第三十章 二次函数
1.从实际问题中建立二次函数,理解二次函数的意义.
2.会用描点法画二次函数的图像,通过观察图像了解二次函数的性质.
3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图像的顶点坐标,能说出图像的开口方向,画出函数图像的对称轴.
4.知道给出不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.
5.了解二次函数与一元二次方程的关系,会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.
6.能利用二次函数的图像和性质解决简单的实际问题,进一步体会模型思想和函数思想,发展应用意识.
1.经历从实际问题情景中建立二次函数模型的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的关系,培养学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.
2.经历探究二次函数的图像和性质的过程,了解从特殊到一般的认识过程,学会合情推理,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
3.通过探究二次函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.
4.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.通过作图、类比、归纳等数学活动,逐步完善对二次函数的图像与性质的认识,积累与他人合作、探究、交流的经验,获得数学知识与技能.
3.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
4.经历用二次函数模型解决实际问题的过程,进一步体会建模思想,获得用数学方法解决实际问题的经验,培养学生的应用意识.
5.通过探究活动体验数学活动充满着探索与创新,培养学生的创新精神和实践能力,感受数学的严谨性.
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二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一,学生在学习了一次函数、反比例函数的基础上,学习的又一类重要函数,是函数内容的继续和延伸,是对函数及其应用的深化和提高,也是学习其他初等函数的基础.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,二次函数的图像也是人们最为熟悉的曲线之一.同时,二次函数的相关性质也是解决最优化问题的理论基础,它与一元二次方程、三角形等知识综合在一起,是初中许多知识的总结.二次函数作为重要的数学模型,在解决有关实际问题中发挥了重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力.
本章内容从实际情景入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,二次函数无论是表达式还是函数图像、性质以及应用都要比前面学习的正比例函数、一次函数和反比例函数复杂,所以数学思想和方法在本章体现得尤为重要,待定系数法、配方法得到进一步理解,函数思想、模型思想和数形结合思想得到进一步提升.对于某些解决实际问题的安排,目的是加强二次函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生的数学应用意识.
【重点】
了解二次函数的意义;理解二次函数的图像及其性质;能根据二次函数的图像与性质解决有关实际问题;体会二次函数与一元二次方程的关系.
【难点】
理解二次函数的图像及其性质;理解二次函数与一元二次方程的关系;能应用二次函数的性质解决实际问题.
1.本章是初中阶段函数内容的最后一章,也是代数部分的最后一章,因此在教学中要重视知识之间的联系,如对正比例函数、一次函数、反比例函数的表达式、图像及性质进行比较,体会二次函数和一元二次方程的关系等,提高学生综合运用知识解决数学问题的能力.
2.在教学过程中重视数学思想和方法的渗透,类比一次函数、反比例函数的探究方法,探究二次函数的概念、图像和性质.用配方法将二次函数表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,进而确定二次函数图像的顶点坐标和对称轴.让学生经历二次函数的图像、性质的形成过程,体会数形结合思想在数学中的应用.由不共线三点的坐标确定二次函数表达式,是对待定系数法的进一步认识.用二次函数解决实际问题,体会建模思想是将实际问题转化为数学问题的重要思想.
3.在教学中重视二次函数在数学中的应用,常常体现在对数学知识的应用上,二次函数模型是非常重要的模型,应用十分广泛.因此,让学生亲身经历把实际问题抽象为数学问题的过程,进一步体会建模思想,培养应用意识.
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4.在教学过程中,要努力营造学生自主探究、合作交流的环境,在探究二次函数的概念、图像、性质、应用及二次函数与一元二次方程的关系的过程中,给学生充足地操作、观察、思考、交流、归纳总结等数学活动的空间和时间,让他们亲身经历知识的形成过程,让学生通过思考感悟思想方法,体验成功的快乐.
30.1二次函数
1课时
30.2二次函数的图像和性质
3课时
30.3由不共线三点的坐标确定二次函数
1课时
30.4二次函数的应用
3课时
30.5二次函数与一元二次方程的关系
1课时
回顾与反思
1课时
30.1 二次函数
1.经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义.
2.会确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.
1.经历从实际问题中建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会数学与生活密切相关.
2.通过进一步体验用数学方法描述变量之间的数量关系,提高学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.
3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
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1.通过对一些实际问题中两个变量之间关系的探究,进一步增强用数学方法解决实际问题的能力.
2.让学生经历二次函数概念的形成过程,提高学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力.
3.通过探索实际问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.
【重点】
理解二次函数的意义;能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.
【难点】
经历建立二次函数模型的过程,体验用二次函数表示变量之间的关系.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P26~27.
