专题42 位置与坐标
聚焦考点☆温习理解
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
3、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
4、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
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位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
7、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
8、点到坐标轴及原点的距离
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
（3）点P(x,y)到原点的距离等于
名师点睛☆典例分类
考点典例一、确定位置
【例1】(2015.北京市，第8题，3分)右图是利用平面直角坐标系画出的故故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向.表示太和门的点的坐标为(0，-1)，表示九龙壁的点的坐标为(4，1)，表示下列宫殿的点的坐标正确的是（ ）
A.景仁宫(4，2) B.养心殿(-2，3) C.保和殿(1，0) D.武英殿(-3.5，-4)
【答案】B
【解析】
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考点：点的坐标
【点睛】此题考查利用点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．
【举一反三】
1. 如图是某市区四个景点或单位（A为商店，C为工人文化宫，F为牌坊，G为市汽车站）的大致平面图．可将方格的边长看作是一个单位长度．
（1）请你建立适当的直角坐标系，分别写出这四个地点的坐标．
（2）在商店A处有游客甲和游客乙，甲按线路A→D→E→F步行到达牌坊；乙按A→B→C步行到达工人文化宫，若一个单位长度代表100米，你能比较一下两人哪个走的路程较多吗？说明理由．
【答案】（1）A（2，2），C（0，0），F（0，4），G（2.5，4）；（2）乙走的路程较多．
【解析】
试题分析：（1）以C为坐标原点建立平面直角坐标系，然后分别写出各点的坐标即可；
（2）根据平面直角坐标系求出甲、乙二人所走的路程，然后比较即可得解．
试题解析：（1）建立平面直角坐标系如图所示，A（2，2），C（0，0），F（0，4），G（2.5，4）；
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考点：坐标确定位置．
考点典例二、平面直角坐标系
【例2】（2016四川甘孜州第5题）在直角坐标中，点P（2，﹣3）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵在直角坐标中，点P（2，﹣3），∴点P在第四象限，故选D．
考点：点的坐标；探究型．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-， +）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．平面直角坐标系是初中数学的基础内容之一，确定点的位置的关键是理解各象限横坐标与纵坐标的符号特征，还有x轴、y轴上的点的坐标特征等.
【举一反三】
（2016湖南衡阳第15题）点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是 ．
【答案】x＞2．
【解析】
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试题分析：已知点P（x﹣2，x+3）在第一象限，根据第一象限点的坐标特征可得x-2＞0，x+3＜0，解得x＞2．
考点：坐标系上点的特征.
考点典例三、图形的坐标变化与对称
【例3】（2016湖北武汉第6题）已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（ ）
A．a＝5，b＝1 B．a＝－5，b＝1
C．a＝5，b＝－1 D．a＝－5，b＝－1
【答案】D.
考点：关于原点对称的点的坐标．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
【举一反三】
1．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（-4，6），B（-6，2），E（2，1），则点D的坐标为（ ）
A．（-4，6） B．（4，6） C．（-2，1） D．（6，2）
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y），进而得出答案．
试题解析：∵△ABC与△DEF关于y轴对称，A（-4，6），
∴D（4，6）．
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故选：B．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
2.（眉山）点P（3，2）关于y轴的对称点的坐标是_________．
【答案】（﹣3，2）．
【解析】
试题分析：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n），所以点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2）．故答案为：（﹣3，2）．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
考点典例四、点的坐标规律
【例4】（株洲）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（ ）
A．（66，34） B．（67，33） C．（100，33） D．（99，34）
【答案】C．
考点：坐标确定位置；规律型：点的坐标．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，点的坐标的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键．解规律探究性问题，一般都应先就有限个点进行分析，寻找规律，再推广到一般.
