基础点
知识点1 重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2．重力势能
(1)定义：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。
(2)表达式：Ep＝mgh。
(3)矢标性：重力势能是标量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在参考平面是大还是小。
(4)重力势能的特点
①系统性：重力势能是物体和地球所共有的；
②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取无关。
知识点2 弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有势能。
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
(1)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔEp。
(2)对于弹性势能，一般地，物体的弹性形变量越大，弹性势能越大。
3．重力势能与弹性势能的比较
内容
重力势能
弹性势能
概念
物体由于被举高而具有的能
物体由于发生弹性形变而具有的能
大小
Ep＝mgh
与形变量及劲度系数有关
相对性
大小与所选取的参考平面有关
一般选弹簧形变为零的状态为弹性势能零点
知识点3 机械能守恒定律及其应用
1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能。
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力
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做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
(2)常用的三种表达式。
①守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
(E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能)
②转化式：ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减。(表示系统势能的减少量等于动能的增加量)
③转移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减。(表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能)
重难点
一、机械能守恒定律的理解
1．对机械能守恒条件的理解
机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功。可分以下三层理解：
(1)只受重力作用：如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动(自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛等)。
(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功，例如：
①物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力作用，但曲面的支持力对物体不做功。
②在光滑水平面上运动的小球碰到弹簧，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来。
(3)除重力和弹力之外，还有其他力做功，但其他力做功的总和为零，系统机械能没有转化为其他形式的能，物体的机械能不变，这不是真正的守恒，但也可以当做守恒来处理。
2．机械能守恒的判断方法
(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化。
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。
特别提醒
(1)系统所受到的合外力为零时，系统机械能不一定守恒。如当物体在做竖直向上、向下方向匀速直线运动时，所受到的合外力为零，但机械能不守恒。
(2)系统所受到的合外力不为零，但不做功或做功为零时，系统机械能不一定守恒。
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例如图中，带正电的离子在复合场(匀强电场、匀强磁场和重力场)中，若重力和电场力相等，洛伦兹力提供向心力，离子在竖直平面内做匀速圆周运动。物体的动能不变，但物体重力势能发生变化，故机械能不守恒。
(3)对于绳子突然绷紧、非完全弹性碰撞的问题机械能必定不守恒。
3．机械能守恒定律三种守恒表达式的比较
特别提醒
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(1)系统的机械能守恒是指在整个过程中系统的机械能始终不变(不仅仅是初状态和末状态的机械能相等)，但在应用机械能守恒定律解决问题时，只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑中间过程的细节变化。
(2)应用守恒观点时需要规定重力势能的零势能面，应用转化观点或转移观点时则不必规定重力势能的零势能面，只关注势能的变化量即可。
(3)机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内，说某个物体机械能守恒是忽略地球这一物体的习惯说法。
二、机械能守恒定律的基本应用
1．应用机械能守恒定律解题的基本思路和步骤
(1)选取研究对象：确定研究对象是单个物体，还是多个物体组成的系统，其中是否包含有弹簧。
(2)进行受力分析：分析研究对象在运动过程中的受力情况，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒。
(3)选取零势能面：确定研究对象在初、末状态的机械能，E＝Ek＋Ep。
(4)列方程：根据机械能守恒定律选取三种表达式中合乎题意的情况列出方程。
(5)解方程验结果：解出方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明。
2．机械能守恒定律与动能定理的比较
机械能守恒定律
动能定理
不同点
适用条件
只有重力或弹力做功
没有条件限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功
分析思路
只需分析研究对象初、末状态的动能和势能
不但要分析研究对象初、末状态的动能，还要分析所有外力所做的功
研究对象
一般是物体组成的系统
一般是一个物体(质点)
书写方式
有多种书写方式，一般常用等号两边都是动能与势能的和
等号左边一定是合力的总功，右边是动能的变化
相同点
