低，所以C错误，D正确．根据法拉第电磁感应定律E＝BLv＝4.5×10－5×100×2 V＝9×10－3 V，所以A错误，B正确．
6．(单选)如图3所示，平行金属导轨的间距为d，一端跨接一阻值为R的电阻，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于导轨所在平面向里，一根长直金属棒与导轨成60°角放置，且接触良好，则当金属棒以垂直于棒的恒定速度v沿金属导轨滑行时，其他电阻不计，电阻R中的电流为 ( )
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图3
A. B.
C. D.
答案 A
解析 导线切割磁感线的有效长度是L＝，感应电动势E＝BLv，R中的电流为I＝.联立解得I＝.
题组三 公式E＝n的应用
7．(单选)下列各图中，相同的条形磁铁穿过相同的线圈时，线圈中产生的感应电动势最大的是 ( )
答案 D
解析 感应电动势的大小为E＝n＝n，A、B两种情况磁通量变化量相同，C中ΔΦ最小，D中ΔΦ最大，磁铁穿过线圈所用的时间A、C、D相同且小于B所用的时间，所以D选项正确．
8．(单选)如图4所示，半径为r的n匝线圈套在边长为L的正方形abcd之外，匀强磁场局限在正方形区域内且垂直穿过正方形面积，当磁感应强度以的变化率均匀变化时，线圈中产生的感应电动势的大小为 ( )
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图4
A．πr2 B．L2
C．nπr2 D．nL2
答案 D
解析 根据法拉第电磁感应定律，线圈中产生的感应电动势的大小为E＝n＝nL2.
9．(单选)一单匝矩形线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直．先保持线框的面积不变，将磁感应强度在1 s时间内均匀地增大到原来的两倍．接着保持增大后的磁感应强度不变，在1 s时间内，再将线框的面积均匀地减小到原来的一半．先后两个过程中，线框中感应电动势的比值为( )
A. B．1 C．2 D．4
答案 B
解析 根据法拉第电磁感应定律E＝，设初始时刻磁感应强度为B0，线框面积为S0，则第一种情况下的感应电动势为E1＝＝＝B0S0；第二种情况下的感应电动势为E2＝＝＝B0S0，所以两种情况下线框中的感应电动势相等，比值为1，故选项B正确．
10．(双选)单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量Φ随时间t的变化图象如图5所示，则( )
图5
A．在t＝0时，线圈中磁通量最大，感应电动势也最大
B．在t＝1×10－2 s时，感应电动势最大
C．在t＝2×10－2 s时，感应电动势为零
D．在0～2×10－2 s时间内，线圈中感应电动势的平均值为零
答案 BC
解析 由法拉第电磁感应定律知E∝，故t＝0及t＝2×10－2
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s时刻，E＝0，A错，C对．t＝1×10－2 s，最大，E最大，B对.0～2×10－2 s，ΔΦ≠0，E≠0，D错．
11．如图6甲所示，环形线圈的匝数n＝1000，它的两个端点a和b间接有一理想电压表，线圈内磁感应强度B的变化规律如图乙所示，线圈面积S＝100 cm2，则Uab＝________，电压表示数为________ V.
图6
答案 50 V 50
解析 由B－t图象可知＝5 T/s
由E＝nS
得：E＝1000×5×100×10－4 V＝50 V
题组四 综合应用
12．在范围足够大、方向竖直向下的匀强磁场中，B＝0.2 T，有一水平放置的光滑框架，宽度为l＝0.4 m，如图7所示，框架上放置一质量为0.05 kg、电阻为1 Ω的金属杆cd，框架电阻不计．若cd杆以恒定加速度a＝2 m/s2由静止开始做匀变速运动，则：
图7
(1)在5 s内平均感应电动势是多少？
(2)第5 s末，回路中的电流多大？
(3)第5 s末，作用在cd杆上的水平外力多大？
答案 (1)0.4 V (2)0.8 A (3)0.164 N
解析 (1)5 s内的位移x＝at2＝25 m，
5 s内的平均速度＝＝5 m/s，(也可用＝ m/s＝5 m/s求解)
故平均感应电动势E＝Bl＝0.4 V.
(2)第5 s末：v′＝at＝10 m/s，此时感应电动势：E′＝Blv′，
则回路电流为I＝＝＝ A＝0.8 A.
(3)杆做匀加速运动，则F－F安＝ma，即F＝BIl＋ma＝0.164 N.
13.如图8所示，倾角为α的光滑导轨上端接入一定值电阻R，Ⅰ和Ⅱ是边长都为L的两正方形磁场区域，其区域内的磁场方向都垂直于导轨平面向上，区域Ⅰ
12
中磁场的磁感应强度为B1，恒定不变，区域Ⅱ中磁场随时间按B2＝kt变化，一质量为m、电阻为r的金属杆穿过区域Ⅰ垂直地跨放在两导轨上，并恰能保持静止．试求：
图8
(1)通过金属杆的电流大小；
(2)定值电阻的阻值为多大？
答案 (1) (2)－r
解析 (1)对金属杆：mgsin α＝B1IL
解得：I＝
(2)E＝＝L2＝kL2
I＝
故：R＝－r＝－r
12
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