1.1.3 解三角形的进一步讨论
从容说课
本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出
正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之
亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦
定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下：
解斜三角形时可用的定理和
公式
适用类型 备注
余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=b2+a2-2bacosC
（1）已知三边
（2）已知两边及其夹角
类型（1）（2）有解时只有一
解
正弦定理 （3）已知两角和一边
（4）已知两边及其中一边的
对角
类型（3）在有解时只有一解，
类型（4）可有两解、一解或
无解
三角形面积公式 （5）已知两边及其夹角
同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的
主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问
题；（2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或
三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余
弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定
理及公式．
教学重点 1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情
形；
2.三角形各种形状的判定方法；
3.三角形面积定理的应用．
教学难点 1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;
2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；
3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．
教具准备 投影仪、幻灯片
第一张:课题引入图片(记作 1．1．3A)
正弦定理: ；
余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC，
, , .
RC
c
B
b
A
a 2sinsinsin
===
== AbcS sin2
1
=Bacsin2
1
Cabsin2
1
RC
c
B
b
A
a 2sinsinsin
===
bc
acbA 2cos
222 −+=
ca
bacB 2cos
222 −+=
ab
cbaC 2cos
222 −+=第二张:例 3、例 4(记作 1．1．3B)
[例 3]已知△ABC, BD 为角 B 的平分线,求证: AB∶BC＝AD∶DC.
[例 4]在△ABC 中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
第三张:例 5(记作 1．1．3C)
[例 5]在△ABC 中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状.
三维目标
一、知识与技能
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
2.三角形各种形状的判定方法；
3.三角形面积定理的应用．
二、过程与方法
通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数
公式及三角形有关性质求解三角形问题．
三、情感态度与价值观
通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反
映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内
在联系．
教学过程
导入新课
师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理
解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容(给出幻灯片 1.1.3A).从
幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以
进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在
判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用.
推进新课
思考：在△ABC 中，已知 A=22cm，B=25cm,A=133°，解三角形．（由学生阅读课本第 9
页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条
件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．
【例 1】在△ABC 中，已知 A,B,A，讨论三角形解的情况.
师 分析：先由 可进一步求出 B；则 C =180°-(A+B),从而 .
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．
1.当 A 为钝角或直角时，必须 a＞b 才能有且只有一解；否则无解．
2.当 A 为锐角时，
如果 a≥b，那么只有一解；
如果 a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若 a＞bsinA，则有两解；
（2）若 a=bsinA，则只有一解；
（3）若 a＜bsinA，则无解．
a
AbB sinsin =
A
Cac sin
sin=（以上解答过程详见课本第 9 到第 10 页）
师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且 bsinA＜a＜
b 时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．
（1）A 为直角或钝角
（2）A 为锐角
【例 2】在△ABC 中，已知 a =7,b=5,c =3，判断△ABC 的类型．
分析：由余弦定理可知
a2=b2+c2 A 是直角 △ABC 是直角三角形，
a2＞b2+c2 A 是钝角 △ABC 是钝角三角形，
a2＜b2+c A 是锐角/ △ABC 是锐角三角形。
（注意：A 是锐角/ △ABC 是锐角三角形 ）
解：∵72＞52+32,即 a2＞b2+c2，
∴△ABC 是钝角三角形．
[教师精讲]
1．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题．
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
2．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转
化．例如：在判断三角形形状时，经常把 a、b、c 分别用 2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代
替．
3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边
角之间的转化．
（1）已知三边，求三个角．
（2）已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
4．用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式 a2=b2+c2-2bccosA 中含有未知数时，这
便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求 A 或 B 或 C 或
cosA．
师 下面,我们来看幻灯片上的例题.(给出幻灯片 1.1.3B)
⇔ ⇔
⇔ ⇔
⇔［例题剖析］
【例 3】分析：前面接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而角 B 的平分线 BD 将
△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式: AB∶BC＝
AD∶DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故
可利用正弦定理将所证继续转化为 ,再根据相等角正弦值相等,互
补角正弦值也相等即可证明结论.
证明:在△ABD 内,利用正弦定理得 ,即 ,
在△BCD 内,利用正弦定理得 ,即 ,
∵BD 是角 B 的平分线,∴∠ABD=∠DBC
∴sin∠ABD=sin∠DBC.
