一元二次方程及其解法（一）直接开平方法

1 一元二次方程及其解法（一）直接开平方法 【学习目标】 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元 二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最 高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式： 　　一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如 ，这种形式叫做 一元二次方程的一般形式．其中 是二次项， 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常 数项． 要点诠释： 　　(1)只有当 时，方程 才是一元二次方程； 　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏 掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论 （1）若 a+b+c=0,则一元二次方程 必有一根 x=1；反之也成立，即若 x=1 是 一元二次方程 的一个根，则 a+b+c=0. （2）若 a-b+c=0,则一元二次方程 必有一根 x=-1；反之也成立，即若 x=-1 是一元二次方程 的一个根，则 a-b+c=0. （3）若一元二次方程 有一个根 x=0，则 c=0；反之也成立，若 c=0，则一 元二次方程 必有一根为 0. 要点二、一元二次方程的解法 1．直接开方法解一元二次方程： 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于 x 的一元二次方程 ，可直接开平方求解. 　　　 　若 ，则 ；表示为 ，有两个不等实数根； 　　　 　若 ，则 x=O；表示为 ，有两个相等的实数根； 　　　 　若 ，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于 x 的一元二次方程 ，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点诠释： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数 的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 【典型例题】 类型一、关于一元二次方程的判定 1．判定下列方程是否关于 x 的一元二次方程： 　　(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； 　　(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1． 【答案与解析】 (1)经整理，得它的一般形式 　　　　　 (a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0， 　　　　　 其中，由于对任何实数 a 都有 a2≥0，于是都有 a2+2＞0，由此可知 a2+2≠0，所以可以判定： 　　　　　 对任何实数 a，它都是一个一元二次方程． 　　　　(2)经整理，得它的一般形式 　　　　　 (m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0， 　　　　　 其中，当 m≠1 且 m≠-1 时，有 m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当 m=1 时方程不存在， 　　　　　 当 m=-1 时，方程化为 4x=0，它们都不是一元二次方程． 【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程 进行 研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数 的限定条件是 m≠±1． 　　例如，一个关于 x 的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0 的形式，仅当 m-4≠0，即 m≠4 时，才是一元 二次方程(显然，当 m=4 时，它只是一个一元一次方程 4x-3=0)．又如，当我们说：“关于 x 的一元二次3 方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠ 1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”． 类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定 2. 已知关于 y 的一元二次方程 m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数 m 的取 值范围． 【答案与解析】 将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0， 　　　　由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件 　　　　m2-8≠0，即 m≠± ． 　　　　可知它的各项系数分别是 　　　　a=m2-8(m≠± )，b=-(3m-1)，c=m3-1． 　　　　参数 m 的取值范围是不等于± 的一切实数． 【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的 问题． 