浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第四讲 因式分解》课件.ppt

第四讲 因式分解 课 前 必 读 考纲要求 1. 了解因式分解的概念，会判断给定的等式变形是否是因式分解； 2. 会用提公因式法进行因式分解 ( 指数是正整数 ) ； 3. 会用公式法进行因式分解 ( 直接用公式不超过两次 ) ； 4. 能有意识地运用因式分解解决计算问题和实际问题 . 学.科.网 考情分析 近三 年浙 江省中考情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 因式分解的概念 (3 分 ) 选择题 容易 2011 年 因式分解的方法及应用 (3 分 ) 填空题解答题 中等 2012 年 因式分解的概念和方法 (3 分 ) 学.科.网 选择题填空题 容易 网 络 构 建 概念最重要 结果整式积 方法有两种 一提二公式 分解要彻底 学.科.网 考 点 梳 理 定义：把一个多项式化成几个整式的① _____ 的形式，叫做把这个多项式因式分解． 如： x 2 ＋ x ＝ x ( x ＋ 1) 就是② _________ ． 而 x 2 ＋ x － 2 ＝ x ( x ＋ 1) － 2 就不是③ _________ ． 名师助学 1 ．因式分解的结果必须是整式积的形式； 2 ．因式分解与整式的乘法是互逆的． 因式分解的定义 乘积 因式分解 因式分解 1 ．提公因式法： ma ＋ mb ＋ mc ＝④ ___________ ． 2 ．运用公式法 (1) 平方差公式： a 2 － b 2 ＝⑤ ____________ (2) 完全平方公式： a 2 ±2 ab ＋ b 2 ＝⑥ ________ ． 因式分解的基本方法 m ( a ＋ b ＋ c ) ( a － b )( a ＋ b ) ( a ± b ) 2 1 ．提取公因式．如果多项式的各项有公因式，那么先提⑦ _______ ； 2 ．运用乘法公式．如果各项没有公因式，那么可以尝试运用⑧ _______ 来分解； 3 ．因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再⑨ _____ 为止．简记为：一“提”、二“套”、三“检查”． 分解因式的基本步骤 公因式 公式法 分解 名师助学 分解必须要彻底，要注意以下三个方面： 1 ．每一个多项式都不能再分解； 2 ．重因式的乘积写成幂的形式； 3 ．不能含有双重括号． 对 接 中 考 常考角度 1 ．什么是因式分解？ 2 ．因式分解与整式乘法的关系． 对接点一：因式分解的概念 A ． x 2 － 5 x ＋ 6 ＝ x ( x － 5) ＋ 6 B ． x 2 － 5 x ＋ 6 ＝ ( x － 2)( x － 3) C ． ( x － 2)( x － 3) ＝ x 2 － 5 x ＋ 6 D ． x 2 － 5 x ＋ 6 ＝ ( x ＋ 2)( x ＋ 3) 【 例题 1】 下列式子变形是因式分解的是 ( 　　 ) 解析 　 A ．右边不是积的形式，所以 A 错； B. 因 ( x － 2)( x － 3) ＝ x 2 － 3 x － 2 x ＋ 6 ＝ x 2 － 5 x ＋ 6 ，与左边相等，并且右边是积的形式，所以 B 对； C ．从左到右进行的是多项式的乘法，不是因式分解，所以 C 错； D ．因 ( x ＋ 2)( x ＋ 3) ＝ x 2 ＋ 3 x ＋ 2 x ＋ 6 ＝ x 2 ＋ 5 x ＋ 6 ，与左边不相等，所以 D 错． 答案 　 B 1. 牢记因式分解的结果是整式积的形式； 2 ．因式分解和整式的乘法是互逆的． A ．－ a ＋ a 3 ＝－ a (1 ＋ a 2 ) B ． 