专题47 方程（组）的应用
聚焦考点☆温习理解
1．列方程(组)解应用题的一般步骤
(1)审题；
(2)设未知数；
(3)找出包含未知数的等量关系式；
(4)列出方程（组；
(5)求出方程（组）的解；
(6)检验并作答．
2．各类应用题的等量关系
(1)行程问题：路程＝速度×时间；
相遇问题：两者路程之和＝全程；
追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程．
(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．
（3）几何图形问题
面积问题：体积问题还有其他几何图形问题：如线段、周长等
（4）增长率问题：
如果基数用a表示，末数用A表示，x表示增长率，时间间隔用n表示，那么增长率问题的数量关系表示为：a(1±x)n=A
(5)利润问题
利润=销售价-进货价
利润率=
销售价=（1+利润率）×进货价
（6）利息问题
利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
名师点睛☆典例分类
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考点典例一、一元一次方程的应用
【例1】(2016湖北襄阳第14题)王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋，分给朋友们品尝．如果每人分5袋，还余3袋；如果每人分6袋，还差3袋，则王经理带回孔明菜 袋．
【答案】33.
【解析】
试题分析：设品尝孔明菜的朋友有x人，依题意得,5x＋3＝6x－3，解得x＝6，所以孔明菜有5x＋3＝33袋.
考点：一元一次方程的应用.
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量（不等量）关系，列方程（不等式）求解．
(1)列方程解应用题，要抓住关键性词语，如共、多、少、倍、几分之几等，顺着题意来理清等量关系，可采用直接设未知数，也可以采用间接设未知数的方法，要根据实际情况灵活运用．(2)当要求的未知量有两个时，可以用字母x表示其中一个，再根据两个未知量之间的关系，用含x的式子表示另一个量，解方程后，再代入求出另一个未知量的值．
【举一反三】
（2016海南省第20题）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．
【答案】《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．
考点：一元一次方程应用.
考点典例二、二元一次方程组的应用
【例2】（2016浙江宁波第24题）（本题10分）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：
A
B
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进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套）
1.65
1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元。
（毛利润=（售价 - 进价）×销售量）
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少数量的1.5倍。若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
【答案】（1）该商场计划购进A品牌的教学设备20套，B品牌的教学设备30套；（2）A种设备购进数量至多减少10套．
答：A种设备购进数量至多减少10套．
考点：二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
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【举一反三】
（2016湖南常德第8题）某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ）
A．9天 B．11天 C．13天 D．22天
【答案】B.
考点：二元一次方程组的应用.
考点典例三、分式方程的应用
【例3】（2016山东淄博第16题）某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：设小李每小时分拣x个物件，则小王每小时分拣（x+8）个物件．根据小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间即可得方程．
考点：分式方程的应用.
【点睛】此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出方程，分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意．
【举一反三】
（2016山东济宁第14题）已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是 km/h．
【答案】80.
【解析】
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试题分析：设这辆汽车原来的速度是xkm/h，由题意得方程，解得x=80，经检验，x=80是原方程的解，所以这辆汽车原来的速度是80km/h．
考点：分式方程的应用.
考点典例四、一元二次方程的应用
【例4】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【答案】10，8．
考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．
【点睛】(1)现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程．(2)解出方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根．所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件．
【举一反三】
（2016湖北十堰第13题）某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是 ．
【答案】10%．
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考点：一元二次方程的应用．
课时作业☆能力提升
（2016浙江台州第8题）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为，∴共比赛了45场，∴，故选A．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
2.（2016广西来宾第10题）一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：由题意可得，，故选A．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组；探究型．
3.（2016青海第18题）穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
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A.B.C.D.