举一反三： 【高清 ID 号：388447 关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的系数与解—练习 1(3)】 【变式】关于 x 的方程 的一次项系数是-1，则 a . 【答案】原方程化简为 x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1. 类型三、一元二次方程的解（根） 3.（2016•大庆）若 x0 是方程 ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设 M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则 M 与 N 的大小关系正确的为（　　） A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定 【思路点拨】把 x0 代入方程 ax2+2x+c=0 得 ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得． 【答案】B； 【解析】解：∵x0 是方程 ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根， ∴ax02+2x0+c=0，即 ax02+2x0=﹣c， 则 N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac） =a2x02+2ax0+1﹣1+ac =a（ax02+2x0）+ac =﹣ac+ac =0，4 ∴M=N， 故选：B． 【总结升华】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知 数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键． 举一反三： 【高清 ID 号：388447 关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的系数与解——练习 2】 【变式】（1）x=1 是 的根，则 a= . （2）已知关于 x 的一元二次方程 有一个根是 0，求 m 的值. 【答案】（1）当 x=1 时，1-a+7=0,解得 a=8. （2）由题意得 类型四、用直接开平方法解一元二次方程 4.解方程(x-3)2=49． 【答案与解析】 把 x-3 看作一个整体，直接开平方，得 　　 　　x-3=7 或 x-3=-7． 　　　　 由 x-3=7，得 x=10． 　　　　 由 x-3=-7，得 x=-4． 　　　　 所以原方程的根为 x=10 或 x=-4． 【总结升华】应当注意，如果把 x+m 看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如 x2=k 的方 程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就 可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n 可成为任何一元二次方程变形的目标． 举一反三： 【变式】解方程： (1)（3x+2）2=4（x﹣1）2； (2) （x-2）2=25. 【答案】解：(1) 3x+2=±2（x﹣1）， ∴3x+2=2x﹣2 或 3x+2=﹣2x+2， ∴x1=﹣4；x2=0． 　 　 (2) (x-2)=±5 　　 　　　∴x-2=5 或 x-2=-5 　　 　　　∴x1=7,x2=-3. 　　 　　　 2 2( 1) 2 1 0m x x m− + + − =5 【巩固练习】 一、选择题 1. （2015•泰安模拟）方程 x2+ax+1=0 和 x2﹣x﹣a=0 有一个公共根，则 a 的值是（　　）． A．0 B．1 C．2 D． 3 2．若 是一元二次方程，则不等式 的解集应是( ). A． B．a＜-2 C．a＞-2 D．a＞-2 且 a≠0 3．（2016•重庆校级三模）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+6=0 的一个根为 x=﹣2，则代数式 6a﹣3b+6 的值为（　　） A．9 B．3 C．0 D．﹣3 4．已知方程 有一个根是 ，则下列代数式的值恒为常数的是( )． A．ab B． C．a+b D．a-b 5．若 ，则 的值为（ ）． A．1 B．-5 C．1 或-5 D．0 6．对于形如 的方程 ，它的解的正确表达式是（ ）. A．用直接开平方法解得 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 二、填空题 7．如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q＝0 的两根分别为 x1＝2，x2＝1，那么 p，q 的值分别是 . 8．若关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0 的常数项为 0，则 m 的值等于 . 9．已知 x＝1 是一元二次方程 的一个根，则 的值为________． 10．(1)当 k________时，关于 x 的方程 是一元二次方程； (2)当 k________时，上述方程是一元一次方程． 11．已知 a 是方程 的根，则 的值为 ． 12 ． 已 知 是 关 于 的 一 元 二 次 方 程 的 一 个 根 ， 则 的 值 为 ． 