第15讲 几何
【典例精析】
专题一 直线型专题
题型1：直线型填空题
【例1】如图，在等腰直角△ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对； （2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OP•OC．其中正确的结论有 ．（填番号）
变式训练：
1、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= ．
2、长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为 ．
题型2：直线型综合性问题（图形变换）
【例2】（成华区20）（本小题满分10分）如图，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于D，点E在线段BC上（不与端点重合），AE交DC延长线于点G，交BD于点F，连接FC．
（1）当AB=CD时，求证： ∠BAF＝∠BCF；
（2）在（1）的条件下，当AF＝2EF时，判断EG与EF有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AF＝nEF（n>2），而其余条件不变时，线段EG与EF之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．
【例3】已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．
图① 图② 图③
专题二 圆的专题
题型1：圆的填空题型
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【例4】1、（青羊区22）如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为___ ____。
2、（成华区25）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，D 是边BC上（不与端点重合）的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，若线段AD长度的最小值为，则线段EF长度的最小值为 ．
变式训练：
1、如图．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是的中点，CD与AB的交点为E，则等于 。
2、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ．
1题图 2题图 3题图
3、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：
①△ADF∽△AED； ②FG=2； ③tan∠E=； ④S△DEF=4．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
题型2：圆的综合题型
【例5】已知：如图，DABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交
⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1） 求证：AC=2DE；
（2）若tan∠CBD=，AP•AC=5,求AC的长；
（3）若AD=，⊙O 的半径为，延长DE交⊙O于点M,且DP∶DM=1∶4，求CM的长．
【例6】（武侯区27）△ABC内接于半圆，圆心为O，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是的中点，BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：DE= AC；
（3）在（2）的条件下，若△DFG的面积为S，且DG=a，GC=b，试求△BCG的面积．（用a、b、S的代数式表示）
变式训练：
1、（高新区27）如图，BC是⊙O直径，DF⊥BC于H，D是AC 的中点，连接AC交DF于点G，交BD于E。
(1) 求证：DG=CG；
(2) 连接OG，求证：OG∥BD；
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(3) 已知BC=5，CD= ，求AE的值.
2、（成华区27）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦(不是直径)．
（1）请按下面步骤画图（画图要求：画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）：
第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；
第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点P；
第三步，连接BD，连接OP交AD于点E；
（2）请在（1）的基础上完成下列各题：
① 求证：PE •DE =OE •AE；
② 若，，求AD的长度．
附B卷模拟训练：
B 卷（共50分）
（时间：60分钟，总分50分）
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）：
21、设α、β是方程的两根，则的值是 。
22、已知，在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与BC重合），过F点的反比例函数(x>0)的图象与AC边交于点E．记，当S取得最大值时，则k= 。
23、对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根记为，（n≥2），则的值为 。
24、在菱形ABCD中，AB=2，∠ADC=120°，M是AB的中点，P为对角线BD上的一动点，在运动过程中，记AP+MP的最大值为S,最小值为T，则的值为 。
25、如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，…，最后一个的顶点、在圆上．当时，则正三角形的边长= ；探索：正三角形的边长= （用含n的代数式表示）．
二、解答题（本大题共3小题，共30分）
26、（共8分）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元。已知绿茶成本50元/千克，在第一个月的试销时间内发现，销量w（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：w=－2x＋240。
（1）设该绿茶的月销售利润为y（元），求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？（销售利润=单价×销售量－成本－投资）。
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（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元？
27、（共10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是弧AC上的一点，连结AD并延长与BC的延长线交于点E，AC、BD相交于点M.
（1）求证：BC•CE=AC•MC；
（2）若点D是弧AC的中点，tan∠ACD=,MD•BD=5,求⊙O的半径；
（3）若CD∥AB，过点A作AF∥BC，交CD的延长线于点F，求的值。
28、（共12分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A、B(点在点的左侧)，与y轴相交于点C，顶点D在第一象限.过点D作x轴的垂线，垂足为H。
(1)当时，求tan∠ADH的值；
(2)当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；
(3)设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1=S2，求点D到直线BC的距离。
变式2解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20﹣a，
所以第二次操作时正方形的边长为20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a，2a﹣20．
此时，分两种情况：
①如果20﹣a＞2a﹣20，即a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣20．
则2a﹣20=（20﹣a）﹣（2a﹣20），解得a=12；
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②如果20﹣a＜2a﹣20，即a＞40，那么第三次操作时正方形的边长为20﹣a．
则20﹣a=（2a﹣20）﹣（20﹣a），解得a=15．
∴当n=3时，a的值为12或15．
故答案为：12或15．．
变式解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴．
（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立，证明如下：
在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．
∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．
∴△ADE∽△DCM，
∴，即．
（3）．
考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．
分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；
②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；
③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；
④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4．
解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴=，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正确；
②∵=，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG﹣CF=2；
故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG==，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，
∴tan∠E=；
故③错误；
④∵DF=DG+FG=6，AD==，
∴S△ADF=DF•AG=×6×=3，
∵△ADF∽△AED，
∴=（）2，
∴=，
∴S△AED=7，
∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4；
故④正确．
故答案为：①②④．
26解：（1）y与x的关系式为：
∵，
∴当x=85时，y的值最大为2450元。
（2）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450元，
∴第1个月还有3000－2450=550元的投资成本没有收回。
则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，
可得方程，解得x1=75，x2=95。
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根据题意，x2=95不合题意应舍去。
答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元。
28、解：（1）)当时，。∴D。∴DH=。
在中令，即，解得。
∴A（－1，0）。∴AH=。∴tan∠ADH=。
（2）∵，∴D。∴DH=。在中令，即，解得。
∵顶点D在第一象限，∴。∴
∴A（－1，0）。∴AH=。
当∠ADB=600时，∠ADH=300，tan∠ADH=。
∴，解得（增根，舍去）。
当∠ADB=900时，∠ADH=450，AH=DH，即，
解得（不符合，舍去）。
∴当60°≤∠ADB≤90°时，。
（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m，
设过点B（，0），C（0，）的直线为，则
，解得。
∴直线BC为。
当时，。
∴M（m，）。∴DM=，AB=。
∵S△BCD=DM·OB，S△ABC=AB·OC，S△BCD=S△ABC，
∴。
又∵顶点D在第一象限，∴，解得。
当时 ，A（－1，0），B（5，0），C（0，）。
∴BC=，S△ABC=。
设点D到BC的距离为d，∵S△DBC=，
∴，解得。
答：点D到直线BC的距离为。
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