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2017年中考数学知识点专题46图形的相似

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2017年中考数学知识点专题46图形的相似

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专题46 图形的相似
聚焦考点☆温习理解
1、比和比例的有关概念:
(1)表示两个比相等的式子叫作比例式,简称比例.
(2)第四比例项:若 或a:b=c:d,那么d叫作a、b、c的第四比例项.
(3)比例中项:若 或a:b=b:c,b叫作a,c的比例中项.
(4)黄金分割:把一条线段(AB)分割成两条线段,使其中较长线段(AC)是原线段AB与较短线段(BC)的比例线段,就叫作把这条线段黄金分割.即AC2=AB•BC,AC= ;一条线段的黄金分割点有两个.
2.比例的基本性质及定理
(1)
(2)
(3)
3.平行线分线段成比例定理
(1)三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例;
(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边;
(4)平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
4.相似三角形.
相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形
相似比:相似三角形的对应边的比,叫做两个相似三角形的相似比.
5.相似三角形的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似;
(2)两角对应相等,两三角形相似;
(3)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;
(4)三边对应成比例,两三角形相似;
(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似;
(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似.
6.相似三角形性质
相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
7.相似多边形的性质
(1)相似多边形对应角相等,对应边成比例.
(2)相似多边形周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.
8.位似图形
(1)概念:如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样的图形叫做位似 图形.这个点叫做位似中心.
(2)性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

名师点睛☆典例分类
考点典例一、比例的基本性质、黄金分割
【例1】已知 ,则 的值是(  )
A.  B.  C.  D.
【答案】D.
 
故选D.
考点:比例的性质.
【点睛】此题考查了比例的性质.此题比较简单,解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形.
【举一反三】
若4y-3x=0,则              
【答案】 .
 
考点:比例的性质.
考点典例二、三角形相似的性质及判定
【例2】(2016湖南怀化第21题)如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.
(1)求证:△AEH∽△ABC;
(2)求这个正方形的边长与面积.
 
【答案】(1)详见解析;(2)正方形EFGH的边长为 cm,面积为 cm2.
【解析】
 考点:相似三角形的判定与性质.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.
【举一反三】
(2016湖北武汉第23题)(本题10分)在△ABC中,P为边AB上一点.
(1) 如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP•AB;
(2) 若M为CP的中点,AC=2,
① 如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;
② 如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.
           
【答案】(1)详见解析;(2)①BP= ;② .
 ∵∠BPM=∠CP0A,∠BMP=∠CAP0,
∴△AP0C∽△MPB,∴ ,
∴MP∙ P0C= AP0 ∙BP=x( -1+x),
解得x=
∴BP= -1+ = .
 
考点典例三、相似三角形综合问题
【例3】(2016湖北十堰第24题)如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.
(1)求证:∠ACD=∠B;
(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;
①求tan∠CFE的值;
②若AC=3,BC=4,求CE的长.
 
【答案】(1)详见解析;(2) .
 
 (2)解:①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,
∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,
∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°,
∴∠CEF=∠CFE=45°,
∴tan∠CFE=tan45°=1.
②在RT△ABC中,∵AC=3,BC=4,
由勾股定理得AB=5,
∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,
∴△DCA∽△DBC,
∴ ,设DC=3k,DB=4k,
∵CD2=DA•DB,
∴9k2=(4k﹣5)•4k,
∴k= ,
∴CD= ,DB= ,
 
考点:切线的性质;相似三角形的判定和性质;勾股定理.
【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用
【举一反三】
(2016湖北鄂州第22题)(本题满分10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,AO是△ABC的角平分线。以O为圆心,OC为半径作⊙O。
(1)(3分 )求证:AB是⊙O的切线。
(2)(3分)已知AO交⊙O于点E,延长AO交⊙O于点D, tanD= ,求 的值。
(3)(4分)在(2)的条件下,设⊙O的半径为3,求AB的长。
 
【答案】(1)详见解析;(2) ;(3) .
【解析】
试题分析:(1)过O作OF⊥AB于F,由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证;(2)连接CE,证明△ACE∽△ADC可得  = tanD= ;(3)先由勾股定理求得AE的长,再证明△B0F ∽△BAC,得 ,设BO=y ,BF=z,列二元一次方程组即可解决问题.
试题解析:⑴证明:作OF⊥AB于F
 
∵AO是∠BAC的角平分线,∠ACB=90º
∴OC=OF                                             
∴AB是⊙O的切线                                      
 
易证Rt△B0F∽Rt△BAC
得 ,
设BO =y   BF=z 
    
  即4z=9+3y,4y=12+3z
解得z=      y=  
 ∴AB= +4=  
考点:圆的综合题.
考点典例四、相似多边形与位似图形
【例4】(2016辽宁营口第15题)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上.以原点O为位似中心,画△A1B1C1,使它与△ABC的相似比为2,则点B的对应点B1的坐标是                              .
 
【答案】(4,2)或(﹣4,﹣2).
 考点:作图-位似变换.
【点睛】本题考查了位似的作图,熟练掌握网格结构,准确找出对应点的位置是解题的关键.
【举一反三】
(2016湖北十堰第5题)如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A′B′C′,已知OB=3OB′,则△A′B′C′与△ABC的面积比为(  )
 
A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:9
【答案】D.
 考点:位似变换.
课时作业☆能力提升
1. (2016黑龙江哈尔滨第9题)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是(  )
 
A.   B.    C.    D.
【答案】A.
【解析】
试题分析: ∵DE∥BC,∴ (平行线分线段成比 例).故选A.
考点:平行线分线段成比例.
2. (2016山东东营第8题)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(―3,6)、B(―9,一3),以原点O为位似中心,相似比为13,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是(    )
  A.(―1,2)            B.(―9,18)   
C.(―9,18)或(9,―18)    D.(―1,2)或(1,―2)
 
【答案】D.
 
