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位似教案(湘教版九年级数学上册)

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位似教案(湘教版九年级数学上册)

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3.6  位似
3.6.1  位似(一)
教学目的
经历位似变换、位似的图形抽象得到定义的过程
掌握位似变换和位似图形的性质
教学重点
位似变换的定义和位似图形的性质
教学难点
位似变换的理解及作图
教学过程
一、观察投影,抽象得出位似变换、位似的图形的定义
1、复习:我们目前为止,学过哪几种图形的变换?经过这几种变换后的图形与原图形之间的关系如何?
2、抽象:定义:取定一点O,把图形上任意一点P对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P′,使得线段OP′与OP的比等于常数k (k>0) ,点O对应到它自身,这种变换叫做位似变换,点O叫作位似中心,常数k叫作位似比,一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形。
从位似变换和位似的图形的定义可以得出:
两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上,并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
思考:两个位似的图形的关系是怎样的呢?两个位似的图形是相似的。
二、位似图形定义的理解
  1.位似图形首先是相似图形.
  2.位似图形都有一个位似中心,它是所有对应点的连线都经过的那个点.两个图形必须同时具备了这两点才是位似图形,缺一不可.
  3.位似中心的位置由两个位似图形的位置决定,可以在图形的中心、可以在两个图形中间、也可以在两个图形的同一侧,还可以在图形上.如图1所示,图形(1)的位似中心是两个图形的中心,图(2)的位似中心在两个图形之间,图(3)的位似中心在两个图形左侧.
 
位似比:当位似比k>1时,一个图形被放大成原图形的倍;当位似比k〈1时,一个图形被缩小成原图形的k倍。
  同时,两个位似图形的周长的比等于位似比,面积的比等于位似比的平方.(为什么)
  三、位似图形的解题方法
  1.位似图形的辨析
  例1 如图2,指出下列图形中的两个图形是否是位似图形?如果是,指出位似中心.

  

解:(1)是位似图形,位似中心是A;(2)是位似图形,位似中心是P;(3)不是位似图形;(4)是位似图形,位似中心是O.
  方法说明:因为位似图形是特殊的相似图形,因而判断是不是位似图形,首先看图中的两个图形是否相似,再看对应点的连线是否经过同一个点.
  2.位似图形的作图
  例2 如图3,已知五边形ABCDE,以点P为位似中心,求作这个五边形的位似图形,使新图形与原图形的位似比为2∶1.
  解:(1)分别过五边形ABCDE的五个顶点作射线AP、BP、CP、DP、EP;
  (2)在这些射线上依次截取PA1=2PA,PB1=2PB;PC1=2PC,PD1=2PD,PE1=2PE;
  (3)顺次连结A1,B1,C1,D1,E1,所得图形就是符合要求的图形.
3.位似图形的应用
  例3 一般在室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为:3.5cm×3.5cm,放映屏幕的规格为2m×2m,若放映机的光源距胶片20cm,问屏幕应在离光源多远的地方,放映的图像刚好布满整个屏幕?
  分析:胶片上的图形和银屏上的图形是位似图形,光源是位似中心,则可运用位似图形的知识来解答.
  解:如图4所示,根据已知数据可知,
位似比 .设屏幕距离光源xcm,
根据位似图形的性质,
可得 ,所以 .
  答:屏幕应在离光源 的地方,放映的图像刚好布满整个屏幕.
  方法说明:在利用位似图形解决实际问题时,首先要将其抽象为位似模型,并在问题中找出位似中心,位似比等,再通过相应的计算进行解答.
四、小结
1、取定一点O,把图形上任意一点P对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P′,使得线段OP′与OP的比等于常数k (k>0) ,点O对应到它自身,这种变换叫做位似变换,点O叫作位似中心,常数k叫作位似比,一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形。
2、两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上,并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
3、当位似比k>1时,一个图形被放大成原图形的倍;当位似比k〈1时,一个图形被缩小成原图形的k倍。
4、两个位似的图形是相似的。两个位似图形的周长的比等于位似比,面积的比等于位似比的平方.
  
