2017年中考数学黄金知识点系列专题28与圆有关的角20170309128.doc

专题28 与圆有关的角 聚焦考点☆温习理解 一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 ‎1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。‎ ‎2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。‎ 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。‎ ‎3、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。‎ ‎4、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。‎ 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。‎ 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。‎ 名师点睛☆典例分类 考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.‎ ‎【例1】（2016山东济宁第5题）如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（　　）‎ A．40° B．30° C．20° D．15°‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 15‎ 考点：圆周角定理.‎ ‎【点睛】此题运用了圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ ‎【举一反三】‎ ‎（2016湖南娄底第6题）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（　　）‎ A．20° B．40° C．50° D．70°‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据圆周角定理可得∠B=∠D=40°，∠ACB=90°，所以∠CAB=90°﹣40°=50°．故答案选C．‎ 考点：圆周角定理.‎ 考点典例二、圆周角与垂径定理的关系 ‎【例2】（2016内蒙古巴彦淖尔第3题）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（　　）‎ A．40°，80°　　　　　　B．50°，100°　　　　　　C．50°，80°　　　　　　D．40°，100°‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 15‎ 考点：圆周角定理；垂径定理．‎ ‎【举一反三】‎ 如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如答图，连接OD，设⊙O的半径为r，‎ ‎∵∠BAD=30°，‎ ‎∴∠BOD=2∠BAD=60°.‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴DE=CE.‎ 在Rt△ODE中，OE=OB-BE=r-2，OD=r，‎ ‎∵，‎ ‎∴ ，解得r =4，‎ ‎∴OE=4-2=2，‎ ‎∴.‎ ‎∴CD=2DE=．‎ 考点典例三 圆周角与切线之间的关系 15‎ ‎【例3】（2016海南省第12题）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（　　）‎ A．20° B．25° C．40° D．50°‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ ‎【举一反三】‎ ‎（2016黑龙江哈尔滨第18题）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为　　　　　　．‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：令OC交BE于F，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AD⊥CD，∴BE∥CD，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD=EF，在Rt△ABE中，，∵OF⊥BE，∴BF=EF=4，∴CD=4．‎ 考点：1切线；2矩形的性质；3勾股定理.‎ 考点典例四 与圆周角有关的证明 15‎ ‎【例4】（2016湖北黄石第19题）（本小题满分7分）如图，⊙O的直径为，点在圆周上（异于），.‎ ‎（1）若=3，，求的值；‎ ‎（2）若是的平分线，求证：直线是⊙O的切线.‎ 第19题图 ‎【答案】(1)4;(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（2）证明：是的角平分线，‎ 又 ‎∽‎ 又，‎ 是⊙的切线. ‎ 解法二（2）证明：是的角平分线，‎ 圆的性质，‎ 即∥,又，是⊙的切线 考点：圆周角定理；勾股定理；切线的判定. ‎ ‎【举一反三】‎ 15‎ 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD．‎ ‎（1）求证：∠A=∠BCD；‎ ‎（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°. ∴∠DCB=∠A.‎ ‎（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切，理由如下：‎ 如答图，连接DO，‎ ‎∵DO=CO，∴∠1=∠2.‎ ‎∵DM=CM，∴∠4=∠3.‎ ‎∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°. ∴直线DM与⊙O相切．‎ 15‎ 课时作业☆能力提升 一．选择题 ‎1．（2016江苏常州第5题）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（　　）‎ A．cm　　　　　　B．5cm　　　　　　C．6cm　　　　　　D．10cm ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 考点：圆周角定理；勾股定理．‎ ‎2. （2016四川达州第7题）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　）‎ 15‎ A． ‎ B．2 C． D．‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．‎ ‎3. (2016湖北襄阳第8题)如图，I是∆ABC的内心，AI向延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC下列说法中错误的一项是( )‎ A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合 B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI熏合 C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合 D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合 ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 15‎ 考点：内心的概念；圆周角定理.‎ ‎4. （2016湖南娄底第6题）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（　　）‎ A．20° B．40° C．50° D．70°‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据圆周角定理可得∠B=∠D=40°，∠ACB=90°，所以∠CAB=90°﹣40°=50°．故答案选C．‎ 考点：圆周角定理.‎ ‎5. （2016内蒙古巴彦淖尔第3题）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（　　）‎ A．40°，80°　　　　　　B．50°，100°　　　　　　C．50°，80°　　　　　　D．40°，100°‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 考点：圆周角定理；垂径定理．‎ ‎6.如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（　　）‎ 15‎ ‎　 A． 26° B． 116° C． 128° D． 154°‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】 ‎ 试题分析：∵∠A=64°，‎ ‎∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．‎ 故选C．‎ 考点：圆周角定理．‎ 二．填空题 ‎1. （2016内蒙古包头第18题）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为　　　　　　．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 考点：切线的性质;锐角三角函数．‎ ‎2. （2016湖南湘西州第7题）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，那么圆周角∠C=　　　　　　．‎ 15‎ ‎【答案】35°．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可得∠C=∠AOB=×70°=35°．‎ 考点：圆周角定理.‎ ‎3. （2016山东枣庄第15题）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=　 　 . ‎ 第15题图 ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，连接BC，根据直径所对的圆周角为直角可得△ACB为直角三角形，在直角三角形△ACB中，AC=2，AB=6，由勾股定理可得BC=4，由圆周角定理可得∠A=∠D,所以tanD=tanA=.‎ 考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数.‎ ‎4. （2016贵州铜仁第16题）如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A= ．‎ 15‎ ‎【答案】72°．‎ ‎【解析】‎ 考点：圆周角定理．‎ ‎5. （2016浙江台州第13题）如图，△ABC的外接圆O的半径为2，∠C=40°，则的长是 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵∠C=40°，∴∠AOB=80°，∴的长是=．故答案为：．‎ 考点：三角形的外接圆与外心；弧长的计算．‎ ‎6. （2016广西来宾第18题）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=110°，则∠α= ．‎ ‎【答案】140°．‎ ‎【解析】‎ 15‎ 考点：圆周角定理．‎ ‎7. （2016广西河池第16题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，∠ABC=50°，则∠BDC的大小是 ．‎ ‎【答案】40°．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵∠ABC=50°，∴的度数为100°，∵AB为直径，∴的度数为80°，∴∠BDC=×80°=40°，故答案为：40°．‎ 考点：圆周角定理．‎ ‎8.（2016青海第10题）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB=50°，则∠ADC=　　　　　　．‎ ‎【答案】40°．‎ ‎【解析】‎ 15‎ 考点：圆周角定理．‎ ‎9.（2016重庆A卷第15题）如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB= 度．‎ ‎【答案】60．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=120°×=60°，故答案为：60．‎ 考点：圆周角定理．‎ ‎10.（2016辽宁葫芦岛第15题）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，则∠BOD=　　　　　　度．‎ ‎【答案】140．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，可知四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补和可得∠C+∠A=180°，再由∠A=70°，∠BOD=2∠A，可得∠BOD=140°.‎ 考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．‎ 三、解答题 ‎1.（2016湖北黄石第19题）（本小题满分7分）如图，⊙O的直径为，点在圆周上（异于），.‎ ‎（1）若=3，，求的值；‎ ‎（2）若是的平分线，求证：直线是⊙O的切线.‎ 15‎ 第19题图 ‎【答案】(1)4;(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（2）证明：是的角平分线，‎ 又 ‎∽‎ 又，‎ 是⊙的切线. ‎ 解法二（2）证明：是的角平分线，‎ 圆的性质，‎ 即∥,又，是⊙的切线 考点：圆周角定理；勾股定理；切线的判定.‎ 15‎