(1)思想方法相同：机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度来研究物体在力的作用下状态的变化。
(2)表达这两个规律的方程都是标量式
特别提醒
(1)列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。
(2)应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。
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(3)机械能守恒定律是一种“能能转化”关系，而动能定理是一种“功能转化量度”关系，列方程时要注意二者的角度不同。同时，机械能守恒定律是有条件的，而动能定理没有条件限制。
三、两(多)物体系统机械能守恒问题
求解这类问题的方法是首先找到两(多)物体的速度关系从而确定系统动能的变化，其次找到两(多)物体上升或下降的高度关系从而确定系统重力势能的变化，然后按照系统动能的变化等于重力势能的变化列方程求解。其中寻找两(多)物体的速度关系是求解问题的关键，按两(多)物体连接方式和速度关系一般可分为如下三种：
(1)速率相等的连接体：如图甲所示，A、B在运动过程中速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。
(2)角速度相等的连接体：如图乙所示，一轻质细杆的两端分别固定着A、B两小球，O点是一垂直纸面的光滑水平轴，A、B在运动过程中角速度相等，其线速度的大小与半径成正比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。
(3)某一方向分速度相等的连接体：如图丙所示，A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的速度v沿绳子和垂直绳子分解，如图丁所示，其中沿绳子的分速度vx是与A的速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。
1．思维辨析
(1)重力势能的大小与零势能参考面的选取有关。( )
(2)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。( )
(3)被举到高处的物体重力势能一定不为零。( )
(4)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。( )
(5)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。( )
(6)弹力做正功弹性势能一定增加。( )
(7)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。( )
(8)物体的速度增大时，其机械能可能减小。( )
(9)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)× (7)× (8)√ (9)√
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2．如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是( )
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球重力势能减小量等于斜劈动能的增加量
答案 B
解析 不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球重力做功，系统机械能守恒，小球重力势能减小量等于斜劈和小球动能的增量之和，A、C、D错。故选B。
3．(多选)如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为m、2m，开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上，放手后物体A下落，与地面即将接触时速度恰为零，此时物体B对地面恰好无压力，则下列说法中正确的是( )
A．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上
B．此时弹簧的弹性势能等于mgh
C．此时物体B将向上运动
D．此过程中物体A的机械能减少量为mgh
答案 ABD
解析 物体B对地面恰好无压力说明弹簧中拉力为2mg，对A，由牛顿第二定律，2mg－mg＝ma，解得此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上，选项A正确；对A、B和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律，此时弹簧的弹性势能等于mgh，选项B正确；此时物体B处于静止状态，选项C错误；由能量守恒定律，此过程中物体A的机械能减少量为mgh，选项D正确。
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[考法综述] 本考点既是高考的热点又是高考的重点，常与天体、曲线运动、牛顿运动定律、电场和磁场等问题结合考查，复习时要透彻理解机械能守恒定律的不同表达式的应用，通过复习应掌握：
3个概念——重力势能、弹性势能、机械能
1个定律——机械能守恒定律
1个条件——机械能守恒定律的判断条件
3种表达式——守恒观点、转化观点、转移观点三种表达式
1个应用——系统机械能守恒定律的应用
命题法1 机械能守恒问题
典例1 (多选)如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
[答案] BD
[解析] 小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能，等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。
【解题法】 判断机械能是否守恒的技巧
(1)必须准确地选择系统，在此基础上分析内力和外力的做功情况，判断系统机械能是否守恒；
(2)当研究对象(除地球以外)只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；
(3)当研究对象(除地球以外)由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。
命题法2 机械能守恒定律的应用
典例2 如图所示，半径为R的光滑半圆轨道ABC与倾角θ＝37°的粗糙斜面轨道DC相切于C，圆轨道的直径AC与斜面垂直。质量为m的小球从A点左上方距A高为h
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的斜上方P点以某一速度水平抛出，刚好与半圆轨道的A点相切进入半圆轨道内侧，之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与抛出点等高的D处。已知当地的重力加速度为g，取R＝h，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力，求：
