17.1 一元二次方程
教学任务分析
教学目标
知识技能
1、 理解一元二次方程的概念.
2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.
教学思考
1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力.
2、 通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.
3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.
解决问题
在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.
情感态度
1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.
2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.
重点
一元二次方程的概念及一般形式.
难点
1、由实际问题向数学问题的转化过程.
2、正确识别一般式中的“项”及“系数”.
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
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活动1 创设情境 引入新课
活动2 启发探究 获得新知
活动3 运用新知 体验成功
活动4 归纳小结 拓展提高
活动5 布置作业 分层落实
复习一元一次方程有关概念；通过实际问题引入新知。
通过类比一元一次方程的概念和一般形式，让学生获得一元二次方程的有关概念。
巩固训练，加深对一元二次方程有关概念的理解。
回顾梳理本节内容，拓展提高学生对知识的理解。
分层次布置作业，提高学生学习数学的兴趣。
教学过程设计
问题与情景
师生行为
设计意图
「活动1」
问题1：
2008年奥运会将在北京举办，许多大学生都希望为奥运奉献自己的一份力量。现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训，由已合格人员培训第一轮人员，再由前面所有合格人员培训第二轮人员,以此类推来完成此次培训任务。
某高校学生李红已受训合格，成为一名志愿者，并由她负责培训本校志愿者。若每轮培训中每个志愿者平均培训x人。
(1)已知经过第一轮培训后该校共有11人合格, 请列出满足条件的方程:
(2)若两轮培训后该校共有121人合格，你能列出满足条件的方程吗？
问题2:
有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2
通过多媒体播放视频短片,引入情境,提出问题.在第(1)问中,通过教师引导,学生列出方程,解决问题.
在第(2)问中,遵循刚才解决问题的思路,由学生思考,列出方程.
活动中教师应重点关注:
学生对题目的理解,可举例,由特殊到一般,帮助学生理解题意,从而引导学会列出满足条件的方程
通过多媒体演示,把文字转化为图形,帮助学生理解题意,从而由学生独立思考,列出满足条件的方程.
此题是与实际问题结合的题目，通过演示高度关系，帮助学生理解题意，从而列出符合题意的方程。
通过创设情境,引导学生复习一元一次方程的概念和一般形式,为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺垫.
通过解决实际问题引入一元二次方程的概念,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.
通过解决实际问题引入一元二次方程的概念.
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,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
问题3:
我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度 .
让学生通过数形结合的方法,转化实际问题,从而得到方程,为引入一元二次方程的概念做好准备.
问题与情景
师生行为
设计意图
「活动2」
1、一元二次方程的概念：
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
眼疾口快:
请抢答下列各式是否为一元二次方程：
2、 2、一元二次方程的一般式：
3、
由以上问题得到3个方程,
由学生观察归纳这3个方程的特征,给出名称并类比一元一次方程的定义,得出一元二次方程的定义.
活动中教师应重点关注:
(1) 引导学生观察所列出的3个方程的特点;
(2) 让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义.
(3) 强调定义中体现的3个特征:
①整式;②一元;③2次.
由学生以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.
其中(1)~(6)题较为简单,学生可非常容易给出答案;而(7),(8)两题有一定难度,(7)需要进行分类讨论.
此活动中,教师应注意对学生给出的答案作出点评和归纳.
让学生充分感受所列方程的特点,再通过类比的方法得到定义,从而达到真正理解定义的目的.
这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解.
(7),(8)两个题目的设置,目的在于进一步加深学生对定义的掌握,尤其结合字母系数,加大题目难度,提高学生对变式的理解能力.
此环节采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.
此环节让学生通过自主探究,类比一元一次方程一般形式,得出一元二次方程一般形式和项,系数的概念,从而达到真正理解并掌握的目的.
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引导学生类比一元一次方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念.
问题与情境
师生行为
设计意图
试一试:
下面给出了某个方程的几个特点：
（1）它的一般形式为
（2）它的二次项系数为5；
（3）常数项是一次项系数的倒数的相反数。
「活动3」
例1.天津四中为树立学生的团结、拼搏精神，组织了一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？(列方程并整理成一般形式）
先由教师在大屏幕上显示问题,由学生经过思考,给出符合条件的答案,全体学生进行判断是否正确.
在此环节可设置一个小游戏,让答对学生给出类似条件,找其他同学回答给出的新问题,让大家进行判断给出的方程是否正确.