考点:位似变换.
3. (2016湖南湘西州第17题)如图,在△ABC中,DE∥BC,DB=2AD,△ADE的面积为1,则四边形DBCE的 面积为(  )
 
A.3 B.5 C.6 D.8
【答案】D.
 考点:相似三角形的判定与性质.
4. (2016河北第15题)如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(    )
 
第15题图
 
【答案】C.
【解析】
试题分析:只要三个角相等,或者一角相等,两边成比例即可。选项C项不能判定两个三角形相似,故答案选C.
考点:相似三角形的判定.
5. (2016新疆生产建设兵团第7题)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,下列说法中不正确的是(  )
 
A.DE= BC B.   C.△ADE∽△ABC D.S△ADE:S△ABC=1:2
【答案】D.
 考点:相似三角形的判定及性质.
6. (2016湖北随州第7题)如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE:S△COA=1:25,则S△BDE与S△CDE的比是(  )
 
A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:25
【答案】B.
【解析】
试题分析:由DE∥AC可得△DOE∽△COA,又S△DOE:S△COA=1:25,根据相似三角形的性质可得DE:AC=BE:BC=1:5,所以BE:EC=1:4,即S△BDE与S△CDE的比是1:4,故答案选B.
考点:相似三角形的判定与性质.
7. (2016湖南湘西州第17题)如图,在△ABC中,DE∥BC,DB=2AD,△ADE的面积为1,则四边形DBCE的面积为(  )
 
A.3 B.5 C.6 D.8
【答案】D.
 考点:相似三角形的判定与性质.
8. (2016湖南衡阳第16题)若△ABC与△DEF相似且面积之比为25:16,则△ABC与△DEF的周长之比为      .
【答案】5:4.
【解析】
试题分析:已知△ABC与△DEF相似且面积之比为25:16,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比,可得△ABC与△DEF的相似比为5:4;即可得△ABC与△DEF的周长之比为5:4.
考点:相似三角形的性质.
9. (2016辽宁沈阳第16题)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位线,点M是边BC上一点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,DN与ME相交于点O.若△OMN是直角三角形,则DO的长是      .
 
【答案】 或 .
 考点:三角形综合题.
10. .(2016新疆第13题)如图所示,△ABC中,E,F分别是边A B,AC上的点,且满足AEEB=AFFC=12,则△AEF与△ABC的面积比是      .
 
【答案】1:9.
【解析】
试题分析:∵AEEB=AFFC=12,∴AEAB=AFAC=13.又∵∠A=∠A,∴△AEF∽△ABC,∴△AEF与△ABC的面积比是1:9.
考点:相似三角形的判定与性质.
11. (2016湖南娄底第14题)如图,已知∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是      .(只需写一个条件,不添加辅助线和字母)
 
【答案】∠B=∠DEF(答案不唯一,符合要求即可)
【解析】
试题分析:已知∠A=∠D,当∠B=∠DEF时,△ABC∽△DEF,因为AB∥DE时,∠B=∠DEF,添加AB∥DE时,使△ABC∽△DEF.
考点:相似三角形的判定.
12. (2016内蒙古巴彦淖尔第7题)如图,E为▱ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2:3,△BEF的面积为4,则▱ABCD的面积为(  )
 
A.30      B.27      C.14      D.32
【答案】A.
 考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
13.(凉山州)在▱ABCD中,M,N是AD边上的三等分点,连 接BD,MC相交于O点,则S△MOD:S△COB=     .
【答案】 或 .
 考点:1.相似三角形的判定与性质;2.平行四边形的性质.
14.(辽宁沈阳)如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的 ,则AB:DE=          .
 
【答案】2:3.
【解析】
试题分析:∵△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,∴△ABC∽△DEF,∴△ABC的面积:△DEF面积= = ,∴AB:DE=2:3,故答案为:2:3.
考点:位似变换.
15.(2016福建南平第21题)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=14,AC=7,D是BC上一点,BD=8,DE⊥AB,垂足为E,求线段DE的长.
 
【答案】4.
 考点:相似三角形的判定与性质.
16. (2016福建莆田第25题)若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上,其余两个顶点分别在三角形的另两条边上,则正方形称为三角形该边上的内接正方形,△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,各边上的高分别记为 , , ,各边上的内接正方形的边长分别记为 , , .
(1)模拟探究:如图,正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形,求证: ;
(2)特殊应用:若∠BAC=90 °, = =2,求 的值;
(3)拓展延伸:若△ABC为锐角三角形,b<c,请判断 与 的大小,并说明理由.
 
【答案】(1)证明见解析;(2) ;(3) > .
【解析】
试题分析:(1)先根据EH∥FG,判定△AEH∽△ABC,再根据相似三角形对应边成比例,列出比例式变形即可得到 ;
(2)先根据(1)中的结论得出 ,再将 =c和 =2代入变形,即可求得 的值;
 考点:三角形综合题;相似三角形的判定与性质;探究型;和差倍分;压轴题.
17.(山东泰安,第27题)(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点,且∠APD=∠B.
(1)求证:AC•CD=CP•BP;
(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.
 
【答案】(1)证明见试题解析;(2) .
【解析】
 考点:1.相似三角形的判定与性质;2.综合题.

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