【答案】B．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
4.（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第5题）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315
C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315
【答案】B．
【解析】
试题分析：设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程560（1﹣x）2=315，故选B．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
5. .（2016福建南平第9题）闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改造为林地，则可列方程为（ ）
A．60﹣x=20%（120+x） B．60+x=20%×120
C．180﹣x=20%（60+x） D．60﹣x=20%×120
【答案】A．
【解析】
试题分析：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：60﹣x=20%（120+x）．故选A．
考点：由实际问题抽象出一元一次方程．
6.（2016辽宁葫芦岛第8题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
7.（2016内蒙古通辽第5题）现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件．设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．6.3（1+2x）=8 B．6.3（1+x）=8
C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据题意，得：，故选C．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程；增长率问题．
8. （2016四川南充第6题）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据题意可得：
．故选B．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
9（2016江苏盐城第16题）
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李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需 分钟．
【答案】40．
考点：二元一次方程组的应用．
10. （2016内蒙古巴彦淖尔第15题）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为_____________m．
【答案】2．
【解析】
试题分析：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（30﹣3x）（24﹣2x）=480，解得x1=20（舍去），x2=2．
即：人行通道的宽度是2m．故答案为：2．
考点：一元二次方程的应用；几何图形问题．
11．（2016新疆生产建设兵团第13题）某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．
【答案】10（1+x）2=13．
【解析】
试题分析：设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据“十一月份加工量=九月份加工量×（1+月平均增长率）2”，可列方程为：10（1+x）2=13.
考点：一元二次方程的应用.
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12.山东莱芜第15题，3分)某公司在年的盈利额为万元，预计年的盈利额将达到万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在年的盈利额为________万元．
【答案】220
考点：一元二次方程的应用（增长率问题）
13.（山东滨州第18题，4分）某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.
【答案】120
【解析】
试题分析：根据题意可设x缝制衣袖，y人缝制衣身，z人缝制衣领，则x+y+z=210，，解由它们构成的方程组可求得x=120人.
考点：三元一次方程组的应用
14.（2016贵州遵义第25题）上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招﹣﹣“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费．下表是流量与语音的阶梯定价标准．
【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600﹣500）=87元】
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（1）甲定制了600MB的月流量，花费48元；乙定制了2GB的月流量，花费120.4元，求a，b的值．（注：1GB=1024MB）
（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m的值．
【答案】（1）a的值为0.15元/MB，b的值为0.05元/MB；（2）m的值为0.08元/分钟．
考点：二元一次方程组的应用．
15. （2016湖南株洲第22题）某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等．
（1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？
（2）某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？
（3）如果一个同学综合评价要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？
【答案】（1）孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分；（2）不可能；（3）75．
【解析】
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考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
16. （2016广西来宾第24题）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
【答案】（1）100；（2）1190元．
【解析】
试题分析：（1）设该商家第一次购进机器人x个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答；
（2）设每个机器人的标价是a元．根据“全部销售完毕的利润率不低于20%”列出不等式并解答．
试题解析：（1）设该商家第一次购进机器人x个，依题意得：，解得x=100．
经检验x=100是所列方程的解，且符合题意．
答：该商家第一次购进机器人100个．
（2）设每个机器人的标价是a元．
则依题意得：（100+200）a﹣11000﹣24000≥（11000+24000）×20%，解得a≥1190．
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答：每个机器人的标价至少是1190元．
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
17. （2016辽宁葫芦岛第21题）在纪念中国抗日战争胜利70周年之际，某公司决定组织员工观看抗日战争题材的影片，门票有甲乙两种，甲种票比乙种票每张贵6元；买甲种票10张，乙种票15张共用去660元．
（1）求甲、乙两种门票每张各多少元？
（2）如果公司准备购买35张门票且购票费用不超过1000元，那么最多可购买多少张甲种票？
【答案】（1）甲、乙两种门票每张各30元、24元；（2）最多可购买26张甲种票．
考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
18. （2016湖南常德第21题）某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．
（1）这两次各购进这种衬衫多少件？
（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？
【答案】（1）第一批T恤衫进了30件，第二批进了15件；（2）第二批衬衫每件至少要售170元．
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考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用.
19. （2016广西桂林第24题）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？
【答案】(1) 甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；(2) 需筹集资金125000元．
【解析】
试题分析：（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，根据“
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用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同”列出方程，求解即可；（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，根据”该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品”列出方程，求解即可．
试题解析：（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，
根据题意得， =，
解得：x=60．
经检验，x=60是原方程的解．
答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；
（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，
根据题意得，m+3m=2000，
解得m=500，
即甲种物品件数为500件，则乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：70×500+60×1500=125000（元）．
答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000元．
考点：分式方程的应用；一元一次方程的应用．
20. （2016内蒙古包头第23题）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
【答案】（1）y=﹣3x2+54x；（2）横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
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考点：根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用．
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