导入一:
出示投篮图片:
【导入语】 如果一种函数的图像就如投出的篮球在空中划过的一条抛物线,我们一定会觉得很有趣.这种函数就是这章要学习的二次函数.
[设计意图] 通过欣赏图片,让学生初步感受二次函数的存在以及二次函数的图像是一条抛物线,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.
导入二:
思考:
1.什么是一次函数、反比例函数?
2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么关系?y是x的函数吗?这个函数是我们前面学习过的函数吗?
3.我们探究一次函数、反比例函数时的思路是什么?
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[设计意图] 通过复习一次函数、反比例函数的概念及探究思路,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.
[过渡语] 我们学习一次函数、反比例函数时,在实际问题中抽象出函数的概念,然后研究它们的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——二次函数.
一起探究
(课件展示)
1.如图所示,用规格相同的正方形瓷砖铺成矩形地面,其中,横向瓷砖比纵向瓷砖每排多5块,矩形地面最外面一圈为灰色瓷砖,其余部分全为白色瓷砖.设纵向每排有n块瓷砖.
思路一
教师引导学生思考并回答:
(1)设灰色瓷砖的总数为y块.
①用含n的代数式表示y,则y= .
②y与n具有怎样的函数关系?
(2)设白色瓷砖的总数为z块.
①用含n的代数式表示z,则z= .
②z是n的函数吗?说说理由.
【师生活动】 学生在教师的引导下,独立思考,小组内交流答案,学生代表回答问题后,教师点评并分析建立函数模型的关键是找等量关系.
(板书)
(1)y=4n+6,一次函数.
(2)z=n2+n-6,z是n的函数.
思路二
思考:
(1)在实际问题中抽象出函数关系的关键是什么?
(2)设灰色瓷砖的总数为y块,白色瓷砖的总数为z块,你能分别找到y与n,z与n之间的等量关系吗?
(3)你能根据以上等量关系分别用含n的代数式表示y,z吗?
(4)y与n、z与n之间是函数关系吗?如果是,是什么函数关系?如果不是,请说明理由.
【师生活动】 学生独立思考后,小组讨论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示讨论结果,教师及时补充并归纳建立函数模型的关键是找等量关系.
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(板书)
(3)y=4n+6,一次函数.
(4)z=n2+n-6,z是n的函数.
(课件展示)
2.某企业今年第一季度的产值为80万元,预计产值的季平均增长率为x.
思路一
教师引导分析:
(1)设第二季度的产值为y万元,则y= .设第三季度的产值为z万元,则z= .
(2)y,z都是x的函数吗?它们的表达式有什么不同?
【师生活动】 学生在教师的引导下思考并回答问题,教师点评并板书.
(板书)
(1)y=80x+80,一次函数.
(2)z=80x2+160x+80,z是x的函数.
思路二
思考:
(1)设第二季度的产值为y万元,第三季度的产值为z万元,你能用含x的代数式分别表示y,z吗?
(2)y,z都分别是x的函数吗?
【师生活动】 学生思考后,小组内交流答案,学生板书,教师点评.
(板书)
(1)y=80x+80,一次函数.
(2)z=80x2+160x+80,z是x的函数.
[设计意图] 通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做好铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.
形成概念
观察下面两个函数:
z=n2+n-6,z=80x2+160x+80,
思考:
(1)这两个函数与我们学过的函数有什么不同?
(2)这两个函数的自变量x的最高指数分别是多少?
(3)你能说出函数表达式右边的二次项,一次项,常数项及二次项系数,一次项系数吗?
(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?
【师生活动】 学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳二次函数的概念.
(课件展示)
一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y为x的二次函数.其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.
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思考:
(1)二次项系数能不能为0?一次项系数和常数项呢?为什么?
(2)如何判断一个函数是不是二次函数?
(3)二次函数的一般形式与一元二次方程的一般形式有什么关系?
(4)函数y=x2+2x+,y=-x2+x+5,y=3x2,y=-x2+6是不是二次函数?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,学生回答问题后,师生共同归纳二次函数的特征:
(课件展示)
(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.
[设计意图] 通过老师设计的问题串,学生观察、思考、交流,类比已学过的函数,抽象出二次函数的本质特征,归纳出二次函数的一般形式,学生经历概念的形成过程,达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.
大家谈谈
(课件展示)
1.请分别指出上面出现的二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
2.谈谈一次函数、反比例函数、二次函数有什么不同.
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表回答,其他学生补充,教师点评.
[设计意图] 通过思考回答问题,加深对二次函数有关概念的理解和掌握,与前面学过的函数的概念相比较,让学生学会总结前后知识的联系.
