2015-2016学年浙江省嘉兴市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.请从A,B,C,D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，不选，多选，错选均的零分）
1．sin240°的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
2．已知数列{an}的通项公式为an=，则是它的（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
3．要得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
4．已知等差数列{an}满足a3=1，a5=5，Sn是其前n项的和，则S7=（ ）
A．8 B．15 C．21 D．25
5．如图，已知圆O1与O2相交于A、B两点，△AO2B为正三角形，|AO2|=2，且|O1O2|=4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．sin215°﹣cos215°的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
7．已知等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn．若S3=，则S6等于（ ）
A． B． C．63 D．
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a=15，b=10，A=60°，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数f（x）=3﹣sin，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f
A．150 B．200 C．250 D．300
10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，BC边上的高为h，且h=a，则++的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．2
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．已知θ∈（0，），且sinθ=，则tanθ= ．
12．已知角α的终边与x轴正半轴的夹角为30°，则α= （用弧度制表示）．
13．已知数列{an}满足a1=5，an+1=2an+3，则a3= ．
14．已知f（x）=3sin（x+），则y=f（x）图象的对称轴是 ．
15．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S9是S3与S6的等差中项，且a2+a5=2am，则m= ．
16．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，|MN|=5，则f（x）= ．
17．△ABC三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC+csinA=0，则（1+tanA）•（1+tanB）= ．
18．已知数列{an}满足an+1=2+an（n∈N*），a2=3a5，其前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，总有Sn≥Sk成立，则|ak|+|ak+1|+…+|a15|= ．
三、解答题（共4小题，满分36分）
19．已知=3．
（1）求tanθ的值；
（2）求sin2θ﹣cos2θ的值．
20．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=．
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．
21．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，n•an+1=Sn+n2+n，n∈N*．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求数列{2n﹣1•an}的前n项和Tn．
22．已知函数f（x）=sin2x﹣sin（x+）sin（x﹣）﹣1，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数F（x）=cos（2x﹣）+3|f（x）+1|﹣m，x∈[﹣，]有三个零点，求实数m的取值范围．
2015-2016学年浙江省嘉兴市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.请从A,B,C,D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，不选，多选，错选均的零分）
1．sin240°的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣，
故选：D．
2．已知数列{an}的通项公式为an=，则是它的（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】令an==，解出即可得出．
【解答】解：令an==，
化为：n2+n﹣30=0，n∈N*．
解得n=5．
则是它的第5项．
故选：B．
3．要得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得函数y=cos2（x+）=cos（2x+）的图象，
故选：B．
4．已知等差数列{an}满足a3=1，a5=5，Sn是其前n项的和，则S7=（ ）
A．8 B．15 C．21 D．25
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列的性质可得：a1+a7=a3+a5，再利用求和公式即可得出．
【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a7=a3+a5=6，
S7===21．
故选：C．
5．如图，已知圆O1与O2相交于A、B两点，△AO2B为正三角形，|AO2|=2，且|O1O2|=4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】设O1O2与AB相交于C，则CO2=3，CO1=1，∠AO1B=120°，BO1=2，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：设O1O2与AB相交于C，则CO2=3，CO1=1，∠AO1B=120°，BO1=2，
∴阴影部分的面积为=，
故选：A．
6．sin215°﹣cos215°的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】二倍角的余弦．
