3.6 位似
3.6.1 位似（一）
教学目的
经历位似变换、位似的图形抽象得到定义的过程
掌握位似变换和位似图形的性质
教学重点
位似变换的定义和位似图形的性质
教学难点
位似变换的理解及作图
教学过程
一、观察投影，抽象得出位似变换、位似的图形的定义
1、复习：我们目前为止，学过哪几种图形的变换？经过这几种变换后的图形与原图形之间的关系如何？
2、抽象：定义：取定一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP（或它的反向延长线）上一点P′，使得线段OP′与OP的比等于常数k (k>0) ,点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O叫作位似中心，常数k叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形。
从位似变换和位似的图形的定义可以得出：
两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
思考：两个位似的图形的关系是怎样的呢？两个位似的图形是相似的。
二、位似图形定义的理解
1．位似图形首先是相似图形．
2．位似图形都有一个位似中心，它是所有对应点的连线都经过的那个点．两个图形必须同时具备了这两点才是位似图形，缺一不可．
3．位似中心的位置由两个位似图形的位置决定，可以在图形的中心、可以在两个图形中间、也可以在两个图形的同一侧，还可以在图形上．如图1所示，图形（1）的位似中心是两个图形的中心，图（2）的位似中心在两个图形之间，图（3）的位似中心在两个图形左侧．
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位似比：当位似比k>1时，一个图形被放大成原图形的倍；当位似比k〈1时，一个图形被缩小成原图形的k倍。
同时，两个位似图形的周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方．（为什么）
三、位似图形的解题方法
1．位似图形的辨析
例1 如图2，指出下列图形中的两个图形是否是位似图形？如果是，指出位似中心．
解：（1）是位似图形，位似中心是A；（2）是位似图形，位似中心是P；（3）不是位似图形；（4）是位似图形，位似中心是O．
方法说明：因为位似图形是特殊的相似图形，因而判断是不是位似图形，首先看图中的两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过同一个点．
2．位似图形的作图
例2 如图3，已知五边形ABCDE，以点P为位似中心，求作这个五边形的位似图形，使新图形与原图形的位似比为2∶1．
解：（1）分别过五边形ABCDE的五个顶点作射线AP、BP、CP、DP、EP；
（2）在这些射线上依次截取PA1＝2PA，PB1＝2PB；PC1＝2PC，PD1＝2PD，PE1＝2PE；
（3）顺次连结A1，B1，C1，D1，E1，所得图形就是符合要求的图形．
3．位似图形的应用
例3 一般在室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映屏幕的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm，问屏幕应在离光源多远的地方，放映的图像刚好布满整个屏幕？
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分析：胶片上的图形和银屏上的图形是位似图形，光源是位似中心，则可运用位似图形的知识来解答．
解：如图4所示，根据已知数据可知，
位似比．设屏幕距离光源xcm，
根据位似图形的性质，
可得，所以．
答：屏幕应在离光源的地方，放映的图像刚好布满整个屏幕．
方法说明：在利用位似图形解决实际问题时，首先要将其抽象为位似模型，并在问题中找出位似中心，位似比等，再通过相应的计算进行解答．
四、小结
1、取定一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP（或它的反向延长线）上一点P′，使得线段OP′与OP的比等于常数k (k>0) ,点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O叫作位似中心，常数k叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形。
2、两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
3、当位似比k>1时，一个图形被放大成原图形的倍；当位似比k〈1时，一个图形被缩小成原图形的k倍。
4、两个位似的图形是相似的。两个位似图形的周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方．
五、课外作业
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3.6 位似（二）
教学目的
经历位似变换的作用过程，理解位似变换可以把一个图形放大或缩小。
了解位似变换与平移、反射、旋转等一样，研究的都是像与原图形之间的一种关系。
教学重点
会将一个图形放大或缩小。
教学难点
利用位似变换解决实际问题
教学过程
1、复习：什么是位似变换？位似图形？它们有什么性质？
2、例题解析：
例1.已知如图1，在和树AB相距18米的地面上平放一面镜子E，人退后到距镜子上2.1米的D处，在镜子里恰好看见树顶，若人眼C距地1.4米．
（1）求树高；
（2）△ABE和△CDE是位似图形吗？若是，
请指出位似中心，若不是，请说明理由．
分析：这是一道与物理有关的综合题，要注意运用数学知识解决问题．
答案：（1）由光的反射规律知入射角等于反射角，
可得出∠AEB＝∠CED，
又知∠ABE＝∠CDE＝90°，所以△ABE∽△CDE
所以米， 即树高12米．
（2）△ABE与△CDE不是位似图形，因为位似图形的对应顶点的连线相交于一点，而点A与点C的连线没有交于点E，所以它们不是位似图形．
方法提炼：正确理解光的反射规律，把实际问题转化为数学问题，使问题得到解决．
例2.画一个三角形，使它与已知三角形相似，且原三角形与所画三角形的相似比为2：1．
分析：依题意，因为没有指明画法，所以有多种方法．
答案：解法一：平行线截取法．
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（1）取AB的中点D；
（2）过点D作DE∥BC交AC于E，则△ADE就是所求作的三角形，如图2所示．
解法二：在△ABC的外面作平行线法．
（1）作线段B'C'，使B'C'∥BC且B/C/=BC；
（2）过点B'作BA的平行线B'A'；
（3）过点C'作CA的平行线与B'A'交于点A'．
则△A'B'C'就是所求的三角形，如图3所示．
解法三：位似图形法．
（1）在图形内取位似中心O．
①作射线AO、BO、CO；
②在射线AO、BO、CO上分别截取点A'、B'、C'，使OA：OA'＝OB：OB'＝OC：OC'＝2：1；
③连接A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C'就是所求的三角形．．
（2）在图形边上取位似中心O．
①连接AO；
②在AO、BO、CO上分别取A'、B'、C'，
使OA：OA'＝OB：OB'＝OC：OC'＝2：1；
③连接A'B'、A'C'、B'C'，则△A'B'C'就是所求的三角形．
（3）在图形外部取位似中心O．
①以点O为端点作射线AO、BO、CO；
②分别在射线AO、BO、CO上截取A'、B'、C'，
使OA：OA'＝OB：OB'＝OC：OC'＝2：1；
③连接A'B'、B'C'、A'C'，则△A'B'C'就是所求的三角形，
方法提炼：上面的几种方法要根据题目要求进行选择，
在题目要求不高的情况下，能简则简，力求避免不必要的繁琐．
例3.已知：锐角△ABC
求作：内接矩形DEFG，使DE在BC边上，
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点G、F分别在AB、AC边上，且DE：GD＝2：1．
分析：求作的矩形要满足四个条件：（1）DE在BC边上；（2）G在AB边上；（3）F在AC边上；（4）DE：DG＝2：1．要同时满足这么多条件比较困难，不妨先放弃一个条件，比如放弃“F在AC边上”这个条件，那样的矩形就比较好作．如图中的G'D'E'F'，然后再选择适当的位似中心进行位似变换，从而把F定在AC上．
答案：作法：
（1）作矩形G'D'E'F'，使D'E'在BC上，G'在AB边上，且D'E'：D'G'＝2：1；
（2）连BF'，并延长交AC于F；
（3）过F作FE⊥BC于E，作FG∥BC交AB于G；
（4）过G作GD⊥BC于D；
则四边形DEFG就是所求的矩形．
拓展延伸：定位作图的要求较高，要更灵活地运用相似的有关知识．
3、学生练习：
4、小结
如何把一个图形放大或缩小？有几种画图的方法？
5、课外作业
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