  五、课外作业  

 

 

 


 
3.6 位似(二)
教学目的
经历位似变换的作用过程,理解位似变换可以把一个图形放大或缩小。
了解位似变换与平移、反射、旋转等一样,研究的都是像与原图形之间的一种关系。
教学重点
会将一个图形放大或缩小。
教学难点
利用位似变换解决实际问题
教学过程
   1、复习:什么是位似变换?位似图形?它们有什么性质?
   2、例题解析:
  例1.已知如图1,在和树AB相距18米的地面上平放一面镜子E,人退后到距镜子上2.1米的D处,在镜子里恰好看见树顶,若人眼C距地1.4米.

(1)求树高;
(2)△ABE和△CDE是位似图形吗?若是,
请指出位似中心,若不是,请说明理由.
  分析:这是一道与物理有关的综合题,要注意运用数学知识解决问题.
  答案:(1)由光的反射规律知入射角等于反射角,
  可得出∠AEB=∠CED,
  又知∠ABE=∠CDE=90°,所以△ABE∽△CDE
  所以 米, 即树高12米.
  (2)△ABE与△CDE不是位似图形,因为位似图形的对应顶点的连线相交于一点,而点A与点C的连线没有交于点E,所以它们不是位似图形.
  方法提炼:正确理解光的反射规律,把实际问题转化为数学问题,使问题得到解决.
 例2.画一个三角形,使它与已知三角形相似,且原三角形与所画三角形的相似比为2:1.
  分析:依题意,因为没有指明画法,所以有多种方法.
  答案:解法一:平行线截取法.
  (1)取AB的中点D;
  (2)过点D作DE∥BC交AC于E,则△ADE就是所求作的三角形,如图2所示.
  解法二:在△ABC的外面作平行线法.
  (1)作线段B'C',使B'C'∥BC且B/C/= BC;
  (2)过点B'作BA的平行线B'A';
  (3)过点C'作CA的平行线与B'A'交于点A'.
  则△A'B'C'就是所求的三角形,如图3所示.

  解法三:位似图形法.
  (1)在图形内取位似中心O.
   ①作射线AO、BO、CO;
  ②在射线AO、BO、CO上分别截取点A'、B'、C',使OA:OA'=OB:OB'=OC:OC'=2:1;
③连接A'B'、B'C'、C'A',则△A'B'C'就是所求的三角形..
(2)在图形边上取位似中心O.
①连接AO;
②在AO、BO、CO上分别取A'、B'、C',
使OA:OA'=OB:OB'=OC:OC'=2:1;
③连接A'B'、A'C'、B'C',则△A'B'C'就是所求的三角形.
(3)在图形外部取位似中心O.
①以点O为端点作射线AO、BO、CO;
②分别在射线AO、BO、CO上截取A'、B'、C',
使OA:OA'=OB:OB'=OC:OC'=2:1;
  ③连接A'B'、B'C'、A'C',则△A'B'C'就是所求的三角形,
方法提炼:上面的几种方法要根据题目要求进行选择,
在题目要求不高的情况下,能简则简,力求避免不必要的繁琐.
  
例3.已知:锐角△ABC
求作:内接矩形DEFG,使DE在BC边上,
点G、F分别在AB、AC边上,且DE:GD=2:1.
  


分析:求作的矩形要满足四个条件:(1)DE在BC边上;(2)G在AB边上;(3)F在AC边上;(4)DE:DG=2:1.要同时满足这么多条件比较困难,不妨先放弃一个条件,比如放弃“F在AC边上”这个条件,那样的矩形就比较好作.如图中的G'D'E'F',然后再选择适当的位似中心进行位似变换,从而把F定在AC上.
  答案:作法:
 (1)作矩形G'D'E'F',使D'E'在BC上,G'在AB边上,且D'E':D'G'=2:1;
 (2)连BF',并延长交AC于F;
 (3)过F作FE⊥BC于E,作FG∥BC交AB于G;
 (4)过G作GD⊥BC于D;
  则四边形DEFG就是所求的矩形.
 拓展延伸:定位作图的要求较高,要更灵活地运用相似的有关知识.
3、学生练习:
4、小结
   如何把一个图形放大或缩小?有几种画图的方法?
5、课外作业


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