2 a － 4 b ＋ 2 ＝ 2( a － 2 b ) C ． a 2 － 4 ＝ ( a － 2) 2 D ． a 2 － 2 a ＋ 1 ＝ ( a － 1) 2 解析 　因为－ a ＋ a 3 ＝ a ( a 2 － 1) ＝ a ( a ＋ 1)( a － 1) ．所以 A 错；因为 2 a － 4 b ＋ 2 ＝ 2( a － 2 b ＋ 1) ，所以 B 错；因为 a 2 － 4 ＝ ( a ＋ 2)( a － 2) ，所以 C 错；因为 a 2 － 2 a ＋ 1 ＝ ( a － 1) 2 ，所以 D 对，选 D. 答案 　 D 【 预测 1】 下列因式分解正确的是 ( 　　 ) A ．－ 3( x － 1) ＝－ 3 x － 1 B ．－ 3( x － 1) ＝－ 3 x ＋ 1 C ．－ 3( x － 1) ＝－ 3 x － 3 D ．－ 3( x － 1) ＝－ 3 x ＋ 3 答案 　 D 【 预测 2】 下列运算正确的是 ( 　　 ) 常考角度 1 ．提公因式法分解因式； 2 ．公式法分解因式； 3 ．分解因式的基本步骤． 对接点二：因式分解的基本方法 (1)(2012· 绍兴 ) a 3 － a (2)(2012· 湖州 ) x 2 － 36 (3)(2012· 潍坊 ) x 3 y － 2 x 2 y 2 ＋ xy 3 分析 　 (1) 先提取公因式 a ，对另一个因式再用平方差公式分解； (2) 用平方差公式； (3) 先提取公因式 xy ，再对另一个因式用差的完全平方公式分解． 解 　 (1) a 3 － a ＝ a ( a 2 － 1) ＝ a ( a ＋ 1)( a － 1) ； (2) x 2 － 36 ＝ x 2 － 6 2 ＝ ( x ＋ 6)( x － 6) ； (3) x 3 y － 2 x 2 y 2 ＋ xy 3 ＝ xy ( x 2 － 2 xy ＋ y 2 ) ＝ xy ( x － y ) 2 . 【 例题 2】 将下列各式分解因式： 【 例题 3】 如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形 ( a ＞ b ) ，把剩下的部分拼成 一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 ________ ． ∴ a 2 － b 2 ＝ ( a ＋ b )( a － b ) ，从而验证了因式分解的平方差公式． 答案 　 a 2 － b 2 ＝ ( a ＋ b )( a － b ) 1. 提公因式的方法：“一定”：确定公因式，可按“系数大、字母同、指数低”的原则来确定；“二提”：将各项的公因式提出来，并确定另一个因式； 2 ．根据公式的结构特征套用公式； 3 ．分解要彻底． (1)2 a 2 － 4 a ＝ ________ ； (2) xy － y ＝ _______ ； (3) x 2 － 9 y 2 ＝ ______________ ； (4) a 2 － 6 a ＋ 9 ＝ _______ ； (5) x 2 y ＋ 4 xy ＋ 4 y ＝ ________ ； (6)2 x 2 － 8 ＝ _____________ ． 【 预测 3】 分解下列各式： 2 a ( a － 2) y ( x － 1) ( x ＋ 3 y )( x － 3 y ) ( a － 3) 2 y ( x ＋ 2) 2 2( x ＋ 2)( x － 2) 【 预测 4】 如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于 a ， b 的恒等式 ________ ． 