射阳县2014-2015高一数学下学期期末复习试卷（有解析）
一、填空题
1．化简sin20°cos40°+cos20°sin40°=．
2．cos840°=．
3．已知向量=（3，﹣1）向量=（2，m），若⊥，则m=．
4．已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是
．
5．在△ABC中，若a2﹣c2+b2+ab=0，则∠C=．
6．在△ABC中，若S△ABC=12，ac=48，c﹣a=2，则b=．
7．已知数列{an} 满足an+1﹣an=2，且a3=8，则a6=．
8．在等比数列{an}中，已知S6=48，S12=60，则S24=．
9．已知等差数列{an}中，a4+a8+a10+a14=20，则前17项的和为．
10．函数f（x）=1﹣cosx，x∈R取最大值时x的值是．
11．若点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是．
12．无论k为何值，直线（k+2）x+（1﹣k）y﹣4k﹣5=0都过一个定点，则定点坐标为．
13．已知点P（x，y）在圆x2+（y﹣1）2=1上运动，则的最大值为最小值为．
14．已知两不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n有下列四个命题：
①若m∥n，n⊥α则m⊥α．
②若m⊥α，m⊥β 则α∥β．
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β．
④若m∥α，α∩β=n则m∥n．
其中真命题的有．
二、解答题
15．设函数f（x）=6cos2x﹣2sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=0且b=2，cosA=，求a和sinC．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点．
（Ⅰ）若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD．
17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．
18．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13
（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．
19．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．
20．已知数列{an}中，a1=5，Sn+1=2Sn+n+5（n∈N+）
（1）证明：{an+1} 数列是等比数列．
（2）求数列 {an}的前n项和Sn．
江苏省盐城市射阳县陈洋中学2014-2015学年高一下学期期末数学复习试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．化简sin20°cos40°+cos20°sin40°=．
考点： 两角和与差的正弦函数．
专题： 三角函数的求值．
分析： 逆用两角和的正弦即可求得答案．
解答： 解：sin20°cos40°+cos20°sin40°
=sin
=sin60°=，
故答案为：．
点评： 本题考查两角和的正弦公式的逆用，属于基础题．
2．cos840°=﹣．
考点： 运用诱导公式化简求值．
专题： 三角函数的求值．
分析： 由题意利用诱导公式进行化简求得结果．
解答： 解：cos840°=cos（720°+120°）=cos120°=cos（90°+30°）=﹣sin30°=﹣，
故答案为：﹣．
点评： 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
3．已知向量=（3，﹣1）向量=（2，m），若⊥，则m=6．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 根据向量的垂直得出：=0，利用向量数量积的坐标运算得出关于m的方程求解即可
解答： 解：∵⊥，
∴=0
∵向量=（3，﹣1）向量=（2，m），
∴3×2﹣1×m=0，
m=6
故答案为：6
点评： 本题考查了向量数量积的坐标运算，是基础题，准确计算即可．
4．已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是
2π．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
专题： 计算题．
分析： 通过题意，求出圆锥的底面半径，求出底面周长，然后求出圆锥的侧面积．
解答： 解：已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的底面半径为：1
圆锥的底面周长为：2π，
所以圆锥的侧面积为：×2π×2=2π
故答案为：2π
点评： 本题考查圆锥的侧面积，考查计算能力，圆锥的高，底面半径，母线构成勾股定理，是解决圆锥问题的常用方法，是基础题．
5．在△ABC中，若a2﹣c2+b2+ab=0，则∠C=．
考点： 余弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 由已知的式子和余弦定理的推论可求出cosC，再由内角的范围求出角C．
解答： 解：由题意得，a2﹣c2+b2+ab=0，则a2﹣c2+b2=﹣ab，
由余弦定理得，cosC==，
又0＜C＜π，所以∠C=，
故答案为：．
点评： 本题考查了余弦定理推论的应用，注意三角形内角的范围，属于基础题．
6．在△ABC中，若S△ABC=12，ac=48，c﹣a=2，则b=或．
考点： 余弦定理；正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 根据题意和三角形的面积公式分别求出角B、a、c的值，再分别由余弦定理求出边b的值．
解答： 解：因为S△ABC=12，ac=48，
所以，解得sinB=，
由0＜B＜π得，B=或，
由得，c=8、a=6，
①当B=时，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB
=36+64﹣2×=52，则b=；
②当B=时，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB
=36+64﹣2×=148，则b=，
综上可得，b的值是或，
故答案为：或．
点评： 本题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，注意三角形内角的范围，属于中档题．
7．已知数列{an} 满足an+1﹣an=2，且a3=8，则a6=14．
考点： 等差数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意和等差数列的定义判断出数列{an}是以2为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式求出a6的值．
解答： 解：由题意知，an+1﹣an=2，
所以数列{an}是以2为公差的等差数列，
又a3=8，所以a6=a3+3d=8+6=14，
故答案为：14．
点评： 本题考查了等差数列的定义、通项公式，属于基础题．
