第二十七章 相 似
本章主要学习图形的相似．
首先，教材中从生活实例入手，得到相似图形的概念，进一步得到相似多边形，研究了相似多边形的定义和有关性质，为研究相似三角形做了铺垫．
其次，从相似多边形引入相似三角形，反映了知识间的一种联系，同时也揭示了相似三角形所要研究的本质就是两个三角形边、角之间的关系．本部分内容的学习，应突出一种对应关系，即找两个相似三角形的对应边和对应角，关键是先找到其对应顶点．相似三角形的性质及其判定定理是否能正确地运用也是本节课的一个重点．教材中首先让学生选择合适的方法进行探索和归纳，然后运用相似三角形的性质，通过计算给出证明，并推导得到相似三角形的周长的比、面积的比与相似比的关系．
最后，教材中介绍了图形的位似．位似的两个图形具有一种特殊的位置关系，这种关系是通过位似中心来联系的，位似中心的位置决定了两个位似图形的位置，其关键是抓住对应点的连线都经过位似中心；而相似图形只研究它们的形状和大小，与这两个图形的位置无关．本节的位似只要求学生理解位似图形，利用位似将一个图形放大或缩小．
1．能够判断线段是否成比例，理解并掌握比例的几个性质以及平行线分线段成比例定理．
2．通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等、对应边成比例．
3．了解两个相似三角形的概念，探索两个三角形相似的条件、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比、面积的比与相似比的关系．
4．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．
5．通过典型实例观察并认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．
本章教学约需11课时，具体分配如下：
27．1 图形的相似2课时
27．2 相似三角形7课时
27．3 位似2课时
27．1 图形的相似
第1课时 图形的相似(1)
知识与技能
从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段，理解成比例线段的概念．
过程与方法
在成比例线段的探究过程中，让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题．
情感、态度与价值观
在探究成比例线段的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识．
重点
认识成比例的线段．
难点
理解成比例线段的概念．
一、问题引入
活动1.观察图片，体会形状相同的图形．(多媒体出示)
师：同学们，请观察下列几幅图片，你能发现什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？
生：这些图形的形状相同，而大小不同．
二、新课教授
活动2.思考：如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们的形状相同吗？
生：形状不同．
师：我们把形状相同，大小不同的图形叫做相似图形．
形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的．在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系．
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n或写成＝.其中，线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么＝k或AB＝k·CD，两条线段的比实际上就是两个数的比．
活动3.如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？
师生活动．
1．两条线段的比，就是两条线段长度的比．
2．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
注意：(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，但在计算时要注意统一单位；
(2)线段的比是一个没有单位的正数；
(3)四条线段a，b，c，d成比例，记作：＝或a∶b＝c∶d；
(4)若四条线段满足＝，则有ad＝bc；
(5)如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
三、例题讲解
例1 如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形形状相同的是( )
解：C
例2 一张桌面长a＝1.25 m，宽b＝0.75 m，那么长与宽的比是多少？
(1)如果a＝125 cm，b＝75 cm，那么长与宽的比是多少？
(2)如果a＝1 250 mm，b＝750 mm，那么长与宽的比是多少？
解：＝
小结：上面分别采用m，cm，mm三种不同的长度单位，求得的的值是相等的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致．
四、课堂小结
1．图形相似的定义：形状相同的图形叫做相似图形．
2．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
本节课在学习过程中应该注意从生活中形状相同的图形的实例中认识相似图形以及成比例的线段，理解成比例线段的概念．在相似图形的探究过程中，让学生运用“观察——比较——猜想”的方法分析问题，让学生经历探究过程．以学生的自主探究为主线，让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识．教师只在关键处进行点拨，不足处进行补充．鼓励学生大胆猜测、大胆验证，让学生在研究过程中渗透数学思想，有意识地培养学生的解题能力．
第2课时 图形的相似(2)
知识与技能
知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等．掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似”．
过程与方法
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程，体会由特殊到一般的思想方法，感受图形世界的丰富多彩．
情感、态度与价值观
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
重点
知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等．
难点
能运用相似图形的性质解决问题．
一、问题引入
1．若线段a＝6 cm，b＝4 cm，c＝3.6 cm，d＝2.4 cm，那么线段a，b，c，d会成比例吗？
2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系？(都成比例)
二、探究新知
1．观察图片，体会相似图形的性质．
(1)下图(1)中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的，观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？
(2)对于图(2)中两个形状相同、大小不同的正六边形，是否也能得到类似的结论？
学生细心观察，认真思考，小组讨论后回答问题，最后得出：
它们的对应角相等，对应边的比相等．
∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.
＝＝.
师：上图中的△ABC，△A1B1C1是形状相同的三角形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1分别相等，称为对应角，AB与A1B1，BC与B1C1，AC与A1C1的比都相等，称为对应边，各角相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
2．探究．
如图(1)中是两个相似三角形，它们的对应角有什么关系？对应边的比是否相等？
对于图(2)中两个相似四边形，它们的对应角、对应边是否也有同样的结论？
师生总结：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
(1)如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
(2)相似多边形的对应边的比称为相似比．
三、例题讲解
例 如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α和∠β的大小以及EH的长度x.
学生通过运用相似多边形的性质正确解答出∠α和∠β的大小以及EH的长度x.
解：四边形ABCD和四边形EFGH相似，它们的对应角相等．由此可得
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，
在四边形ABCD中，
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°) ＝81°.
四边形ABCD和四边形EFGH相似，它们的对应边成比例．由此可得
＝，即＝.
解得x＝28 cm.
四、巩固练习
1．在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实际距离．
答案 3 000 km
2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？
答案 相似，因为它们的对应角相等，对应边的比相等．
3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a，b，c，d的长度．
答案 a＝3，b＝，c＝4，d＝6.
五、课堂小结
1．相似多边形的定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
2．相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
本节课在前一节课学习的基础上，进一步加深对相似图形的认识．在相似图形的探究过程中，继续让学生运用“观察——比较——猜想”的方法分析问题，让学生经历探究过程．以学生自主探究为主线，让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识．教师只在关键处进行点拨，不足处进行补充．鼓励学生大胆猜测、大胆验证．让学生在研究过程中渗透数学思想，有意识地培养学生的解题能力．
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