例题讲解
[过渡语] 我们通过实例归纳总结了二次函数的定义,试试能不能解决下列问题..
(课件展示)
例1 (补充)若y=(m+1)是二次函数,则m的值为 .
【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案,教师讲解分析过程并强调易错点.
解:∵二次函数的自变量x的最高指数是2,∴m2-6m-5=2,由二次项系数不为0,得m+1≠0,解得m=7.
【易错点】 常忽略二次项系数不为0.
做一做
新学期开学,全班同学见面时相互亲切握手问候.设全班有m名同学,每两人之间都握手一次,用y表示全班同学握手的总次数.
(1)请用含m的代数式表示y,说明y是m的二次函数,指出该函数中对应的a,b,c的值.
(2)若全班有45名同学,则这样握手的总次数是多少?
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教师引导分析:
全班共有 人,每个人要与 人握手一次,则每两人之间都握手一次共握手 次,则y与m的函数关系式为 .
【师生活动】 学生在教师的引导下思考,然后独立完成解答,小组内交流答案,学生展示结果后教师点评.
[设计意图] 通过例题加深对二次函数的有关概念的理解和掌握,同时体会在实际问题中建立函数模型,通过等量关系列函数表达式、简单例题的分析与解答,既帮助学生对概念有了完整的认识,又让学生体验到成功的快乐,激发学生学习数学的兴趣.
[知识拓展] 1.根据实际问题列二次函数的表达式应注意:
(1)正确辨别自变量与因变量;(2)确保找到正确的等量关系;(3)将列出的关系式整理成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式;(4)确保自变量有意义.
2.在二次函数y=ax2+bx+c中,必须注意限制条件a≠0.
3.任何一个二次函数都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的形式,因此把y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)叫做二次函数的一般式.
4.当a≠0时,y=ax2+bx+c才是二次函数.当a=0时,y=bx+c,若b≠0,则它是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数.
5.在y=ax2+bx+c(a≠0)中,x的取值范围是全体实数.
6.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)与一元二次方程有着密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么就将其转化成一元二次方程了.
1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数叫做二次函数.
2.二次函数满足的条件:(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x取任意实数,但在实际问题中要有实际意义.
4.根据实际问题写出函数表达式:认真分析题意,找到题目中的等量关系,根据等量关系列函数表达式.
1.下列各式中,y是x的二次函数的是 ( )
A.y=2x+1 B.y=-2x+1
C.y=x2+2 D.y=ax(a≠0)
解析:选项A,B,D中自变量x的最高指数都是1,是一次函数,只有选项C符合二次函数的定义.故选C.
2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则它的二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是 ( )
A.1,-3,5 B.1,3,5
C.5,3,1 D.5,-3,1
解析:二次函数中二次项系数为5,一次项系数为-3,常数项为1.故选D.
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3.若y=(m+2) 是二次函数,则m的值为 .
解析:根据二次函数的定义,得m2-2=2,且m+2≠0,解得m=2.故填2.
4.若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)之间的关系式为s=5t2+2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为 .
解析:把t=4代入函数表达式,得s=5×16+2×4=88.故填88米.
5.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.
(1)正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系;
(2)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;
(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系;
(4)某产品年产量为30台,计划今后每年比上一年的产量增长x%,试写出两年后的产量y(台)与x的函数关系式.
解:(1)S=6a2,二次函数.
(2)y=π=,二次函数.
(3)y=10000+10000×1.98%x=10000+198x,一次函数.
(4)y=30(1+x%)2,二次函数.
30.1 二次函数
一起探究
形成概念
大家谈谈
例题讲解
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第27页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第28页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列函数是二次函数的是 ( )
A.y=2x2+9 B.y=mx2+2x-1
C.y=2x2++1 D.y=
2.若y=(m2+m)-1是关于x的二次函数,则 ( )
A.m=-1或m=3 B.m≠-1且m≠0
C.m=-1 D.m=3
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3.二次函数y=2x2+2x-4的二次项系数与常数项的和为 ( )
A.1 B.-2 C.7 D.-6
4.若函数y=4x2+1的函数值为5,则自变量x的值应为 ( )
A.1 B.-1 C.±1 D.
5.二次函数y=2x(x-1)的二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .
6.如果函数y=(a-1)x2-ax+6是关于x的二次函数,那么a的取值范围是 .
7.菱形的两条对角线长度的和为26 cm,则菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式为 .
8.若 y=(m+1)-2x+3 是y关于x的二次函数,求m的值.
