专题50 函数的应用
聚焦考点☆温习理解
1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．
2．利用函数知识解应用题的一般步骤：
(1)设定实际问题中的变量；
(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；
(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；
(4)利用函数的性质解决问题；
(5)写出答案．
3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、一次函数相关应用题
【例1】（2016山东滨州第22题）星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈会老家探望爷爷奶奶，爸爸8：30骑自行车先走，平均每小时骑行20km；李玉刚同学和妈妈9：30乘公交车后行，公交车平均速度是40km/h．爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，路程均为40km/h．设爸爸骑行时间为x（h）．
（1）请分别写出爸爸的骑行路程y1（km）、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2（km）与x（h）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
（2）请在同一个平面直角坐标系中画出（1）中两个函数的图象；
（3）请回答谁先到达老家．
【答案】（1）y1=20x （0≤x≤2），y2=40（x﹣1）（1≤x≤2）；（2）详见解析；（3）同时到达老家．
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考点：一次函数的应用．
【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，画出图像，进而计算出临界点x的取值，再进一步解决问题即可．
【举一反三】
（2016新疆生产建设兵团第20题）暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？
（2）求线段AB对应的函数解析式；
（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？
【答案】(1)4h；（2）y=120x﹣40（1≤x≤3）；（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地120km远．
【解析】
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考点：一次函数的应用．
考点典例二、反比例函数相关应用题
【例2】某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．
(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万立方米)之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；
(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？
【答案】（1）y=（2≤x≤3）；（2）原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3．
【解析】
试题分析：（1）利用“每天的工作量×天数=土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系；
（2）根据“工期比原计划减少了24天”找到等量关系并列出方程求解即可；
试题解析：（1）由题意得，y=
把y=120代入y=，得x=3
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考点：反比例函数的应用；分式方程的应用．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
【举一反三】
（2016海南省第9题）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
【答案】D.
【解析】
试题分析： 由图像可知，该村人均耕地面积随总人口的增多而减少，故A错误；此函数为反比例函数，故B错误；设y=，把（50，1）代入，得k=50，∴y=，当x=2时，y=25，故C错误；由图可知当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷，故D正确.
考点：反比例函数的应用.
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考点典例三、二次函数相关应用题
【例3】(2016湖北襄阳第23题)(本小题满分10分)
襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元／件，且年销售量y(万件)关于售价x(元／件)的函数解析式为：
(1)若企业销售该产品获得自睥利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价(元/件)的函数解析式；
(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少?
(3)若企业销售该产品的年利澜不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．
【答案】(1)(2)当该产品的售价定为50元／件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元．(3)要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.
-2(x-50)2+800=750,解之，得
由函数W=-2(x-50)2+800的性质可知，
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当45≤x≤55时，W≥750．
当60≤x≤70时，W最大值为600＜750.
所以，要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.
考点：二次函数的应用.
【点睛】根据题意，建立二次函数模型，将实际问题转化为数学问题．根据二次函数的性质解决即可.
【举一反三】
2016湖北鄂州第23题）（本题满分10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10 x元（x为整数）。
⑴（2分）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式。
⑵（4分）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
⑶（4分）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人。问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？
【答案】(1)y=－x＋50;(2)每间房价定价为320元时，每天利润最大，最大利润为9000元.(3)20.
所以当x＝20，即每间房价定价为10×20＋120=320元时，每天利润最大，最大利润为9000元.
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⑶ 由
解得20 ≦ x ≦ 40)
当x=40时，这天宾馆入住的游客人数最少有: 2y=2 (－x＋50)=2 (－40＋50)=20 (人)
考点：二次函数的应用.
课时作业☆能力提升
1（2016浙江台州第16题）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．
【答案】1.6．
考点：二次函数的应用．
5. （2016重庆A卷第17题）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是 米．
【答案】175．
【解析】
试题分析：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，设乙的速度为m米/秒，则（m﹣2.5）×150=75，解得：m=3米/秒，则乙的速度为3米/秒，乙到终点时所用的时间为：1500÷3=500（秒），此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），甲距终点的距离是1500﹣1325=175（米）．故答案为：175．
考点：一次函数的应用．
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3. （2016内蒙古巴彦淖尔第10题）小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校公用10分钟．下列说法：
①公交车的速度为400米/分钟；
②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；
③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；
④小刚上课迟到了1分钟．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B．
∵小刚从下车至到达学校所用时间为5+10﹣12=3分钟，而小刚下车时发现还有4分钟上课，∴
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小刚下车较上课提前1分钟，故④错误；
故选B．
考点：一次函数的应用；数形结合．
4. （2016辽宁葫芦岛第10题）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y（km）与行驶时间t（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
①甲车的速度为50km/h ②乙车用了3h到达B城
③甲车出发4h时，乙车追上甲车 ④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D．
考点：一次函数的应用．
5. （2016辽宁沈阳第15题）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲，乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图表示，当甲车出发 h时，两车相距350km．
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【答案】.
考点：一次函数的应用.
6．（2016年福建龙岩第23题）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n（件）
n=50﹣x
销售单价m（元/件）
当1≤x≤20时，m=20+x
当21≤x≤30时，m=10+
（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)10或28天;(2);(3)15天时，最大利润为612.5元.
