专题五 万有引力与航天
考纲展示 命题探究
基础点
知识点1 开普勒三定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律：对每一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。
3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
知识点2 万有引力定律
1．内容
(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。
(2)引力的方向在它们的连线上。
(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式：F＝G，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定。
3．适用条件
(1)两个质点之间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；r为两物体间的距离。
(2)对质量分布均匀的球体，r为两球心的距离。
知识点3 万有引力定律的应用
1．计算天体的质量
(1)地球质量的计算
①依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G。
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②结论：M＝，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量。
(2)太阳质量的计算
①依据：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝。
②结论：M＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量。
(3)其他行星的质量计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M，公式是M＝。
2．发现未知天体
海王星、 冥王星的发现都是天文学家根据观测资料，利用万有引力定律计算出的，人们称其为“笔尖下发现的行星”。
重难点
一、开普勒行星运动定律
定律
内容
图示
开普勒第一
定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
说明：不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的
开普勒第二
定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积
说明：行星在近日点的速率大于在远日点的速率
开普勒第三
定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
说明：表达式＝k中，k值只与中心天体有关
特别提醒
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(1)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于其他天体的运动。对于不同的中心天体，比例式＝k中的k值是不同的。
(2)应用开普勒第三定律进行计算时，一般将天体的椭圆运动近似为匀速圆周运动，在这种情况下，若用R代表轨道半径，T代表公转周期，开普勒第三定律用公式可以表示为＝k。
二、对万有引力定律的理解
1．对万有引力定律表达式F＝G的说明
(1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2；其物理意义为：两个质量都是1 kg的质点相距1 m时，相互吸引力为6.67×10－11 N。
(2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。
2．F＝G的适用条件
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
3．万有引力的四个特性
(1)普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。
(2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上。
(3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。
(4)特殊性：两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关。
特别提醒
(1)万有引力与距离的平方成反比，而引力常量又极小，故一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略。
(2)任何两个物体间都存在着万有引力，只有质点间或能看成质点的物体间的引力才可以应用公式F＝G计算其大小。
(3)万有引力定律是牛顿发现的，但引力常量却是大约百年后卡文迪许用扭秤测出的。
三、万有引力和重力的关系
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1．在地球表面上的物体
重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。
如图所示，万有引力F产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力F向；二是产生物体的重力mg，其中F＝G，F向＝mrω2(r为地面上某点到地轴的距离)，则可知：
(1)当物体在赤道上时，F、mg、F向三力同向，此时F向达到最大值，F向max＝mRω2，重力达到最小值，Gmin＝F－F向＝G－mRω2，重力加速度达到最小值，gmin＝＝－Rω2。
(2)当物体在两极点时，F向＝0，F＝mg，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，Gmax＝G，重力加速度达到最大值，gmax＝。
(3)在物体由赤道向两极移动的过程中，向心力减小，重力增大，重力加速度增大。
2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力
物体在地球表面附近(脱离地面)时，物体所受的重力等于地球表面处的万有引力，即mg＝，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，此处也有GM＝gR2。
3．距地面一定高度处的重力与万有引力
物体在距地面一定高度h处时，mg′＝＝m，R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度。
特别提醒
(1)由于地球的自转角速度很小，地球自转带来的影响可以忽略不计。一般情况下可以认为G＝mg，化简可得GM＝gR2，此即常用的“黄金代换式”。
(2)在并非有意考查地球自转的情况下，一般近似地认为万有引力等于重力(数值)，但无论如何都不能说重力就是万有引力。
四、天体的质量和密度的计算
首先要将天体看做质点，将环绕天体的运动看做匀速圆周运动，建立环绕天体围绕中心天体的模型，环绕天体所需要的向心力来自于中心天体和环绕天体之间的万有引力，然后结合向心力公式列方程：＝m＝mrω2＝mr＝m4π2rf2。
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(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝。
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r。
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
特别提醒
(1)利用上面的方法求天体的质量时，只能求出被绕中心天体的质量而不能求出环绕天体的质量。
(2)掌握日常知识中地球的公转周期、地球的自转周期、月球绕地球的运动周期等，在估算天体质量时，可作为已知条件。
(3)在天文学中，环绕天体的线速度、角速度都比较难测量，而比较容易测量的是天体的轨道半径和环绕周期，所以M＝比较常用。
1．思维辨析
(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。( )
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。( )
(3)只有天体之间才存在万有引力。( )
(4)牛顿根据前人的研究成果得出了万有引力定律，并测量得出了万有引力常量。( )
(5)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。( )
(6)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。( )
(7)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)×
2．为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳中心与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T。则太阳的质量为( )
A. B.
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C. D.