9.在如图所示的一张长、宽分别为 50 cm 和 30 cm 的矩形铁皮的四个角上,各剪取一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子,小正方形的边长为 x cm,长方体铁皮箱的底面积为 y cm2.
(1) 求 y 与 x 之间的函数表达式;
(2) 写出自变量 x 的取值范围;
(3)当 x=5 cm时,求铁皮箱的底面积.
【能力提升】
10.下列函数关系中,可以看成二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是 ( )
A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行使的时间的关系
B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系
C.矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系
D.圆的周长与半径之间的关系
11.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现: 这种商品的销售量m(件)与每件商品的销售价x(元)满足一次函数关系m=162-3x,试写出商场销售这种商品的日销售利润y(元)与每件商品的销售价x(元)之间的函数关系式,y是x的二次函数吗?
【拓展探究】
12.如图所示,用同样规格的正方形白色瓷砖铺设矩形形状的地面, 请观察下列图形并解答有关问题:
(1)在第n个图形中,每一横行共有 块瓷砖,每一竖列共有 块瓷砖(均用含n的代数式表示);
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中 的n的函数关系式;
(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求n的值.
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【答案与解析】
1.A(解析:B中的函数当m=0时不是二次函数;C,D中的函数表达式的右边不是整式的形式,所以不是二次函数.故选A.)
2.D(解析:由题意,得m2-2m-1=2且m2+m≠0,解得m=3.故选D.)
3.B(解析:∵二次项系数为2,常数项为-4,∴2+(-4)=-2.故选B.)
4.C(解析:由题意有4x2+1=5,解得x=±1.故选C.)
5.2 -2 0(解析:化简可得y=2x2-2x,所以二次项系数为2,一次项系数为-2,常数项为0.)
6.a≠1(解析:因为二次函数中二次项系数不为0,所以a-1≠0,即a≠1.)
7.S=-x2+13x(解析:根据题意可得菱形的另一条对角线的长为26-x,由菱形的面积公式可得S=x(26-x)=-x2+13x.)
8.解:∵ y=(m+1)-2x+3 是y关于x的二次函数,∴m+1≠0且m2+1=2,∴m=1.
9.解:(1)根据题意,有y=(50-2x)(30-2x)=4x2-160x+1500. (2)根据实际意义2x0,所以B错误;C中由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知,my2.故填y3>y1>y2.
第课时
1.能用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此确定二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2.会用描点法画函数y=ax2+bx+c的图像,并能应用函数的图像和性质解决有关问题.
3.能用顶点式求二次函数的表达式.
1.通过操作、观察、交流、归纳等探索活动,达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.
2.让学生经历从特殊到一般的探索过程,体会数形结合思想、分类讨论思想,学会合情推理.
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3.通过二次函数的图像和性质解决有关问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
1.通过探究函数性质,培养学生的探索精神,增强自主学习的信心,享受成功的快乐.
2.通过小组讨论,合作交流,共同归纳结论,培养学生合作意识和团队精神,同时培养学生的数学思维能力.
3.通过探究二次函数的性质及应用,形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.
【重点】
探究二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质的过程;确定二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标、对称轴,并画出函数图像;运用顶点式求函数表达式.
【难点】
用配方法推导二次函数的顶点式;运用二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质解决有关问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P35~37.
导入一:
复习提问:
(课件展示)
1.抛物线y=a(x-h)2+k的性质:
(1)当a>0时,开口向 ;当a0,当x=h时,有最小值,最小值是 ;若a0,当xh时,y随x的增大而 ;若a0 ,则抛物线开口向上,顶点坐标是.
当x-时,y随x的增大而增大;当x=-时,y取得最小值,且y最小=;
若a0)
y=ax2
+bx+c
(a0)
y=ax2+bx+c
(a-时,y随x的增大而增大;当x-时,y随x的增大而减小;当xy1 B.y3>y1=y2
C.y1>y2>y3 D.y1=y2>y3
5.(2016·甘肃中考)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,对称轴是直线 x=-1,有以下结论:①abc>0;②4ac2.其中正确的结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.将二次函数y=2x2+6x+3化为y=a(x-h)2+k的形式是 .
7.把抛物线y=ax2+bx+c先向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线y=x2-2x-2,那么a= ,b= ,c= .
8.把下列二次函数的表达式通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式,并写出其图像的顶点坐标与对称轴.
(1)y=x2+6x+10;
(2)y=-2x2-5x+7.
【能力提升】
9.抛物线y=x2-(b-2)x+3b的顶点在y轴上,则b的值为 .
10.二次函数y=4x2-mx+5,当x-2时,y随x的增大而增大,则当x=1时,y的值是 .