8．在等比数列{an}中，已知S6=48，S12=60，则S24=．
考点： 等比数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 根据等比数列的性质：当Sn≠0时，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n也成等比数列，计算即可得到结论．
解答： 解：∵S6=48≠0，
∴S6，S12﹣S6，S18﹣S12，S24﹣S18也成等比数列，
即48，12，S18﹣60，S24﹣S18也成等比数列，
则S18﹣60==3，
即S18=63，即有S24﹣63==，
即S24=．
故答案为：．
点评： 本题主要考查等比数列的性质，在等比数列中，当Sn≠0时，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n也成等比数列．
9．已知等差数列{an}中，a4+a8+a10+a14=20，则前17项的和为85．
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由已知结合等差数列的性质求得a1+a17，然后代入等差数列的前n项和得答案．
解答： 解：在等差数列{an}中，由a4+a8+a10+a14=20，得2（a1+a17）=20，
∴a1+a17=10，
则．
故答案为：85．
点评： 本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
10．函数f（x）=1﹣cosx，x∈R取最大值时x的值是π+2kπ（k∈Z）．
考点： 余弦函数的单调性．
专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析： 根据余弦函数的图象，可得当且仅当x=π+2kπ（k∈Z）时cosx达到最小值﹣1，由此可得函数f（x）=1﹣cosx取最大值时x的值．
解答： 解：∵当且仅当x=π+2kπ（k∈Z）时，cosx=﹣1达到最小值
∴当x=π+2kπ（k∈Z）时，函数f（x）=1﹣cosx取最大值2
故答案为：π+2kπ（k∈Z）
点评： 本题给出三角函数式，求它取最大值时相应的x值．着重考查了三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．
11．若点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是x﹣y﹣3=0．
考点： 直线与圆相交的性质．
专题： 计算题．
分析： 求出圆心C的坐标，得到PC的斜率，利用中垂线的性质求得直线AB的斜率，点斜式写出AB的方程，并化为一般式．
解答： 解：圆（x﹣1）2+y2=25的圆心C（1，0），点P（2，﹣1）为 弦AB的中点，PC的斜率为 =﹣1，
∴直线AB的斜率为1，点斜式写出直线AB的方程 y+1=1×（x﹣2），即 x﹣y﹣3=0，
故答案为 x﹣y﹣3=0．
点评： 本题考查直线和圆相交的性质，线段的中垂线的性质，用点斜式求直线的方程的方法．
12．无论k为何值，直线（k+2）x+（1﹣k）y﹣4k﹣5=0都过一个定点，则定点坐标为（3，﹣1）．
考点： 恒过定点的直线．
专题： 直线与圆．
分析： 直线即即 k（x﹣y﹣4）+（2x+y﹣5）=0，令参数k的系数等于零，求得x和y的值，即可得到定点的坐标．
解答： 解：直线（k+2）x+（1﹣k）y﹣4k﹣5=0，即 k（x﹣y﹣4）+（2x+y﹣5）=0，
它一定经过直线x﹣y﹣4=0和直线2x+y﹣5=0的交点M．
由 求得，故点M为（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）．
点评： 本题主要考查直线过定点问题，令参数k的系数等于零，求得x和y的值，即可得到定点的坐标，属于基础题．
13．已知点P（x，y）在圆x2+（y﹣1）2=1上运动，则的最大值为最小值为﹣．
考点： 圆的标准方程；直线的斜率．
专题： 计算题；直线与圆．
分析： 设为k，即kx﹣y﹣2k+1=0根据圆心（0，1）到直线kx﹣y﹣2k+1=0的距离等于1，写出距离公式求出k的最大值与最小值．
解答： 解：设为k，即kx﹣y﹣2k+1=0
根据圆心（0，1）到直线kx﹣y﹣2k+1=0的距离等于1，
可得=1，
∴k=，
∴的最大值为，最小值为﹣．
故答案为：，﹣．
点评： 本题考查直线与圆的位置关系，本题解题的关键是利用数形结合的思想来解出斜率的值，本题是一个中档题目．
14．已知两不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n有下列四个命题：
①若m∥n，n⊥α则m⊥α．
②若m⊥α，m⊥β 则α∥β．
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β．
④若m∥α，α∩β=n则m∥n．
其中真命题的有①②③．
考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 根据空间直线，平面间的位置关系的判定定理和性质定理，结合选项进行逐个判断即可．同时利用反例的应用
解答： 解：对于①：若m∥n，n⊥α，根据线面垂直的性质得到m⊥α；故①为真命题；
对于②：若m⊥α，m⊥β，根据线面垂直的性质以及面面垂直的判定，得到α∥β；故②为真命题；
对于③：若m⊥α，m∥n，∴n⊥α，∵n⊂β，根据面面垂直的判定定理得到α⊥β，故③为真命题；
对于④：如图，若m∥α，α∩β=n，则m∥n不成立，故④为假命题；
故答案为：①②③．
点评： 本题重点考查了空间中直线与直线平行、直线与平面平行、平面和平面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题
二、解答题
15．设函数f（x）=6cos2x﹣2sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=0且b=2，cosA=，求a和sinC．
考点： 正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．
专题： 综合题；三角函数的求值．
分析： （1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求f（x）的最小正周期和值域；
（2）由f（B）=0，得B=，由cosA=，可求sinA=，利用正弦定理，求出a，利用sinC=sin（π﹣A﹣B），可得sinC．
解答： 解：（1）f（x）=6cos2x﹣2sinxcosx
=6×﹣sin2x
=3cos2x﹣sin2x+3
=2cos（2x+）+3． …（3分）
∴f（x）的最小正周期为T==π，…（4分）
值域为[3﹣2，3+2]． …（6分）
（2）由f（B）=0，得cos（2B+）=﹣．
∵B为锐角，∴＜2B+＜，
∴2B+=，∴B=． …（9分）
∵cosA=，A∈（0，π），∴sinA=． …（10分）
在△ABC中，由正弦定理得a==． …（12分）
∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（﹣A）=． …（14分）
点评： 本题考查正弦定理，考查三角函数中的恒等变换，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点．