此环节中,教师应注意板书学生给出的方程要,并且及时引导学生不要给出类似的条件.
此题为与实际问题结合的题目,让学生思考解决问题的方法,列出满足题意的方程.
以此题为例,教师板书整理一元二次方程的过程,让学生学会如何整理任意一元二次方程的一般形式,并能准确找到各项系数.
教师在此活动中应重点关注:
(1)由一个学生列出方程,并解释解题方法,教师进行引导,点评,引起 其他学生的关注,认同.
此题设置的目的在于加深学生对一般形式的理解
采取游戏的形式以提高学生对数学学习的兴趣,参与课堂活动的积极性,还可鼓励学生课下继续以合作的形式进行学习.
整理一元二次方程的一般形式为本节课的重点,由实际问题出发列方程为本节的难点,所以在此设置此题,加强巩固练习.
由篮球比赛引入题目,可激发学生兴趣,引起学生关注.
此题有在实际生活中应用的意义,通过此题让学生理解比赛赛制安排原则.
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(2)教师在归纳点评过程中,应注意把两队只打一场比赛解释清楚,以便学生理解题意.
(3)整理一般形式后,教师应强调整理过程中应用到的等式变形方法,如去括号,移项,合并同类项,去分母等.
(4)让学生指出各项系数时,教师强调系数须带符合.
问题与情境
师生行为
设计意图
小试牛刀:
你能否把下列方程整理成一般形式?
例2、当m取何值时，方程
是关于x的一元二次方程？
考考你:
判断下列关于x的方程是否是一元二次方程：
( 为有理数);
「活动4」
1．问题：
巩固练习学生整理一般形式的方法,并准确找出各项系数.此环节可找学生口答结果.
此题是字母系数问题,由学生思考解题过程,让学生讲解此题,教师进行总结点评.大屏幕显示解题过程.
此题由学生思考,讨论,并由学生给出结果并进行解释.
此活动过程中,教师应重点关注:
(1)此题目在上一题的基础上继续加大难度,第(1)题须强调先进行整理,再考虑二次项系数是否为零;第(2)题须先求出m值,再代入二次项系数中,验证是否为0,得到结果.
(2)学生解答过程中,教师把学生整理的一般形式书写在黑板上,以便全体学生理解.
学生反思本节课中学到的知识，总结活动中的经验。
让学生落实将刚才教师板书的整理一般形式的过程,再次突出本节课的重点内容
此题为一元二次方程概念中常见题型，通过此题让学生加深对定义和一般形式的理解，为其他字母系数问题做好准备。
此题仍涉及字母系数问题,难度加大,以达到让学生掌握本节课重难点的目的.
通过此题让学生掌握解此类字母系数题目的方法,以及整理一般形式对于解一元二次方程题目的重要性
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本节课你又学会了哪些新知识？
2．思维拓展：
若方程x2m+n +xm-n +3=0是关于x的一元二次方程，求m,n的值。
小结时，教师应重点关注：
（1）学生是否能抓住本节课的重点；
（2）学生是否掌握一些基本方法。
此题让学生进行思考，讨论，让学生进行讲解，教师作适当归纳，可留疑，让学生课下思考。
让学生再思考，若题目
小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。
此题需进行分类讨论，开拓学生思维，体现数学的严谨性。
「活动5」
课后作业：
(A)教科书第98页习题17.1第1、2、5、6、7题.
(B)请根据所给方程：
（16-2x）(10-2x)=112，
联系实际，编写一道应用题
（ 要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）。
中“+”变成“-”时，如何解决，留作课下思考。
（A）组题目为巩固型作业，即必做题。
（B）组题目为思维拓展型作业，即为学有余力的学生设置。
分层次布置作业，尊重学生的个体差异，激发学生学习积极性。
教学设计说明
本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式、及有关概念，并学会利用方程解决实际问题。在教学过程中，注重中难点的体现。
在本节课的活动1中，通过实际问题引入学生熟悉的一元一次方程，让学生掌握利用方程解决问题，从而顺利过渡到后面的问题。活动2中让学生观察活动1中得到的3个方程，并通过类比一元一次方程的定义和一般形式，从而获得本课的新知识。活动3意在强化学生所学知识，并运用到实际问题中去。
教学过程中，应随时注意学生们出现的问题，及时进行反馈，使学生熟练掌握所学知识。
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