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11.如图所示,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于A,B两点,且过点C(5,4).
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;
(2)请你设计一种平移方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的表达式.
【拓展探究】
12.如图所示,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上的A,B两点.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的表达式,并指出平移了多少个单位长度?
【答案与解析】
1.A(解析:因为y=x2-6x+5=(x-3)2-4,所以顶点坐标为(3,-4).故选A.)
2.A(解析:抛物线的对称轴为x=-=-=.故选A.)
3.C(解析:抛物线开口向下,所以a0,所以b>0,故①错误;抛物线与y轴交于正半轴上,所以c>0,故②正确;当x=-1时,a-b+c1时,y随x的增大而减小,所以y2>y3,由抛物线的对称性可得,P1与P2关于x=1对称,所以y1= y2,故选D.)
5.C(解析:由题意得a2,故④正确.故选C.)
6.y=2-(解析:-=-,=-,所以抛物线的顶点坐标为,所以y=2-.)
7.1 2 3(解析:y=x2-2x-2=(x-1)2-3,顶点坐标为(1,-3),该点先向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度得点的坐标为(-1,2),所以原抛物线为y=(x+1)2+2,即y=x2+2x+3,所以a=1,b=2,c=3.)
8.解:(1)y=(x+3)2+1,顶点坐标为(-3,1),对称轴是直线x=-3. (2)y=-2+,顶点坐标为,对称轴是直线x=-.
9.2(解析:∵顶点在y轴上,∴=0,∴b=2.)
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10.25(解析:由函数的增减性知抛物线的对称轴为直线x=-2.又x=-=-=-2,解得m=-16,所以二次函数的表达式为y=4x2+16x+5,故当x=1时,y=25.)
11.解:(1)由C(5,4)满足y=ax2-5ax+4a的表达式,得a=1.∴y=x2-5x+4=-.∴顶点P的坐标为. (2)(答案不唯一)如将抛物线先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到抛物线的表达式为y=x2+x+2.
12.解:(1)过C点作x轴的垂线,垂足为E,如图所示,由抛物线的对称性可知AE=BE.在Rt△AOD和Rt△BEC中,∴Rt△AOD≌Rt△BEC.∴OA=EB=EA.设菱形的边长为2m,在Rt△AOD中,m2+()2=(2m)2,解得m=1.∴DC=2,OA=1,OB=3.∴A,B,C三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2,). (2)设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+,由A点坐标满足抛物线的表达式可得a=-.∴抛物线的表达式为y=-(x-2)2+. (3)设抛物线的表达式为y=-(x-2)2+k,由抛物线经过D(0,),可得k=5.所以平移后抛物线的表达式为y=-(x-2)2+5.平移了(5-=4)个单位长度.
本节课通过对配方法及函数y=a(x-h)2+k的图像与性质的复习,让学生巩固旧知识的同时,为本节课研究二次函数一般式的图像和性质做好铺垫.教师引导学生思考如何将二次三项式配方,然后让学生通过动手操作、小组合作交流等活动,共同将二次函数的一般式化成顶点式,从而师生共同归纳总结出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质.通过例题讲解,让学生熟练掌握将二次函数的一般式化成顶点式的方法,并能够画出函数图像,同时进一步掌握利用待定系数法求函数表达式.在教学设计中注重培养学生的数形结合思想、转化思想、类比思想等,在整个探究过程中,学生发挥着主体作用,教师只是引导者的角色,学生思维活跃,参与意识强,课堂教学效果较好.
本节课重点是用配方法将二次函数的一般式化成顶点式,并由此确定二次函数的图像和性质.在探究用配方法将二次函数的一般式化成顶点式的过程中,学生对配方法的理解有一定难度,给学生交流的时间短,可以设计几个练习进行针对性训练.同时在探究二次函数的性质及例题讲解中,教师没有放开手脚,给学生思考、交流的时间短.在以后的教学中,注重数学思想的渗透,让学生多参与活动,真正成为课堂的主人.
本节课通过复习对二次三项式的配方,为探究将二次函数的一般式化成顶点式做好铺垫,在教学中要设计针对性练习,
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让学生熟练掌握将二次函数的一般式化成顶点式的基本方法.探究二次函数y=ax2+bx+c的有关性质时,要给学生足够的时间进行思考、交流,体会数形结合思想的应用.例题讲解的设计以学生活动为主,教师点评精讲,对题型的解题思路进行归纳总结,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生学习数学的兴趣.
练习(教材第37页)
1.解:(1)对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-2),开口向上. (2)对称轴为直线x=-,顶点坐标为,开口向下.