解析 　∵小正方形的边长为 ( a － b ) ∴小正方形的面积 ( 空白部分的面积 ) ＝ ( a － b ) 2 又∵大正方形的面积为 ( a ＋ b ) 2 而四个全等的矩形的面积和 ( 阴影部分的面积 ) ＝ 4 ab ∴小正方形面积 ( 空白部分面积 ) ＝ ( a ＋ b ) 2 － 4 ab ＝ a 2 ＋ 2 ab ＋ b 2 － 4 ab ∴填 ( a － b ) 2 ＝ a 2 － 2 ab ＋ b 2 答案 　 ( a － b ) 2 ＝ a 2 － 2 ab ＋ b 2 常考角度 1 ．利用因式分解求代数式的值； 2 ．整体代入的思想． 对接点三：因式分解与求值 【 例题 4】 (2012· 杭州 ) 化简： 2[( m － 1) m ＋ m ( m ＋ 1)][( m － 1) m － m ( m ＋ 1)] ．若 m 是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？ 分析 　首先从第一个中括号和第二个中括号中各提取一个 m ，然后再对两个中括号余下的进行化简，得到最后结果，观察结果发现规律． 解 　 2[( m － 1) m ＋ m ( m ＋ 1)][( m － 1) m － m ( m ＋ 1)] ， ＝ 2 m [( m － 1) ＋ ( m ＋ 1)] m [( m － 1) － ( m ＋ 1)] ， ＝ 2 m 2 ( m － 1 ＋ m ＋ 1)( m － 1 － m － 1) ， ＝－ 8 m 3 ＝ ( － 2 m ) 3 ， 原式＝－ 8 m 3 或 ( － 2 m ) 3 ， 所以不论 m 取什么整数，结果都表示一个能被 8 整除的数或一个偶数的立方． 1. 通过因式分解将多项式合理变形； 2 ．根据已知条件整体代入； 3 ．灵活运用因式分解使计算更简洁，提高准确 率． 解 　 a 2 b ＋ ab 2 ＝ ab ( a ＋ b ) ＝ 1×2 ＝ 2. 解析 　 (2 x ＋ 5)( x ＋ 1) － ( x － 2)( x ＋ 1) ＝ ( x ＋ 1)[(2 x ＋ 5) － ( x － 2)] ＝ ( x ＋ 1)( x ＋ 7) ＝ ( － 7 ＋ 1)( － 7 ＋ 7) ＝ 0 答案 　 0 解 　 x 2 ＋ y 2 ＝ ( x ＋ y ) 2 － 2 xy ＝ 3 2 － 2×1 ＝ 7. 【 预测 5】 已知实数 a 、 b 满足 ab ＝ 1 ， a ＋ b ＝ 2 ，求代数式 a 2 b ＋ ab 2 的值． 【 预测 6】 当 x ＝－ 7 时，代数式 (2 x ＋ 5)( x ＋ 1) － ( x － 2)( x ＋ 1) 的值为 ________ ． 【 预测 7】 已知 x ＋ y ＝ 3 ， xy ＝ 1. 求 x 2 ＋ y 2 . 易 错 防 范 问题 1. 因式分解与整式的乘法易混； 问题 2. 提取公因式后，在确定另一个因式时，易掉 项、符号易出错； 问题 3. 分解不彻底． 因式分解常见错误 (1)(2012· 成都 ) － x 3 ＋ 2 x 2 － x . (2)(2012· 重庆 ) x 4 － 1. [ 错解 ] 　 (1) 原式＝ x ( － x 2 ＋ 2 x － 1) ． (2) 原式＝ ( x 2 ＋ 1)( x 2 － 1) ． [ 错因分析 ] 　 (1) 只提取 x ，没把“－”号提取，后面也就分解不彻底了． (2) 分解不彻底，只分解到 ( x 2 ＋ 1)( x 2 － 1) [ 正解 ] 　 (1) 原式＝－ x ( x 2 － 2 x ＋ 1) ＝－ x ( x － 1) 2 (2) 原式＝ ( x 2 ＋ 1)( x 2 － 1) ＝ ( x 2 ＋ 1)( x ＋ 1)( x － 1)   【 例题 5】 分解因式： 1. 理解因式分解的概念，结果必须是整式积的形式； 2 ．掌握因式分解的思路：首先考虑能否提取公因式，再看多项式是几项，若是二项式，则看它能否用平方差公式来分解；若是三项式，则看它能否用完全平方公式来分解； 3 ．分解必须彻底． 课 时 跟 踪 检 测 点击链接