高中数学 （2.3.1 等差数列的前n项和(一)）示范教案 新人教A版必修5.doc

2.3　等差数列的前 n 项和 2.3.1　等差数列的前 n 项和(一) 从容说课 “等差数列的前 n 项和”第一节课主要通过高斯算法来引起学生对数列求和的兴趣，进 而引导学生对等差数列的前 n 项和公式作出探究，逐步引出求和公式以及公式的变形，初步 形成对等差数列的前 n 项和公式的认识，让学生通过探究了解一些解决数学问题的一般思路 和方法，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，所以，在教学中宜采用以问题驱 动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法.为了让学生较熟练地掌握公式， 要采用设计变式题的教学手段. 通过本节的例题的教学，使学生感受到在实际问题中建立数学模型的必要性，以及如何 去建立数学模型的方式方法，培养学生善于从实际情境中去发现数列模型，促进学生对本节 内容的认知结构的形成. 教学重点 等差数列的前 n 项和公式的理解、推导及应用. 教学难点 灵活应用等差数列前 n 项和公式解决一些简单的有关问题. 教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等 三维目标 一、知识与技能 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单 的与前 n 项和有关的问题. 二、过程与方法 通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律， 初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思 维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 三、情感态度与价值观 通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数 学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验， 产生热爱数学的情感. 教学过程 导入新课 教师出示投影胶片 1： 印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印 度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印 度伊斯兰教文化的象征. 陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相 同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100 层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案 中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段) 生 只要计算出 1+2+3+…+100 的结果就是这些宝石的总数. 师 对，问题转化为求这 100 个数的和.怎样求这 100 个数的和呢？这里还有一段故事. 教师出示投影胶片 2： 高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现 在给大家出道题目：1+2+…100=?” 过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答 说： “1+2+3+…+100=5 050.” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：因为 1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以 101×50=5 050. 师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？ 生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有 50 个 101，所以 1+2+3+…+100=50×101=5 050. 师 对，高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为 50 组，第一个数与最后一个数 一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相 等，都等于 101，50 个 101 就等于 5 050 了. 高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果. 作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找 出某些规律性的东西. 师 问：数列 1，2，3，…，100 是什么数列？而求这一百个数的和 1+2+3+…+100 相当于什 么？ 生 这个数列是等差数列，1+2+3+…+100 这个式子实质上是求这数列的前 100 项的和. 师 对，这节课我们就来研究等差数列的前 n 项的和的问题. 推进新课 ［合作探究］师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第 1 层到 第 21 层，得到右图，则图中第 1 层到第 21 层一共有多少颗宝石呢? 生 这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求 和就好首尾配成对了. 师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们 是否有简单的方法来解决这个问题呢? 生 有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的 每行宝石的个数均为 22 个，共 21 行.则三角形中的宝石个数就是 . 师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写 成式子就是： 1+2+3+…+21， 21+20+19+…+1， 对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序) 这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”. 现在我将求和问题一般化： (1)求 1 到 n 的正整数之和，即求 1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由 学生轻松解决) (2)如何求等差数列{an}的前 n 项的和 Sn? 生 1 对于问题(2)，我这样来求：因为 Sn=a1+a2+a3+…+an， Sn=an+an-1+…+a2+a1， 再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq， 所以 .(Ⅰ) 生 2 对于问题(2)，我是这样来求的： 因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+［a1+(n-1)×d］， 所以 Sn=na1+［1+2+3+…+(n-1)］d=na1+ d, 即 Sn=na1+ d.(Ⅱ) ［教师精讲］ 两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来 转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前 n 项求和的两种不同的公式.这 两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前 n 项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我们可以 发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2 相类比，这里的上底是等差数列的首项 a1， 下底是第 n 项 an，高是项数 n,有利于我们的记忆. ［方法引导］ 师 如果已知等差数列的首项 a1，项数为 n，第 n 项为 an，则求这数列的前 n 项和用公式(Ⅰ) 来进行，若已知首项 a1，项数为 n，公差 d，则求这数列的前 n 项和用公式(Ⅱ)来进行. 