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文科数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 6 页） 2018 年福州市高中毕业班质量检测 文科数学参考答案及评分细则 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分． （1）B （2）B （3）B （4）C （5）D （6）A （7）A （8）D （9）C （10）D （11）C （12）C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分． （13） 3 （14） 31 π6 （15） 2 （16） 101, 2    三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17) 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等基础知识，考查推理论证 能力、运算求解能力，考查函数与方程思想等．满分 12 分． 解：（1）由题设及正弦定理，得   3cc b a b a b  ， 整理得 222 3cba bc ， ···································································· 2 分 由余弦定理得， 222 33cos 222 bca bcA bc bc ， ······································ 4 分 又  0 πA ， ，所以 π 6A  ． ·································································· 5 分 （2）依题意， ABC△ 的面积 11sin22SbcAah， 将 π ,3,76Ah b 代入上式并整理得， 723ca ，① ························· 7 分 由（1）知， 222 3cba bc ，故 22721ca c  ，② ···························· 8 分 文科数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 6 页） 联立①②并解得， 221c  或 221 5 ， ···················································· 10 分 所以 73 2S  或 73 10 ． ········································································ 12 分 (18) 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的垂直关系及点面距离等基础知识，考 查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分 12 分． 解法一：（1）取 CB 中点 G ，连接 AG ， 因为 E 为 AB 中点，点 D 在棱 BC 上，且 3CD BD ， 所以 AGED∥ ， ··················································· 1 分 因为 ABC△ 为正三角形，所以 AGBC ，故 ,EDBC 2 分 直三棱柱 111ABC A B C 中， 1BB ABC 平面 ， 又 DE ABC 平面 ，所以 1BB DE ， ······················· 4 分 因为 1BC BB B ， BC  平面 11BB C C ， 1BB  平面 11BB C C ， 所以 DE  平面 11BB C C ． ······································································· 6 分 （2）因为 4AB  ，所以四边形 11BCC B 是以 4 为边长的正方形， 所以  111111CDF BCCB DBF CCD CBFSS SSS△△△△ 2 11 141234245222  ． ·································· 7 分 由（1）知， DE  平面 11BCC B ， 所以三棱锥 1ECDF 的体积 11 115353333ECDF CDFVSDE △ ． ··········· 9 分 在 Rt DEF△ 中， 111535222DEFSDEDF    △ ， ························ 10 分 设点 1C 与平面 DEF 的距离为 h ． 因为 11E CDF C DEFVV ， 所以 53 1 33 DEFSh △ ， ···································································· 11 分 所以 53 1 15 332h ，解得 25h  ， F D E G B1 C1C B A1A 文科数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 6 页） 所以点 1C 与平面 DEF 的距离为 25．···················································· 12 分 解法二：（1）因为 1BB  平面 ABC ， DE  平面 ABC ， 所以 1BB DE ，且 1190BBBC BA． ·············································· 2 分 设 4ABa ，因为 1ABAA ，则 1 4AAa ，因为 3CD BD ，所以 BD a ． 因为点 E , F 分别为棱 AB , 1BB 的中点，所以 2BE BF a  ， 因为 ABC△ 为正三角形，根据余弦定理，得 2222 22 cos60 2DE BD BE BD BE a a 2122 32aa a ， 在 Rt BDF△ 中， 22222 225DF BD BF a a a， 在 Rt BDE△ 中，  22222 2228EF BE BF a a a  ， 所以 222EF DE DF，所以 DEDF ． ················································ 4 分 又因为 11BBDF B ， DF  平面 11BB C C ， 1BB  平面 11BB C C ， 所以 DE  平面 11BCC B ． ······································································· 6 分 （2）同解法一． ················································································ 12 分 (19) 本小题主要考查频率分布直方图、平均数、方差等基础知识，考查抽象概括能力、数 据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想等．满 分 12 分． 解：（1）由频率估计概率， A 生产线的产品为正品的概率为  0.05375 0.035 0.01125 8 0.8 ； ······················································· 2 分 B 生产线的产品为正品的概率为  0.0625 0.03375 0.0025 8 0.79．······················································ 4 分 （2）设 A 生产线的产品质量指标值的平均数 x ， B 生产线的产品质量指标值的平均 数 y ，由频率分布直方图，可得 64 0.05 72 0.15 80 0.43 88 0.28 96 0.09 81.68x       ， 64 0.05 72 0.16 80 0.5 88 0.27 96 0.02 80.4y       ， ························ 7 分 由以上计算结果可得 x y ，因此 A 生产线的产品质量指标值更好． ··············· 8 分 （3）由（2）知， A 生产线的产品质量指标值更高，它不低于 84 的产品所占比例的 F D E B1 C1C B A1A 文科数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 6 页） 估计值为  0.035 0.01125 8 0.37 0.4， ···················································· 10 分 所以 B 生产线的产品质量指标值的估计值也小于 0.4，故不能认为该公司生产的产品 符合“质量指标值不低于 84 的产品至少要占全部产品 40%”的规定． ················ 12 分 (20) 本小题主要考查坐标法、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运 算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．