【解析】
试题分析：（1）分别把m=25代入m=20+x、求的x值即可；（2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可．（3）分别计算两种情况下最大值问题即可．
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试题解析：（1）①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+ x，解得x=10；②当21≤x≤30时，，解得x=28.经检验x=28是方程的解.答：第10天或第28天时该商品为25元/件．（2）①当1≤x≤20时，y=（m﹣10）n=（20+ x﹣10）（50﹣x）=﹣x2+15x+500，②当21≤x≤30时，.综上所述：.
（3）①当1≤x≤20时，由y=﹣x2+15x+500=-（x-15）2+.∵a=＜0，∴当x=15时，y最大值=，②当21≤x≤30时，由，可知y随x的增大而减小，∴当x=21时，y最大值=580元.∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．
考点：1二次函数；2反比例函数；3一次函数.
7. （2016黑龙江大庆第26题）由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y1（万m3）与干旱持续时间x（天）的关系如图中线段l1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2（万m3）与时间x（天）的关系如图中线段l2所示（不考虑其它因素）．
（1）求原有蓄水量y1（万m3）与时间x（天）的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量．
（2）求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y（万m3）与时间x（天）的函数关系式（注明x的范围），若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．
【答案】（1）y1=﹣20x+1200，x=20时，y1=800；（2）当0≤x≤20时，y=﹣20x+1200，当20＜x≤60时，y=5x+700.
15≤x≤40.
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试题解析：（1）设y1=kx+b，把（0，1200）和（60，0）代入到y1=kx+b得：， 解得，
∴y1=﹣20x+1200，当x=20时，y1=﹣20×20+1200=800，（2）设y2=kx+b，把（20，0）和（60，1000）代入到y2=kx+b中得：， 解得，∴y2=25x﹣500，当0≤x≤20时，y=﹣20x+1200，
当20＜x≤60时，y=y1+y2=﹣20x+1200+25x﹣500=5x+700，y≤900，则5x+700≤900，x≤40，
当y1=900时，900=﹣20x+1200，x=15，∴发生严重干旱时x的范围为：15≤x≤40．
考点：1一次函数的应用；2二元一次方程组.
8. （2016山东潍坊第23题)旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
【答案】（1）每辆车的日租金至少应为25元；（2）当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
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当x＞100时，
y2=（50﹣）x﹣1100
=﹣x2+70x﹣1100
=﹣（x﹣175）2+5025，
当x=175时，y2的最大值为5025，
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
考点：二次函数的应用．
9. （2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第25题）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
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【答案】（1）血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y=（4≤x≤10）；（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．
将（4，8）代入得：8=，
解得：a=32，
故反比例函数解析式为：y=；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y=（4≤x≤10）．
（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，
当y=4，则4=，解得：x=8，
∵8﹣2=6（小时），
∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．
考点：反比例函数的应用；一次函数的应用．
10. （2016湖北武汉第22题）（本题10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表：
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产品
每件售价（万元）
每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40＋0.05x2
80
其中a为常数，且3≤a≤5．
（1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
【答案】（1）y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；（2） 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）当3≤a＜3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7＜a≤5时，选择乙产品.
乙产品：y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）
∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大．
当x＝80时，y2max＝440（万元）．
∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；
（3）1180－200＞440，解得3≤a＜3.7时，此时选择甲产品；
1180－200＝440，解得a=3.7时，此时选择甲乙产品；
1180－200＜440，解得3.7＜a≤5时，此时选择乙产品．
∴当3≤a＜3.7时，生产甲产品的利润高；
当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；
当3.7＜a≤5时，上产乙产品的利润高．
考点：二次函数的应用;一次函数的应用.
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11. （2016湖南衡阳第23题）为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：
港口
运费（元/台）
甲库
乙库
A港
14
20
B港
10
8
（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．
【答案】（1）y=﹣8x+2560，x的取值范围是30≤x≤80；（3）1920，方案为把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．
考点：一次函数的应用．
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12. （2016湖北随州第23题）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．
时间x（天）
1
30
60
90
每天销售量p（件）
198
140
80
20
（1）求出w与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．
【答案】（1）w=；（2）销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元；（3）该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．
【解析】
试题分析：（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设
22
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），
∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），
∴，解得：，
∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），
当0≤x≤50时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；
当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．
综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=．
（2）当0≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，
∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，
∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．
当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，
∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，
∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．
22
考点：二次函数的应用；一元一次不等式的应用．
13.（2016四川南充第23题）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；
（2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？
【答案】（1）s=；（2）37.5min；（3）
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小明在步行过程中停留的时间需减少5min．
考点：一次函数的应用；分段函数；分类讨论．
14.（2016福建泉州第24题）某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．
（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；
（2）利用（1）的结论：
①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．
②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？
22
【答案】（1）函数关系式为y=﹣2x+112；（2）①每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润；②一次进货最多只能是1300千克．
考点：二次函数的应用．
15.（2016贵州铜仁第23题）
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2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）y=﹣10x+300（12≤x≤30）；（2）16；（3）当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．
考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值；最值问题．
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