引导学生总结：这些公式中出现了几个量？ 生 每个公式中都是 5 个量. 师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法? 生 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二). 师当公差 d≠0 时，等差数列{an}的前 n 项和 Sn 可表示为 n 的不含常数项的二次函数，且这 2 21)211( ×+ 2 )( 1 n n aanS += 2 )1( −nn 2 )1( −nn二次函数的二次项系数的 2 倍就是公差. ［知识应用］ 【例 1】 (直接代公式)计算： (1)1+2+3+…+n； (2)1+3+5+…+(2n-1)； (3)2+4+6+…+2n； (4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n. (让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学 回答. 生 (1)1+2+3+…+n= ； (2)1+3+5+…+(2n-1)= =n2 ； (3)2+4+6+…+2n= =n(n+1). 师第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用 Sn 公式求解？若不能，那应如 何解答？(小组讨论后，让学生发言解答) 生 (4)中的数列共有 2n 项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列， 所以原式= [1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n. 生 上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式 =(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n. 师 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公 式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解. 【例 2】 （课本第 49 页例 1) 分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些有 用信息吗? 生 由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是 500，记为 a1，公差为 50，记 为 d，而从 2001 年到 2010 年应为十年，所以这个等差数列的项数为 10.再用公式就可以算 出来了. 师 这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式) 【例 3】 (课本第 50 页例 2)已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1 220，由此可以确定求其前 n 项和的公式吗？ 分析：若要确定其前 n 项求和公式，则必须确定什么？ 生 必须要确定首项 a1 与公差 d. 师 首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？ 生 由已知条件，我们已知了这个等差数列中的 S10 与 S20，于是可从中获得两个关于 a1 和 d 的关系式，组成方程组便可从中求得. (解答见课本第 50 页) 师 通过上面例题 3 我们发现了在以上两个公式中，有 5 个变量.已知三个变量，可利用构造 方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题. ［合作探究］ 师 请同学们阅读课本第 50 页的例 3，阅读后我们来互相进行交流. (给出一定的时间让学生对本题加以理解) 师 本题是给出了一个数列的前 n 项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什 么? 生 从所给的和的公式出发去求出通项. 2 )1( +nn 2 )11( −+ nn 2 )22( +nn师 对的，通项与前 n 项的和公式有何种关系? 生 当 n=1 时，a1=S1，而当 n＞1 时，an=Sn-Sn-1. 师 回答的真好!由 Sn 的定义可知，当 n=1 时，S1=a1；当 n≥2 时，an=Sn-S n-1， 即 an=S1(n=1), Sn-S n-1(n≥2).这种已知数列的 Sn 来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这 方法求出的通项 an=2n- ，我们从中知它是等差数列，这时当 n=1 也是满足的，但是不是 所有已知 Sn 求 an 的问题都能使 n=1 时，an=Sn-Sn-1 满足呢?请同学们再来探究一下课本第 51 页的探究问题. 生 1这题中当 n=1 时，S1=a1=p+q+r；当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=2pn-p+q，由 n=1 代入的结果为 p+q，要使 n=1 时也适合，必须有 r=0. 生 2 当 r=0 时，这个数列是等差数列，当 r≠0 时，这个数列不是等差数列. 生 3 这里的 p≠0 也是必要的，若 p=0，则当 n≥2 时，an=Sn-S n-1=q+r，则变为常数列了， r≠0 也还是等差数列. 师如果一个数列的前 n 项和公式是常数项为 0，且是关于 n 的二次型函数，则这个数列一定 是等差数列，从而使我们能从数列的前 n 项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等 差数列的两个求和公式中皆无常数项. 课堂练习 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是 54？ (学生板演) 解：设题中的等差数列为{an}，前 n 项和为 Sn, 则 a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54, 由公式可得-10n+ ×4=54. 解之,得 n1=9,n2=-3(舍去). 所以等差数列-10，-6，-2，2…前 9 项的和是 54. (教师对学生的解答给出评价) 课堂小结 师 同学们，本节课我们学习了哪些数学内容? 生 ①等差数列的前 n 项和公式 1： , ②等差数列的前 n 项和公式 2： . 师 通过等差数列的前 n 项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法? 生 ①通过等差数列的前 n 项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒 序相加法”. ②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个 变量. 师 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容? 生如果一个数列的前 n 项和公式中的常数项为 0，且是关于 n 的二次型函数，则这个数列一 定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前 n 项和公式的结构 特征上来认识等差数列. 布置作业 课本第 52 页习题 2.3 A 组第 2、3 题. 2 1 2 )1( −nn 2 )( 1 n n aanS += 2 )1( 1 dnnnaSn −+=板书设计 等差数列的前 n 项和(一) 公式： 推导过程 例 2 )1( 2 )( 1 1 dnnnaaanS n n −+=+=