2.解:函数图像如图所示.当x=-2时,y=14;当x=-1时,y=7.所以x=-2的对应的函数值较大.
习题(教材第38页)
A组
1.解:(1)∵y=x2-2x+8=(x-1)2+7,∴抛物线y=x2-2x+8的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,7),开口向上. (2)对于y=-5x2+3x-2,∵x=-=,y==-,∴抛物线y=-5x2+3x-2的对称轴为直线x=,顶点坐标为,开口向下.
2.解:(1)直线x=1 (1,3) (2)画出的函数图像如图所示. (3)y10.由对称轴x=-0,所以一次函数y=bx+a的图像经过第一、二、三象限,不经过第四象限.故选D.
(2015·益阳中考)若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为 ( )
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A.m>1 B.m>0
C.m>-1 D.-10,解得m>0.所以m的取值范围是m>0.故选B.
(2015·上海中考)如果将抛物线y=x2+2x-1向上平移,使它经过点A(0,3),那么所得新抛物线的表达式是 .
解析:将抛物线y=x2+2x-1=(x+1)2-2向上平移,得y=(x+1)2+c.因为经过点A(0,3),所以3=1+c,解得c=2.所以新抛物线的表达式是y=(x+1)2+2=x2+2x+3.故填y=x2+2x+3.
(2015·黑龙江中考)如图所示,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是抛物线的对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)根据题意,得解得
所以抛物线的表达式为y=x2-4x+3.
(2)∵点A与点C关于x=2对称,∴连接BC与x=2交于点P,则点P即为所求,根据抛物线的对称性可知,点C的坐标为(3,0),y=x2-4x+3与y轴的交点为(0,3).
设BC所在直线的表达式为y=kx+m(k≠0),
根据题意,得解得
∴y=-x+3,
则直线BC与x=2的交点坐标为(2,1),
∴点P的坐标为(2,1).
30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数
1.知道不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.
2.了解用待定系数法求不共线三点的二次函数的表达式.
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1.通过引入待定系数法的过程,向学生渗透转化的思想,培养学生分析问题,解决问题的能力,提升数学思维意识.
2.通过列方程组求二次函数表达式,培养学生独立思考,勇于创新的精神和良好的学习习惯.
1.通过从“形”上看,不共线三点可以确定一条抛物线,从“数”上看,解方程组可以确定待定系数,让学生体会数形结合思想在数学中的应用.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
【重点】
用待定系数法求一次函数的表达式.
【难点】
灵活地根据条件选取恰当的表达式.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P39~40.
导入一:
(课件展示)
有一个抛物线形的拱形立交桥,这个桥拱的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它放在如图所示的直角坐标系里,若要在离跨度中心点M 5 m处垂直竖一根立柱支撑这个拱顶,立柱应取多长?
[过渡语] 你能解决这个实际问题吗?通过本节课的学习,我们就可以解决这个实际问题.
导入二:
复习提问:
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1.已知两点坐标,如何确定一次函数表达式?
(待定系数法)
2.用待定系数法求函数表达式的步骤是什么?
(设出表达式;根据条件列出方程或方程组;解方程(组)得出未知系数.)
3.二次函数有哪几种表达式?
(一般式:y=ax2+bx+c;顶点式:y=a(x-h)2+k.)
[设计意图] 让学生渗透二次函数是刻画某些实际问题的模型,激发学生的学习兴趣,感受数学与生活紧密联系.通过复习待定系数法求函数表达式的步骤及二次函数的两种表达式,为灵活地根据条件选取恰当的表达式做好铺垫.
[过渡语] 已知两点的坐标,可以确定一次函数.如何由不共线三点的坐标来确定二次函数呢?让我们一起走进今天的课堂去探究!
共同探究
(课件展示)
已知不共线的三点A(1,3),B(2,-2),C(-1,1),怎样确定过这三点的二次函数的表达式呢?
思路一
教师引导,共同探究.
1.一次函数y=kx+b中有 个待定系数,需要 个点的坐标代入可以求解.
2.二次函数y=ax2+bx+c中有 个待定系数,需要 个点的坐标代入可以求解.
3.已知二次函数的图像经过三点,有三个独立条件,所以可设二次函数表达式为 ;
4.将三点坐标代入得方程组 ;
5.解这个方程组得 .
所以所求的函数表达式为 .
【师生活动】 学生在教师的引导下分析,然后独立完成解答过程,学生代表板书,教师点评规范解题格式.
(板书)
解:设所求的二次函数表达式为y=ax2+bx+c.
将A,B,C三点的坐标分别代入二次函数中,得
解得
所求二次函数的表达式为y=-2x2+x+4.
