第12讲 圆心角与圆周角
【今日目标】
1、牢记圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理(即四量定理)、圆周角定理及其推论;
2、熟练运用四量定理、圆周角定理进行圆的有关计算与推理。
【知识点击】
1、圆的旋转不变性:把圆绕着圆心旋转 角度,都与原来的图形重合,我们把这种性质称为圆的 。则圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(即四量定理):在 中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个 、 、 或 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
3、圆心角度数定理:圆心角的度数和它所对的弧的度数 。
4、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
5、 圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
【典例精析】
考点1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理与圆周角定理的基本理解
【例1】1、下列说法:①在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等; ②同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角相等; ③等弧所对的圆周角相等; ④圆心角相等,所对的弦相等,其中正确的说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,
∠ BAC=∠ BOD,则⊙O的半径为 。
3、如图,在圆O上有定点C和动点P,位于直径AB的异侧,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q,已知:圆O半径为,tan∠ABC=,则CQ的最大值是 。
●变式训练:
1、已知和是同圆中的两条弧,且, 那么弦CD与2AB的大小关系为 。
2、.如图,AB为⊙O的直径,点P为其半圆上一动点(不与A,B重合),点Q为另一半圆上一定点,若∠POA=x°,∠PQB=y°,则y与x的函数关系是 。
3、如图,点A,B,C,D为⊙O上的四个点,AC平分∠BAD,AC交BD于点E,CE=4,
CD=6,则AE的长为 。
4、如图,弧BE是半径为 6 的⊙D的圆周,C点是弧BE上的任意一点, △ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是 .
2小题图 3小题图 4小题图
5、在⊙O中,BC是弦,∠OCB=40°,A是圆上的一动点(点A不与B、C重合),则∠A的度数等于 。
6、在平面直角坐标系中,已知点A(4,0)、B(﹣6,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,点C的坐标为 .
考点2、运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理与圆周角定理进行有关计算与证明
【例2】如图⊙O中两条相等的弦AB、CD分别延长到E、F,使BE=DF.
(1)求证:EF的垂直平分线必过圆心.
(2)若AB与CD在⊙O内相交于P,同样延长AB、CD,使BE=DF,那么是否还有(1)中相同的结论,请说明理由(如图2).
图1 图2
【例3】如图,AB是⊙O的弦,CP为⊙O的直径,且P为弧AB的中点,过点C任作一弦CF交AB于点E。
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(1)求证:;
(2)连结BP,若BD:CD=2:3,求sin∠BPD的值。
【例4】如图,AD是△ABC的角平分线,以点C为圆心,CD为半径作圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且∠B=∠CAE,EF:FD=4:3.
(1)求证:点F是AD的中点;
(2)求cos∠AED的值;
(3)如果BD=10,求半径CD的长.
●变式训练:
1、如图:⊙O是△ABC的外接圆,D为弧AC的中点,BD交AC于E,
⑴求证:CD是DE和DB的比例中项;
⑵当CD,O到AC的距离为1时,求⊙O的半径。
2、已知:在△ABC中,以AC边为直径的⊙O交BC于点D,在劣弧AD上到一点E,使
∠EBC=∠DEC,延长BE依次交AC于G,交⊙O于H.
(1)求证:AC⊥BH;
(2)若∠ABC=45°,⊙O的直径等于10,BD=8,求CE的长.
【例5】如图,已知A、B、C、D是⊙O上的四等分点,⊙O的半径为4cm, 以AB为边在四边形ABCD内作等边△ABQ, P是四边形ABCD的对角线AC上一动点,求PD+PQ的最小值。
●变式训练:
如图,已知⊙O的半径为R,CD是直径AB同侧圆周上的两点弧AC的度数为96 o,弧BD的度数为36o,P是直径AB上的一动点 ,则PC+PD的最小值为 。(用含R的式子表示)
【思维拓展】
【例6】正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上,E是⊙O上的一点。
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(1)如图①,当点E在弧AB上时,求证:DE-BE= AE;
(2)如图②,当点E在弧AD上时,是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由。
图①
●变式训练: 图②
如图,在中,是的中点,以为直径的⊙O交的三边,交点分别是点.的交点为,且,.
(1)求证:;
(2)求的⊙O直径的长;
(3)若,以为坐标原点,所在的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,求直线的函数表达式.
【例6】如图,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,经过A、B、C三点的圆的圆心恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M的半径为,设⊙M与轴交于D,抛物线的顶点为E。
⑴求的值以及抛物线的解析式;
⑵设∠DBC,∠CBE,求的值;
⑶探究:坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由。
【众里寻她】
1.下面命题中,正确的命题个数为( )
(1)顶点在圆周上的角是圆周角. (2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半.
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(3)90°的圆周角所对的弦是直径. (4)圆周角相等,则它们所对的弧也相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、如图1,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为( )
A.
2
B.
8
C.
2
D.
2
3、如图2,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AD=6,则DC= .
图1 图2 图3
4、如图3,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB分别交OC于点E,交弧BC于点D,连结CD、OD,给出以下四个结论:①S△AEC=2S△DEO;②AC=2CD;③线段OD是DE与DA的比例中项;④.其中正确结论的序号是 .
5、如图5,A、B、C是⊙O上的三点,以BC为一边,作∠CBD=∠ABC,过BC上一点P,作PE∥AB交BD于点E.若∠AOC=60°,BE=3,则点P到弦AB的距离为 。
6、如图,在已知⊙O中弧AB=弧AC,P是弧AB上的一点,且∠APC=60°。
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)若BC=4cm,求⊙O的面积。
7、如图,AB是△ABC的外接圆⊙O的直径,D是⊙O上一点,DE⊥AB于点E,且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G.
(1)求证:AE·BE=EF·EG;
(2)连接BD,若BD⊥BC,且EF=MF=2,求AE和MG的长.
8、如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC于点E,交BC于点D,连结BE、AD交于点P. 求证:(1)D是BC的中点;(2)△BEC ∽△ADC;(3)AB× CE=2DP×AD.
9、如图,在⊙O的内接△ABC中,AB+AC=12,AD⊥BC ,垂足为 D ,且AD=3,设⊙O的半径为y,AB的长为x。
(1)求y与x的关系式;
(2)当AB的长等于多少时,⊙O的面积最大?最大面积是多少?
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