(1)小球被抛出时的速度v0；
(2)小球到达半圆轨道最低点B时，对轨道的压力大小；
(3)小球从C到D过程中克服摩擦力做的功W。
[答案] (1) (2)5.6mg (3)mgh
[解析] (1)小球到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，如图所示。
设竖直方向的速度为vy，则有v＝2gh
由几何关系得v0＝vycotθ得v0＝。
(2)A、B间竖直高度H＝R(1＋cosθ)
设小球到达B点时的速度为v，则从抛出点到B过程中有mv＋mg(H＋h)＝mv2
在B点，有FN－mg＝m
解得FN＝5.6 mg
由牛顿第三定律知，小球在B点对轨道的压力大小是5.6mg。
(3)小球沿斜面上滑过程中克服摩擦力做的功等于小球做平抛运动的初动能，有
W＝mv＝mgh。
【解题法】 机械能守恒定律的应用技巧
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(1)机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的。因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
(2)如果系统(除地球外)只有一个物体，用守恒观点列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化或转移的观点列方程较简便。
命题法3 多物体多过程机械能守恒问题
典例3 一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示。已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：
(1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小；
(2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移。
[答案] (1)2 (2)R
[解析] (1)设A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为v，B球的质量为m，则根据机械能守恒定律有
2mgR－mgR＝×2mv2＋mv
由图甲可知，A球的速度v与B球速度vB的关系为vB＝v1＝vcos45°
联立解得v＝2 。
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(2)当A球的速度为零时，A球沿圆柱内表面运动的位移最大，设为x，如图乙所示，由几何关系可知A球下降的高度h＝ 根据机械能守恒定律有2mgh－mgx＝0
解得x＝R。
【解题法】 多物体多过程系统机械能守恒问题的分析方法
(1)首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。
(2)若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少，一般选用ΔE1＝－ΔE2的形式求解。
(3)对于用绳或杆相连接的物体，要注意寻找物体间的速度关系和位移关系。
(4)对于多过程机械能守恒问题，要分阶段分析物体的受力情况和运动情况，抓住各阶段模型特点，利用衔接点的关联，列方程求解。
命题法4 弹簧类机械能守恒问题
典例4 如图，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动。质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端。现用外力作用在物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块( )
A．最大速度相同
B．最大加速度相同
C．上升的最大高度不同
D．重力势能的变化量不同
[答案] C
[解析] 整个过程中，物块达到平衡位置时速度最大，物块质量越大，其平衡位置越靠近最低点，则由最低点到平衡位置过程中，合外力对质量较大的物块做功较小，又Ek＝mv2
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，故质量较大的物块在平衡位置速度较小，A项错；撤去外力瞬间，物块的加速度最大，由牛顿第二定律可知，两物块的最大加速度不同，B项错；撤去外力前，两弹簧具有相同的压缩量，即具有相同的弹性势能，从撤去外力到物块速度第一次减为零，物块的机械能分别守恒，由机械能守恒定律可知，物块的重力势能的变化量等于弹簧弹性势能的变化量，所以重力势能的变化量相同，D项错；因为两物块质量不同，物块的初始高度相同，由ΔEp＝mgΔh可知，两物块上升的最大高度不同，选项C正确。
【解题法】 弹簧类机械能守恒问题的处理方法
(1)弹簧类问题的突破要点
①弹簧的弹力大小由形变大小决定，解题时一般应从弹簧的形变分析入手，确定原长位置、现长位置、平衡位置等，再结合其他力的情况分析物体的运动状态。
②因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变。因此，在分析瞬间变化时可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。
③在求弹簧的弹力做功或弹簧的弹性势能时，通常可以根据系统的机械能守恒或功能关系进行分析。
(2)弹簧类问题的两点注意
①弹簧处于相同状态时弹性势能相等；
②在不同的物理过程中，弹簧形变量相等，则弹性势能的变化量相等。
命题法5 用机械能守恒处理非质点类问题
典例5 如图所示，一条长为L的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为x0，已知重力加速度为g，L＜BC，∠BCE＝α，试用x0、x、L、g、α表示斜面上链条长为x时链条的速度大小(链条尚有一部分在平台上且x＞x0)。
[答案]
[解析] 链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为m，以平台所在位置为零势能面，则－x0g·x0sinα＝mv2－xg·xsinα
解得v＝
所以当斜面上链条长为x时，链条的速度为
。
【解题法】 非质点类问题的特点及处理方法
类型特点：在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看做质点来处理。
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处理方法：物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初末状态物体重力势能的变化列式求解。
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