思路二
联想用待定系数法求一次函数表达式的过程,小亮想到了用待定系数法求二次函数的表达式:
(课件展示)
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将A,B,C三点的坐标分别代入二次函数中,得
解得
所求二次函数的表达式为y=-2x2+x+4.
思考:
用待定系数法求二次函数表达式的过程与求一次函数表达式的过程有哪些相同点与不同点?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,教师在巡视中帮助有困难的学生,小组代表回答,其他学生补充,教师点评归纳.
(课件展示)
相同点:都是先确定函数表达式的形式,将点的坐标代入,通过解方程组求待定系数.
不同点:求一次函数表达式需要列两个方程,求二次函数表达式需要列三个方程.
[设计意图] 类比用待定系数法求一次函数表达式的方法,探究已知抛物线上三点求二次函数表达式的方法,提高学生的计算能力.
例题讲解
(课件展示)
(教材第39页例)已知三点A(0, 1),B(1, 0),C(2, 3),求由这三点所确定的二次函数表达式.
【师生活动】 学生独立完成,小组内交流答案,小组代表板书,教师点评.
(板书)
解:设所求二次函数为y=ax2+bx+c.将A,B,C三点的坐标分别代入二次函数表达式中,得 解得
所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+1.
(补充)已知抛物线的顶点坐标为(2,-4),且与y轴交于点(0,3),求这个二次函数表达式.
教师引导:二次函数的顶点式为 ,顶点坐标为 ,
抛物线顶点为(2,-4)的二次函数表达式可设为 ,
点(0,3)在抛物线上,所以点的坐标满足函数表达式,所以将点(0,3)代入得 ,解得 ,所以所求函数表达式为 .
【师生活动】 教师引导学生思考回答后,学生独立完成解答过程,小组内交流答案并找学生代表板书,教师帮助有困难的学生,点评学生的解答.
(板书)
解:设所求二次函数为y=a(x-2)2-4.
由已知得函数图像经过点(0,3),所以4a-4=3.
解得a=.
所求二次函数表达式为y=(x-2)2-4,即y=x2-7x+3.
[设计意图] 通过教材例题,进一步巩固用待定系数法求二次函数表达式,补充例题让学生经历探究设顶点式求二次函数表达式的过程,掌握灵活地选用二次函数的不同形式求函数表达式的方法.
做一做
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(课件展示)
1.在直角坐标系中,已知点A,B,C,求由A,B,C三点所确定的二次函数表达式.
2.已知当x=1时,二次函数有最大值5,且图像过点(0,-3),求此函数表达式.
【学生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案,互相纠错.
3.你能解决课前导入中的实际问题吗?
(课件展示课前导入)
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流讨论,教师巡视过程中,帮助有困难的学生,学生代表展示,教师进行点评.
(板书)
解:由题意,知抛物线的顶点坐标为(20,16),
∴可设抛物线的关系式为y=a(x-20)2+16.
∵点B(40,0)在抛物线上,
∴0=a(40-20)2+16,
∴a=-. ∴y=-(x-20)2+16.
∵竖立柱的点为(15,0)或(25,0),
∴当x=15时,y=-×(15-20)2+16=15;
当x=25时,y=-×(25-20)2+16=15.
∴立柱应取15 m.
[设计意图] 由练习可以进一步理解和掌握求二次函数表达式的方法,通过解决课前导入的实际问题,达到整节课首尾呼应,让课堂教学设计结构完整,同时让学生体会数学在实际中的应用,培养学生应用数学意识,拓宽学生的思维,提高学生解决问题的能力.
[知识拓展] 1.求二次函数表达式的几种方法之间是相互联系的,而不是孤立的,不同的设法是根据不同的已知条件来确定的.
2.在选用不同的设法时,应具体问题具体分析,特别是当已知条件不是上述所列举的几种情形时,应灵活地选用不同的方法来求解,以达到事半功倍的效果.
1.求经过不共线的三点的抛物线的表达式,可以用待定系数法求解.
2.当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c;当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k.
1.(2016·甘肃中考)二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,下列正确的是 ( )
A.y=(x+1)2+2 B.y=(x-1)2+3
C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+4
解析:在二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k中,h=-=-=1,k===3.故选B.
2.(2016·河南中考)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 .
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解析:∵A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,∴代入得解得b=2,c=3,∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点坐标为(1,4).故填(1,4).
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(0,-5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=2,那么这个二次函数的表达式是 .
解析:设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,因为过A,B两点,将(0,-5),(5,0)代入,得又-=2,解得a=1,b=-4,c=-5,所以所求的表达式为y=x2-4x-5.故填y=x2-4x-5.