【举一反三】
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（2016四川甘孜州第23题）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为 ．
【答案】（8，0）．
考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. （2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第6题）将点A（3，2）向左平移4个单位长度得点A′，则点A′关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【答案】D．
【解析】
试题分析：将点A（3，2）向左平移4个单位长度得点A′，可得点A′的坐标为（﹣1，2），所以点A′关于y轴对称的点的坐标是（1，2），故选D．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．
2. (湖北孝感）在平面直角坐标系中，把点向右平移8个单位得到点，再将点绕原点旋转 得到点，则点的坐标是w. ( )
A. B． C． D．或
【答案】D.
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【解析】
试题分析：向右平移8个得（3，3），再旋转90°，分顺时针和逆时针两种，顺时针旋转得时候得到答案为，逆时针旋转的时候答案为.
故选：D.
考点：坐标系.
2. （2016河南第8题）如图，已知菱形OABC的顶点O（0,0），B（2,2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为【 】
（A）（1，-1） （B）（-1，-1）
（C）（，0） （D）（0，-）
【答案】B.
考点：规律探究题.
3. （2016湖南长沙第8题）若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，0）
【答案】C.
【解析】
试题分析：已知点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减的平移规律可得，点B的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为3﹣4=﹣1，所以B的坐标为（﹣1，﹣1）．故答案选C.
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考点：坐标与图形变化﹣平移.
4. （凉山州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【答案】C．
考点：坐标与图形变化-对称．
5.若点M（x，y）满足（x+y）2=x2+y2-2，则点M所在象限是（ ）
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限 D．不能确定
【答案】A
【解析】
试题分析：利用完全平方公式展开得到xy=-1，再根据异号得负判断出x、y异号，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
试题解析：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∴原式可化为xy=-1，
∴x、y异号，
∴点M（x，y）在第二象限或第四象限．
故选：B．
考点：点的坐标；完全平方公式．
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6. （2016山东威海第18题）如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为 ．
【答案】﹣（）2015．
考点：规律探究题.
7.（辽宁丹东）如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△AnAn+1Bn均为等边三角形，点A1、A2、A3…An+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3…Bn在直线OD上依次排列，那么点Bn的坐标为 .
第16题图
【答案】 (3×,×)［也可写成(×, ×)］.
【解析】
试题分析：由题意得△OA1B1是等腰三角形，△OB1A2是30°的直角三角形，△A1B1A2是等边三角形，∵OA1
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的长为1，分别过B1，B2，B3作x轴的垂线，易得到B1，B2，B3的坐标：B1（，）B2（3，）B3(6,2),等等.发现横坐标和纵坐标都和2的整数指数幂有关，B1的坐标可写成（3×，×），B2的坐标可写成（3×，×），B3的坐标可写成（3×，×）于是Bn的坐标可写成（3×，×），也可变形写成(×, ×).
考点：1.点的坐标规律；2.等边三角形及30度角直角三角形边角关系.
二、填空题：
8. （湖南常德）已知A点的坐标为（－1,3），将A点绕坐标原点顺时针90°，则点A的对应点的坐标为
【答案】（3,1）
考点：坐标点的变换规律
9.（2016山东威海第17题）如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为 ．
【答案】（﹣8，﹣3）或（4，3）．
【解析】
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试题分析：直线y=x+1与x轴、y轴的交点坐标为A（﹣2，0），B（0，1），已知△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，所以==，即可求得O′B′=3，AO′=6，所以B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；位似变换.
10. （山东莱芜第16题）在平面直角坐标系中，以点、、为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△（点分别为点的对应点），然后以点为中心将△顺时针旋转，得到△（点分别是点的对应点），则点的坐标是 .
【答案】（11,7）
考点：平移与旋转变换
11. （2016湖南常德第16题）平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b）⊕（c，d）=（a+c， b+d），则称点Q（a+c，b+d）为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A（2，5），B（﹣1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是 ．
【答案】（1，8）.
【解析】
试题分析：已知以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，根据题意可得点C的坐标为（2﹣1，5+3），即C（1，8）
考点：阅读理解题.
12.（成都）已知菱形的边长为2，=60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形
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∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________．
【答案】（3 n－1，0）．
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