∵∠ADB+∠BDC=180°,
∴sin∠ADB=sin(180°-∠BDC)=sin∠BDC.
∴ .
∴ .
评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦
值相等这一特殊关系式的应用.
［例题剖析］
【例 4】分析:此题所证结论包含关于△ABC 的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把
角的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转
化为角的关系,一般是通过正弦定理.
另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如 sin2B=2sinbcosB
等,以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.
证明一: (化为三角函数)
a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2·2sinB·COsB+(2RsinB)2·2sinA·cosA=8R2sinA·sinB(sinA
cosB+cosAsinB)=8R2sinasinbsinC =2·2RsinA·2RsinB·sinC=2absinC.
所以原式得证.
证明二: (化为边的等式)
左边=A2·2sinBcosB+B2·2sinAcosA= =
=
[教师精讲]
由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC,在转化为角
的 关 系 式 后 , 要 注 意 三 角 函 数 公 式 的 运 用 , 在 此 题 用 到 了 正 弦 二 倍 角 公 式
DBC
DC
BDC
BC
∠=∠ sinsin
ABD
AD
ADB
AB
∠=∠ sinsin ABD
ADB
AD
AB
∠
∠=
sin
sin
DBC
DC
BDC
BC
∠=∠ sinsin DBC
BDC
DC
BC
∠
∠=
sin
sin
DC
BC
DBC
BDC
ABD
ADB
AD
AB =∠
∠=∠
∠=
sin
sin
sin
sin
DC
AD
BC
AB =
bc
acb
R
abac
bca
R
ba 22
2
22
2 222
2
222
2 −+••+−+••
CabR
cabcRc
abacbbcaRc
ab sin22222)(2
2222222 =•=•−++−+sin2A=2sinA·cosA,正弦两角和公式 sin(A+B)=sinA·cosB+cosA·sinB;由角向边转化,要
结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.
三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看,
这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.
【例 5】分析:三角形形状的判断,可以根据角的关系,也可根据边的关系,所以在已知条件的
运用上,可以考虑两种途径,将边转化为角,将角转化为边,下面,我们从这两个角度进行分析.
解法一:利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA=acosB,∴ .∴b2+c2-a2=a2+c2-b2.∴a2=b2.
∴a=b.
故此三角形是等腰三角形.
解法二:利用正弦定理将边转化为角.
∵bcosA=acosB,又 B=2RsinB，A=2RsinA,∴2RsinbcosA=2RsinAcosB.
∴sinAcosB-cosAsinB=0.∴sin(A-B)=0.∵0＜A,B＜π,∴-π＜A-B＜π.
∴A-B=0,即 A=B.
故此三角形是等腰三角形.
评述:(1)在判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,
通常是正、余弦定理结合使用;另一方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理.要求学
生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理.
(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时,一定
要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式 sinBcosA=sinAcosB 两
端同除以 sinAsinB,得 cotA=cotB,再由 0＜A,B＜π,而得 A=B.
课堂小结
通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、
余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断,其中,要求大家重点体会正、余
弦定理的边角转换功能.
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形形状的判定方法.
布置作业
1.在△ABC 中,已知 ,求证: a2、b2、c2 成等差数列.
证明: 由已知得 sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B),
cos2B-cos2C=cos2A-cos2B,
2cos2B=coOs2A+cos2C,2· =
∴2sin2B=sin2A+sin2C.
由正弦定理,可得 2b2=a2+c2,
即 a2、b2、c2 成等差数列.
2.在△ABC 中,A=30°,cosB=2sinB-3sinC.
(1)求证:△ABC 为等腰三角形;(提示 B =C =75°)
(2)设 D 为△ABC 外接圆的直径 BE 与边 AC 的交点,且 AB＝2,求 AD∶CD 的值.
ac
bcaabc
acbb 22
222222 −+•=−+•
)sin(
)sin(
sin
sin
CB
BA
C
A
−
−=
2
cos1
2
cos1
2
cos1 222 BAB −+−=−答案: (1)略；(2)1∶3.
板书设计
解三角形的进一步讨论
一、三角形形状判定 二、三角形问题证明思路 三、学生练习
1.等腰三角形:a＝b 或 1.向边转化利用正、余弦定理 四、布置作业
A＝B 2.向角转化
利用正弦定理
2.直角三角形:a2+b2=c2 或 C =90°
3.钝角三角形:C＞90°
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