【分析】由条件利用二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．
【解答】解：sin215°﹣cos215°=﹣（ cos215°﹣sin215°）=﹣cos30°=﹣，
故选：C．
7．已知等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn．若S3=，则S6等于（ ）
A． B． C．63 D．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由等比数列的求和公式可得S3==，可解得a1，而S6=，代入计算可得答案．
【解答】解：由题意可得S3==，解得a1=，
故S6===
故选B
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a=15，b=10，A=60°，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】利用正弦定理，求出sinB，确定B的范围，即可求得cosB的值．
【解答】解：∵a=15，b=10，A=60°，
∴由正弦定理可得
∴sinB=
∴cosB=±=±
∵a=15，b=10，A=60°，
∴0°＜B＜A＜60°
∴cosB=
故选C．
9．已知函数f（x）=3﹣sin，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f
A．150 B．200 C．250 D．300
【考点】函数的值．
【分析】通过讨论x的奇偶性结合三角函数的性质求出结果即可．
【解答】解：x为偶数时，f（x）=3，
x为奇数时，f（1）+f（3）=f（5）+f（7）=…=f（97）+f（99）=6，
∴S100=f（1）+f（2）+…+f已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，BC边上的高为h，且h=a，则++的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．2
【考点】余弦定理．
【分析】由余弦定理化简可得++=+2cosA，利用三角形面积公式可得a2=bcsinA，解得++=2sinA+2cosA=2sin（A+），利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值．
【解答】解：由余弦定理可得：b2+c2=a2+2bccosA，
故++===+2cosA，
而S△ABC=bcsinA==a2，
故a2=bcsinA，
所以： ++=+2cosA=2sinA+2cosA=2sin（A+）≤2．
故选：B．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．已知θ∈（0，），且sinθ=，则tanθ= ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得 cosθ 的值，可得tanθ的值．
【解答】解：∵θ∈（0，），且sinθ=，
∴cosθ==，
则tanθ==，
故答案为：．
12．已知角α的终边与x轴正半轴的夹角为30°，则α= 2kπ±，（k∈Z） （用弧度制表示）．
【考点】象限角、轴线角．
【分析】由已知，分别求出角α的终边落在第一，四象限时，角α的终边与x轴的正半轴所成的夹角，即可得解．
【解答】解：∵角α的终边与x轴正半轴的夹角为，
∴当角α的终边落在第一象限时，则α的终边与x轴的正半轴所成的夹角是α=2kπ+，（k∈Z）．
当角α的终边落在第四象限时，则α的终边与x轴的正半轴所成的夹角是α=2kπ﹣，（k∈Z）．
∴综上可得：α=2kπ±，（k∈Z）．
故答案为：2kπ±，（k∈Z）．
13．已知数列{an}满足a1=5，an+1=2an+3，则a3= 29 ．
【考点】数列递推式．
【分析】由递推公式可知当n=2时求得a2，当n=3时即可求得a3的值．
【解答】解：a1=5，an+1=2an+3，
a2=2a1+3=10+3=13，
a3=2a2+3，=26+3=29，
故答案为：29．
14．已知f（x）=3sin（x+），则y=f（x）图象的对称轴是 x=kπ+，k∈Z ．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性求得y=f（x）图象的对称轴方程．
【解答】解：对于f（x）=3sin（x+），令x+=kπ+，求得x=kπ+，
可得y=f（x）图象的对称轴是 x=kπ+，k∈Z，
故答案为：x=kπ+，k∈Z．
15．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S9是S3与S6的等差中项，且a2+a5=2am，则m= 8 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】S9是S3与S6的等差中项，可得：2S9=S3+S6，对q分类讨论，利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．
【解答】解：∵S9是S3与S6的等差中项，∴2S9=S3+S6，
若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1．但a1≠0，即得S3+S6≠2S9，与题设矛盾，q≠1．
又依题意S3+S6=2S9可得： +=2×，
整理得q3（2q6﹣q3﹣1）=0．
由q≠0得方程2q6﹣q3﹣1=0．
（2q3+1）（q3﹣1）=0，
∵q≠1，q3﹣1≠0，
∴2q3+1=0，∴q3=﹣，q6=．
∵a2+a5=2am，∴a2+=2，
∴1+q3=2qm﹣2，
∴qm﹣2==q6，
∴m﹣2=6．
则m=8．
故答案为：8．
16．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，|MN|=5，则f（x）= 2sin（x+） ．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由周期以及|MN|=5求出ω，可得函数的解析式．
【解答】解：根据f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=2，
2sinφ=1，sinφ=，∴φ=，f（x）=2sin（ωx+）．
再根据|MN|==5，可得φ=，
故f（x）=2sin（x+），
故答案为：2sin（x+）．
17．△ABC三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC+csinA=0，则（1+tanA）•（1+tanB）= 2 ．
【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理．
【分析】利用正弦定理求得 tanC=﹣1，C=，利用两角和的正切公式求得 tanA+tanB=1﹣tanAtanB，从而得到要求式子的值．