答案 B
解析 对地球表面的物体，有G＝m′g；地球绕太阳公转，有G＝m2r，联立解得太阳的质量M＝，B正确。
3．(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面重力加速度为g′，地球的质量为M地，该星球的质量为M星。空气阻力不计。则( )
A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝1∶5
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
答案 BD
解析 小球以相同的初速度分别在星球和地球表面做竖直上抛运动，星球上：v0＝g′·得，g′＝，同理地球上的重力加速度g＝；则有g′∶g＝1∶5，所以A错，B正确。由星球表面的物重近似等于万有引力可得，在星球上取一质量为m0的物体，则有m0g′＝G，得M星＝，同理得：M地＝，所以M星∶M地＝1∶80，故C错，D正确。
[考法综述] 本考点知识是天体运动与航天技术的基础，涉及开普勒三定律、万有引力定律及其应用，试题类型基本上都是选择，在高考中时有体现，在复习中应掌握：
2个定律——开普勒定律、万有引力定律
1个应用——万有引力定律的应用
3个公式——＝k、F＝、＝m＝mω2R＝m2R
命题法1 开普勒第三定律
典例1 2006年8月24日晚，国际天文学联合会大会投票，通过了新的行星定义，冥王星被排除在行星行列之外，太阳系行星数量由九颗减为八颗。若将八大行星绕太阳运行的轨迹粗略地认为是圆，各星球半径和轨道半径如表所示。
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从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近( )
A．80年 B．120年
C．165年 D．200年
[答案] C
[解析] 设海王星绕太阳运行的平均轨道半径为r1，周期为T1，地球绕太阳公转的轨道半径为R2，周期为T2(T2＝1年)，由开普勒第三定律有＝，故T1＝·T2≈164年，故选C。
【解题法】 开普勒第三定律的应用步骤
(1)首先判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立。
(2)明确题中给出的周期关系或半径关系。
(3)根据开普勒第三定律列式求解。
命题法2 万有引力定律
典例2 质量为M的均匀实心球体半径为R，球心为O。在球的右侧挖去一个半径为的小球，将该小球置于OO′连线上距O为L的P点，O′为挖去小球后空腔部分的中心，如图所示，则大球剩余部分对P点小球的引力为多大？
[答案]
[解析] 设小球的质量为m，则m＝·π3＝。
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设大球剩余部分对小球的作用力为F，完整大球对小球的作用力为F1，充满物质后的空腔部分对小球的作用力为F2，则F2＋F＝F1，F＝F1－F2＝G－G＝。
【解题法】 “割补法”求万有引力的两点注意
(1)找到原来物体所受的万有引力、割去部分所受的万有引力与剩余部分所受的万有引力之间的关系。
(2)所割去的部分为规则球体，剩余部分不再为球体时适合应用割补法。若所割去部分不是规则球体，则不适合应用割补法。
命题法3 万有引力与重力的关系
典例3 已知某星球的自转周期为T0，在该星球赤道上以初速度v竖直上抛一物体，经t时间后物体落回星球表面，已知物体在赤道上随星球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则该星球的转动周期T要变为多大？
[答案] T＝ T0
[解析] 物体做竖直上抛运动，则v＝g·，所以g＝
设该星球的质量为M，半径为R，物体的质量为m，则赤道上的物体随该星球自转时，有：－N＝mR＝ma，其中N＝mg，因而－m·＝mR＝ma
要使赤道上的物体“飘”起来，应当有N＝0。此时物体成了近地卫星，万有引力充当向心力，＝mR。联立可得：T＝ T0。
【解题法】 卫星绕地球运动的向心加速度和物体随地球自转的向心加速度比较
种类
项目
卫星绕地球运动的向心加速度
物体随地球自转的向心加速度
产生
万有引力
万有引力的一个分力(另一分力为重力)
方向
指向地心
垂直指向地轴
大小
a＝g′＝(地面附近a近似为g)
a＝ω·r，其中r为地面上某点到地轴的距离
变化
随物体到地心距离r的增大而减小
从赤道到两极逐渐减小
命题法4 天体质量或密度的估算问题
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典例4 (多选)1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2。你能计算出( )
A．地球的质量m地＝
B．太阳的质量m太＝
C．月球的质量m月＝
D．可求月球、地球及太阳的密度
[答案] AB
[解析] 对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝，所以地球质量m地＝，选项A正确。对地球绕太阳运动来说，有＝m地L2，则m太＝，B项正确。对月球绕地球运动来说，能求地球的质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量，无法求出它的质量和密度，C、D项错误。
【解题法】 中心天体质量和密度的计算方法
(1)当卫星绕行星或行星绕恒星做匀速圆周运动时，根据题目提供的不同条件，在下面四种情况下都可求解中心天体的质量：
①若已知卫星在某一高度的加速度g和环绕的半径r，根据G＝mg得M＝；
②若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度v和半径r，根据G＝m得M＝；
③若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r，由G＝mr得M＝；
④若已知卫星运行的线速度v和周期T，根据G＝mv和r＝得M＝。
(2)要想求中心天体的密度，还要知道中心天体的半径R，由M＝ρV和V＝πR3求天体的密度。
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