（Ⅰ）若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD．
考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．
专题： 证明题；综合题．
分析： （Ⅰ）CD∥平面PBO，推出BO∥CD得到AD=3BC，点O的位置满足AO=2OD．
（Ⅱ）要证平面AB⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PABPD内的两条相交直线AB、PA即可．
解答： （Ⅰ）解：因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，
所以 BO∥CD又 BC∥AD，
所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，
而AD=3BC，
故点O的位置满足AO=2OD．
（Ⅱ）证：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，
所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD，
且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，
所以PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，
所以：平面PAB⊥平面PCD．
点评： 本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查逻辑思维能力，是中档题．
17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．
考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
专题： 立体几何．
分析： （1）要证明EF∥平面ABC，证明EF∥BC即可；
（2）要证明平面A1FD⊥平面BB1C1C，通过证明A1D⊥面BB1C1C即可，利用平面与平面垂直的判定定理证明即可．
解答： 证明：（1）因为E，F分别是A1B，A1C的中点，
所以EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，所以EF∥平面ABC；
（2）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，
又A1D⊥B1C，BB1∩B1C=B1，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D⊂面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
点评： 本题考查直线与平面平行和垂直的判断，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
18．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13
（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．
考点： 等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{an}、{bn}的通项公式．
（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和Sn．
解答： 解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且
解得d=2，q=2．
所以an=1+（n﹣1）d=2n﹣1，bn=qn﹣1=2n﹣1．
（Ⅱ），
，①
Sn=，②
①﹣②得Sn=1+2（++…+）﹣，
则===．
点评： 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．
19．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．
考点： 二次函数的图象；圆的标准方程．
专题： 计算题．
分析： （1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；
（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；
（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0，因为x0，y0不依赖于b得取值，所以得到1﹣y0=0即y0=1，代入x02+y02+2x0﹣y0=0中即可求出定点的坐标．
解答： 解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．
（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．
令x=0得y2+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=﹣b﹣1．
所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b=0．
（3）圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0（*）
为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0=0，结合（*）式得x02+y02+2x0﹣y0=0，解得
经检验知，（﹣2，1）和（0，1）均在圆C上，因此圆C过定点（﹣2，1）和（0，1）．
点评： 本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题．
20．已知数列{an}中，a1=5，Sn+1=2Sn+n+5（n∈N+）
（1）证明：{an+1} 数列是等比数列．
（2）求数列 {an}的前n项和Sn．
考点： 数列的求和；等比关系的确定．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）通过an+2=Sn+2﹣Sn+1，可得an+2+1=2（an+1+1），验证a2+1=2（a1+1），进而可得结论；
（2）通过（1），利用Sn=（a1+1）+（a2+1）+…+（an+1）﹣n计算即可．
解答： （1）证明：∵Sn+1=2Sn+n+5（n∈N+），
∴Sn+2=2Sn+1+n+1+5（n∈N+），
两式相减得：an+2=2an+1+1，
即an+2+1=2（an+1+1），
又∵a1=5，Sn+1=2Sn+n+5（n∈N+），
∴a2=11，且a2+1=12=2×6=2（a1+1），
∴数列{an+1}是以6为首项、2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知an+1=6×2n﹣1=3×2n，
∴Sn=（a1+1）+（a2+1）+…+（an+1）﹣n
=3×﹣n
=6×2n﹣（n+6）．
点评： 本题考查判断等比数列，求数列的和，注意解题方法的积累，属于中档题．
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