【解答】解：△ABC中，∵acosC+csinA=0，∴由正弦定理可得 sinAcosC+sinCsinA=sinA（cosC+sinC）=0，
∵sinA≠0，∴cosC+sinC=0，∴tanC=﹣1，∴C=．
∴A+B=，即A=﹣B，∴tanA=tan（﹣B）=，即 tanA+tanB=1﹣tanAtanB，
则（1+tanA）•（1+tanB）=1+（tanA+tanB）+tanAtanB=1+（1﹣tanAtanB）+tanAtanB=2，
故答案为：2．
18．已知数列{an}满足an+1=2+an（n∈N*），a2=3a5，其前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，总有Sn≥Sk成立，则|ak|+|ak+1|+…+|a15|= 82 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】数列{an}满足an+1=2+an（n∈N*），可得数列{an}是公差为2的等差数列，又a2=3a5，可得an=2n﹣13．由an≥0，可得当n=6时，Sn取得最小值，k=6．去掉绝对值符号利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．
【解答】解：∵数列{an}满足an+1=2+an（n∈N*），∴数列{an}是公差为2的等差数列，又a2=3a5，∴a1+2=3（a1+4×2），解得a1=﹣11，∴an=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13．
由an≥0，解得n≥7，n≤6时，an＜0．因此当n=6时，Sn取得最小值，
∵对于任意的n∈N*，总有Sn≥Sk成立，
∴k=6．
∴|ak|+|ak+1|+…+|a15|=﹣a6+a7+…+a15=9a11﹣a6=9×（2×11﹣13）﹣（2×6﹣13）=82．
故答案为：82．
三、解答题（共4小题，满分36分）
19．已知=3．
（1）求tanθ的值；
（2）求sin2θ﹣cos2θ的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】（1）分子分母同时除以cosθ，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．
（2）利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求，结合tanθ=2即可计算得解．
【解答】（本题满分为8分）
解：（1）∵=3．
∴=3，解得tanθ=2．
（2）∵sin2θ﹣cos2θ==，
又∵tanθ=2，
∴sin2θ﹣cos2θ==．
20．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=．
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】本题考查的知识点是正弦定理与余弦定理，
（1）由，我们易求出B的正弦值，再结合a=2，b=4，由正弦定理易求sinA的值；
（2）由△ABC的面积S=4，我们可以求出c值，再由余弦定理可求出b值．
【解答】解：（I）∵
由正弦定理得．
∴．
（II）∵，
∴．
∴c=5
由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，
∴
21．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，n•an+1=Sn+n2+n，n∈N*．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求数列{2n﹣1•an}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等差关系的确定．
【分析】（1）要证{}是等差数列，即证﹣为常数，运用an+1=Sn+1﹣Sn，化简已知条件，即可得到；
（2）由等差数列的通项公式，可得an=2n，2n﹣1•an=n•2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．
【解答】解：（1）证明：由a1=2，n•an+1=Sn+n2+n，
可得n（Sn+1﹣Sn）=Sn+n2+n，
即有nSn+1=（n+1）Sn+n（n+1），
两边同除以n（n+1），可得
=+1，即﹣=1，
可得{}是首项为2，公差为1的等差数列；
（2）由（1）可得=2+n﹣1=n+1，
即有Sn=n（n+1），
则n•an+1=Sn+n2+n=2n（n+1），
即an+1=2（n+1），即有an=2n，2n﹣1•an=n•2n，
前n项和Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
2Tn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，
两式相减可得，﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1
=﹣n•2n+1，
化简可得，Tn=（n﹣1）•2n+1+2．
22．已知函数f（x）=sin2x﹣sin（x+）sin（x﹣）﹣1，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数F（x）=cos（2x﹣）+3|f（x）+1|﹣m，x∈[﹣，]有三个零点，求实数m的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的减区间求出f（x）的单调递减区间；
（2）由（1）化简F（x）的解析式，将F（x）有三个零点转化为对应的方程有三个不同的解，由x的范围求出2x+的范围，设t=，令g（t）=sint+3|sint|，再转化为函数g（t）的图象与直线y=m有三个交点，化简g（t）的解析式后由正弦函数的图象画出图象，由条件和图象求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，f（x）=sin2x﹣cos（x﹣）sin（x﹣）﹣1
=sin2x﹣sin（2x﹣）﹣1
=sin2x+sin2x﹣1=，
由得，
，
∴f（x）的单调递增区间是；
（2）由（1）得，f（x）=，
∴F（x）=cos（2x﹣）+3||﹣m，
因此，F（x）在x∈[﹣，]上有三个零点，
等价于方程cos（2x﹣）+3||﹣m=0在x∈[﹣，]上有三个不同的根，
由得，，
设t=，则，
令g（t）=sint+3|sint|，且，
∴方程cos（2x﹣）+3||﹣m=0在x∈[﹣，]上有三个不同的根，
等价于函数g（t）的图象与直线y=m由三个不同的交点，
又函数g（t）=sint+3|sint|=的图象如图所示：
由图得，实数m的取值范围是[1，2]．
2016年8月20日
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