4.已知二次函数的图像的顶点坐标为(1,4),且其图像经过点(-2,-5),求此二次函数的表达式.
解: 设此二次函数的表达式为y=a(x-1)2+4,
∵其图像经过点(-2,-5),
∴a(-2-1)2+4=-5,
∴a=-1,
∴所求的二次函数的表达式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.
30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数
共同探究
例题讲解
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第40页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第40页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.二次函数y=ax2+k的图像经过点(1,-6)和(2,3),则此二次函数的表达式为 ( )
A.y=3x2-9 B.y=3x2+9
C.y=-3x2-9 D.y=-3x2+9
2.若二次函数的图像的顶点坐标为(2,-1),且抛物线过(0,3),则二次函数的表达式是 ( )
A.y=-(x-2)2-1
B.y=-(x-2)2-1
C.y=(x-2)2-1
D.y=(x-2)2-1
3.抛物线如图所示,根据图像可知,抛物线的表达式可能是 ( )
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A.y=x2-x-2
B.y=-x2-x+2
C.y=-x2-x+1
D.y=-x2+x+2
4.二次函数y=x2+px+q的最小值是4,且当x=2时,y=5,则p,q的值分别为 ( )
A.p=-2,q=15
B.p=-2,q=5或p=-6,q=13
C.p=-6,q=13
D.p=2,q=-5或p=6,q=-13
5.二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图像一定过点 ( )
A.(-1,-1) B.(1,-1)
C.(-1,1) D.(1,1)
6.如图所示的是函数y=-(x-h)2+k的图像,则其表达式为 .
7.试写出一个开口向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3 )的抛物线的表达式: .
8.已知二次函数的图像关于直线x=3对称,最大值是0,与y轴的交点是(0,-1),这个二次函数表达式为 .
9.抛物线y=ax2+bx+c经过(0,0),(12,0)两点,其顶点的纵坐标是3,求这个抛物线的表达式.
10.如图所示,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).
(1)求此抛物线的表达式;
(2)写出顶点坐标及对称轴;
(3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=3,求点B的坐标.
【能力提升】
11.已知二次函数y=x2+bx+c的图像过A(c,0),且关于直线x=2对称,则这个二次函数的表达式为 .
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12.(2016·北京中考)在平面直角坐标系xOy(如图所示)中,抛物线y=mx2-2mx+m-1(m>0)与x轴的交点为A,B(A在B的左边).
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点.
①当m=1时,求线段AB上整点的个数;
②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图像,求m 的取值范围.
【拓展探究】
13.(2016·河南中考)如图(1)所示,直线y=-x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4).抛物线y=x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点,经过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;
(3)如图(2)所示,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD'P',且旋转角∠PBP'=∠OAC,当点P的对应点P'落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.
【答案与解析】
1.A(解析:把点(1,-6)和(2,3)代入y=ax2+k得解得a=3,k=-9,所以二次函数表达式为y=3x2-9 .)
2.C(解析:设y=a(x-2)2-1,把(0,3)代入得4a-1=3,解得a=1,所以所求的二次函数的表达式为y=(x-2)2-1. )
3.D(解析:A,由图像的开口向下,故a0,对称轴为直线x=2,所以-=2,与y轴的交点坐标为(0,3 ),所以c=3,所以答案不唯一,只要满足要求即可.)
8.y=-x2+x-1(解析:∵二次函数的图像的对称轴是x=3,函数的最大值是0,∴该二次函数顶点坐标是(3,0),故设该二次函数的表达式为y=a(x-3)2(a为常数,且a≠0),∵与y轴的交点是(0,-1),∴把x=0,y=-1代入上式,得9a=-1,即a=-,∴这个二次函数表达式为y=-(x-3)2=-x2+x-1.)
9.解:因为点(0,0)与(12,0)关于抛物线的对称轴直线x=6对称,所以抛物线的顶点是(6,3).于是,设抛物线的表达式为y=a(x-6)2+3.因为该抛物线经过点(0,0),所以a(0-6)2+3=0,解得a=-.所以这个抛物线的表达式为y=-(x-6)2+3,即y=-x2+x.
10.解:(1)把(0,0),(2,0)代入y=x2+bx+c得解得∴抛物线的表达式为y=x2-2x. (2)∵y=x2-2x=(x-1)2-1,∴顶点为(1,-1),对称轴为直线x=1. (3)设点B的坐标为(x1,y1),则×2|y1|=3,解得y1=3或y1=-3.∵顶点纵坐标为-1,-3
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