满分 12 分． 解：（1）依题意得， 6MA MB AB，所以 4MAMB AB， ·········· 2 分 所以点 M 的轨迹 E 是以    1, 0 , 1, 0AB 为焦点且长轴长为 4 的椭圆， ············ 4 分 由于 M , A , B 三点不共线，所以 0y  ， 所以 E 的方程为 22 143 xy（ 0y  ）． ····················································· 6 分 （2）设直线 PQ 方程为 1x my，代入 223412xy  ，得  2234 690mymy， ············································ 7 分 设 11 2 2(),()P xyQxy，，，则 12 2 12 2 6 ,34 9 .34 myy m yy m       ············································· 8 分 所以 12 1222DPDQ x x yy        12 12 12112114my my my my y y     2 12 1 213 9myymyy  ··············································· 9 分 2 2 22 9118 93434 m m mm    2 27 034m  ． ································································ 11 分 所以 PDQ 不可能为直角． ·································································· 12 分 (21) 本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能 力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数 形结合思想等．满分 12 分． 解：（1）当 1a  时， e() 1exxfx x， () exf xx  ， ································· 1 分 所以切线斜率 (e1)kf． ··································································· 2 分 又 (1) 1f  ， 文科数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 6 页） 所以 ()f x 在 1x  处的切线方程为 e(11)yx   ，即 ee10yx     . ··············· 4 分 （2）因为 () 1 ( )e1xfx xa a   ，令  () 1 ( )e1xgx x a a    则 () 2 exg xxa  ， ········································································ 5 分 ①当 2a  时，因为 () 0gx  对一切 0x  都成立， 所以 ()g x 是区间 (0, ) 内的增函数， 因为 0g  1(1)0aa ， 所以  0gx ，即 () 0fx  对一切 0x  都成立， ········································ 7 分 所以 ()f x 是区间 (0, ) 内的增函数， 又 (0) 0f  ， 所以当 0, ( ) 0xfx，即 () 0fx 对一切 0x  都成立． ······························· 9 分 ②当 2a  时，由 () 2 ( 0)exgx x a x  知，当  0, 2xa  时， () 0gx  ， 所以 ()g x 是区间  0, 2a  内的减函数， 因为  0g  1(1)0aa  ， 所以当  0, 2xa时，  0gx ，即   0fx  ，则 ()f x 是区间  0, 2a  内的减函数， 又 (0) 0f  ，所以当  0, 2xa时， () 0fx ，即 () 0fx 不是对一切 0x  都成立． ············································································································ 11 分 综上， 2a  ，即 a的取值范围是 (2], ． ·············································· 12 分 (22) 本小题考查极坐标方程、直线与圆的位置关系、三角形面积的最值等基础知识，考查 运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分 10 分． 解：（1）设 P 的极坐标为   ,0  ，Q 的极坐标为   11,0  ， 由题设知， OP  ， 1 2 cos 6 OQ     ， ·········································· 1 分 由 4OQ OP得 2C 的极坐标方程 2cos 06  ， ························ 3 分 因此 2C 的直角坐标方程为 2 231122xy   （除 0,0 外） ··················· 5 分 （2）设点 B 的极坐标为   ,0BB  ， 文科数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 6 页） 由题设知 2OA  ， 2cos 6B ， ···················································· 6 分 于是 AOB△ 面积为 1 sin2 BSOA AOB ··············································· 7 分 2cos sin63=    2 332sin 42 ， ···················································· 9 分 当 0  时， S 取得最大值 3 2 ． 所以 AOB△ 面积的最大值为 3 2 ． ··························································· 10 分 (23) 本小题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查运算求解能力、推 理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分 10 分． 解：（1）不等式   2f xx 等价于 2 210xxx  ，① 当 0x  时，①式化为 2 310xx ， ······················································ 1 分 解得 35 2x  或 350 2x  ；··························································· 3 分 当 0x  时，①式化为 2 10xx ，解得 0x  ， ········································ 4 分 综上所述，不等式   2f xx 的解集为 35 35 22xx x       ,或. ··············· 5 分 （2）不等式 () 2 xf xa 在 0, 上恒成立， 等价于  2 xf xafx在 0, 上恒成立， ······································· 6 分 等价于 22112 xx xaxx   在 0, 上恒成立， 等价于 22131122x xaxx    在 0, 上恒成立， ······························ 7 分 由 2 2 1 1 15 151241616xx x     （当且仅当 1 4x  时取等号）， ··············· 8 分 2 2 337712 4 16 16xx x  （当且仅当 3 4x  时取等号）， ························ 9 分 所以 15 7 16 16a  ， 综上所述， a 的取值范围是 15 7,16 16  ． ·················································· 10 分