9.3 分式方程
【知识精读】
含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。
公式变形实质上是解含有字母系数的方程
对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程型，讨论如下：
（1）当时，此时方程为关于x的一元一次方程，解为：
（2）当时，分以下两种情况：
若，原方程变为，为恒等时，此时x可取任意数，故原方程有无数个解；
若，原方程变为，这是个矛盾等式，故原方程无解。
含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。
【分类解析】
1. 分式有意义的应用
例1. 若，试判断是否有意义。
练习： 当x取何值时，分式有意义？值为0？
2. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。
例2. 已知，试用含x的代数式表示y，并证明。
3. 求含有字母系数的一元一次方程的解
例3. 解关于x的方程
分析：将x以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。
4. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件
例4. 如果关于x的方程有唯一解，确定a、b应满足的条件。
5. 在其它学科中的应用（公式变形）
例5. 在物理学中我们学习了公式，其中所有的字母都不为零。已知S、、t，试求a。
例6. 解关于x的方程
例7. 解关于x的方程。
练习： 已知，求z。（）
【实战模拟】
1、 填空：在中，已知且，则________。
2、 在公式中，已知P、F、t都是正数，则s等于（ ）
4
A. B. C. D. 以上都不对
3、解关于x的方程，其中。
4、 解关于x的方程。
5. a为何值时，关于x的方程的解等于零？
6. 已知关于x的方程有一个正整数解，求m的取值范围。
7. 已知，求的值
8．已知，求代数式的值。
9. 已知：，求的值。
10. 如果a、b为定值，关于x的一次方程，无论取何值，它的根总是1，求a、b的值。
【实战模拟】
1. 解关于x的方程，其中。
2. 解关于x的方程。
3. a为何值时，关于x的方程的解等于零？
4. 已知关于x的方程有一个正整数解，求m的取值范围。
5. 如果a、b为定值，关于x的一次方程，无论取何值，它的根总是1，求a、b的值。
例1. 解关于x的方程
解：原方程化为：
即
说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式
4
。若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的结构特征，才能找到合适的办法。
例2. 解关于x的方程。
解：去括号：
说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。
例3. 已知，求z。（）
分析：本题是求z，实质上是解含有字母系数的分式方程，应确定已知量和未知量，把方程化归为的形式，便可求解。
解：
又
5、中考点拨
例1. 填空：在中，已知且，则________。
解：
例2. 在公式中，已知P、F、t都是正数，则s等于（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
解：
，故选A
4
说明：以上两题均考察了公式变形
2. 解：原方程变为
即
（1）当且时，得
（2）当时，原方程变为
为任意数，即原方程有无数个解
（3）当时，原方程为，此时原方程无解。
3. 解：去分母，得
当时，方程有唯一解，
设，则
综上所述，当时，原方程的解为0。
4. 分析：解分式方程综合了分式的运算，整式方程等知识，除此之外，分式方程一般还可能应用代数式的恒等变形的知识。
又方程解为正整数
，则
当且时，原方程有正整数解
5. 分析：原方程是关于x的一元一次方程，由题意把根代入原方程转化为解关于k的方程。
解：
由题意得代入上式得：
有无数解，
解得
6. 已知，求的值。
4
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