三、解答题 13. （2016•乌鲁木齐校级月考）一元二次方程 a（x﹣1） 2+b（x﹣1）+c=0 化为一般形式后为 2 5 3 0ax ax− + = 3 6 0a + > 1 2a > 2 0x bx a+ + = ( 0)a a− ≠ a b 2 9 0x − = 2 5 6 3 x x x − + − x 2( )x m n+ = x n= ± 0n ≥ x m n= ± 0n ≥ x n m= ± − 0n ≥ x n m= ± − 2 0x mx n+ + = 2 22m mn n+ + 2 2( 1) ( 1) 1 0k x k x− − − + = 2 1 04x x+ − = 3 5 4 3 2 1a a a a a − + − − a x 2 2012 1 0x x− + = 2 2 20122011 1a a a − + +6 2x2﹣3x﹣1=0，试求 a，b，c 的值． 14．用直接开平方法解下列方程． (1)（x+1）2=4； (2) (2015·岳池县模拟)(2x-3)2=x2． 15．已知△ABC 中，AB＝c，BC＝a，AC＝6， 为实数，且 ， ． (1)求 x 的值； (2)若△ABC 的周长为 10，求△ABC 的面积 ． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C； 【解析】∵方程 x2+ax+1=0 和 x2﹣x﹣a=0 有一个公共根， ∴（a+1）x+a+1=0， 解得 x=﹣1， 当 x=﹣1 时，a=2，故选 C． 2．【答案】D； 【解析】解不等式得 a＞-2，又由于 a 为一元二次方程的二次项系数，所以 a≠0．即 a＞-2 且 a≠ 0． 3.【答案】D 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+6=0 的一个根为 x=﹣2， ∴a×（﹣2）2+b×（﹣2）+6=0， 化简，得 2a﹣b+3=0， ∴2a﹣b=﹣3， ∴6a﹣3b=﹣9， ∴6a﹣3b+6=﹣9+6=﹣3， 故答案为：D． 4. 【答案】D； 【解析】由方程根的定义知，把 代入方程得 ，即 ，而 ， ∴ . 5．【答案】B； 【解析】本题主要考查的是利用一元二次方程的解来探索使分式有意义的值．由 ，得 ， 由分式有意义，可得 ≠3，所以 ．当 时， ，故选 B． x 6a b+ = 2 9x ab= − ABCS△ x a= − 2 0a ab a− + = ( 1) 0a a b− + = 0a ≠ 1a b− = − 2 9 0x − = 3x = ± x 3x = − 3x = − 2 5 6 53 x x x − + = −−7 6．【答案】C； 【解析】因为当 n 是负数时，在实数范围内开平方运算没有意义，当 n 是非负数时， 直接开平方得 ，解得 ，故选 C． 二、填空题 7．【答案】p=-3,q=2； 【解析】∵ x＝2 是方程 x2+px+q＝0 的根， ∴ 22+2p+q＝0，即 2p+q＝-4 ① 同理，12+p+q＝0，即 p+q＝-1 ② 联立①，②得 解之得： 8．【答案】m=-2； 【解析】由题意得：m2﹣4=0，解得：m=±2，∵m﹣2≠0，∴m≠2，∴m=﹣2 9．【答案】1； 【解析】将 x＝1 代入方程得 m+n＝-1，两边平方得 m2+2mn+n2＝1. 10．【答案】(1)≠±1 ； (2)＝-1. 【解析】(1)k2-1≠0，∴ k≠±1． (2)由k2-1＝0，且k-1≠0，可得k＝-1． 11．【答案】20； 【解析】由题意可知 ，从而得 ， ． 于是 ． 12.【答案】2011. 【解析】因为 是方程的根，所以 ，所以 ， ， 所以 ． 三、解答题 13.【答案与解析】 解：一元二次方程 a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0 化为一般形式后为 ax2﹣（2a﹣b）x﹣（b﹣a﹣c）=0， 一元二次方程 a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0 化为一般形式后为 2x2﹣3x﹣1=0，得 ， x n m= ± − 2 4, 1, p q p q + = −  + = − 3, 2. p q = −  = 2 1 04a a+ − = 2 1 4a a+ = 2 1 4a a= − 2 3 5 4 3 2 3 2 2 3 2 1 11 111 4 4 44 1 1( ) ( ) ( ) ( 1)4 4 aaa a aaa a a a a a a a a a a a a a a    − − − − −− −   −    = = =+ − − + − + − − 2 5 5 5 5 5 54 4 201 11 1 1 4 4 44 4 a a a aa a aa a − − −= = = =  − − −− −   a 2 2012 1 0a a− + = 2 1 2012a a+ = 2 2012 1a a= − 2 2 20122011 1a a a − + + 2012 12012 1 2011 12012a a aa a = − − + = + − 2012 2011a a a −= =8 解得 ． 14.【答案与解析】 解：(1)两边直接开平方得：x+1=±2，得 x+1=2,x+1=-2,解得：x1=1,x2=-3． (2) 两边直接开平方得，得 2x-3=±x，∴x1=3,x2=1． 15.【答案与解析】 解：（1） 代入 中得 ， ∵ ， ， ∴ ， ． （2）由（1）知 ， ∴ ， ． 6a b= − 2 9x ab= − 2 2( 3) 0x b+ − = 2 0x ≥ 2( 3) 0b − ≥ 0x = 3b = 3a b= = 10 6 4c = − = 2 21 4 3 2 2 52ABCS = × × − =△