《第27章 相似》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．已知线段a、b、c、d满足ab＝cd，把它改写成比例式，错误的是（ ）
A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．d：a＝b：c D．a：c＝d：b
3．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是（ ）
A．AB2＝AC•CB B．CB2＝AC•AB C．AC2＝BC•AB D．AC2＝2BC•AB
4．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
5．通过一个3倍的放大镜看一个△ABC，下面说法正确的是（ ）
A．△ABC放大后，∠A是原来的3倍
B．△ABC放大后周长是原来的3倍
C．△ABC放大后，面积是原来的3倍
D．以上都不对
6．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（ ）
A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
7．如图所示，△ACB∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（ ）
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A．20° B．30° C．35° D．40°
8．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
10．如图，身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，则树的高度为（ ）
A．4.8 m B．6.4 m C．8 m D．10 m
二．填空题（共5小题）
11．已知3x＝5y，则＝ ．
12．在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为 米．
13．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝ ．（用根号表示）
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为 ．
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15．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的 倍．
三．解答题（共5小题）
16．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
17．如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA＝50m，CB＝60m，∠ACB＝145°，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形．量出AB的长（精确到1毫米），再换算出A、B间的实际距离．
18．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
19．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．
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20．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于 ；
②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
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2019年人教版九下数学《第27章 相似》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x＝3y，即可判断．
【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；
B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；
C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；
D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．
2．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、a：d＝c：b⇒ab＝cd，故正确；
B、a：b＝c：d⇒ad＝bc，故错误；
C、d：a＝b：c⇒dc＝ab，故正确；
D、a：c＝d：b⇒ab＝cd，故正确．
故选：B．
【点评】掌握比例的基本性质，根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换．
3．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：根据线段黄金分割的定义得：AC2＝BC•AB．
故选：C．
【点评】本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，难度适中．
4．【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，计算得到答案．
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【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴＝＝，
∴AF：FC＝1：6，
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方来判断．
【解答】解：用一个能放大3倍的放大镜看△ABC，则看到的三角形与△ABC相似，相似比是3：1，
A、两个相似三角形的对应角相等，故A错；
B、周长的比等于相似比，即△ABC放大后，周长是原来的3倍，故B正确；
C、面积的比是相似比的平方，即9：1，△ABC放大后，面积是原来的9倍，故C错；
D、A选项错误，故D错．
故选：B．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
6．【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到＝，即＝，然后利用比例的性质计算即可．
【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
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∴AF＝AB＝a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
∴（）2＝2，
∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
7．【分析】根据相似三角形性质求出∠ACB＝∠A′CB′，都减去∠A′CB即可．
【解答】解：∵△ACB∽△A′CB′，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB，
∴∠ACA′＝∠BCB′，
∵∠BCB′＝30°，
∴∠ACA′＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形性质的应用，注意：相似三角形的对应角相等．
8．【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
C、其夹角不相等，所以不能判定相似；
D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．
【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
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C、∵，
当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵，
又∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．
9．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，
∴＝，故A正确，选项不符合题意；
∴＝正确，B选项不符合题意；
＝，正确，故C不符合题意；
∴＝，错误，D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
10．【分析】可由平行线分线段成比例求解线段的长度．
【解答】解：由题意可得，＝，
即树高＝＝8m，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．【分析】根据两外项的积等于两内项的积，可得答案．
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【解答】解：∵3x＝5y，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：外项的积等于内项的积．
12．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．
【解答】解：设A，B两地的实际距离为xcm，则：
1：2000＝4.5：x，
解得x＝9000．
9000cm＝90m．
故答案为：90．
【点评】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．
13．【分析】用AC表示出BC，然后根据黄金分割点的定义列方程求解即可．
【解答】解：∵AC＞BC，AB＝2，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣AC，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC2＝AB•BC，
∴AC2＝2（2﹣AC），
整理得，AC2+2AC﹣4＝0，
解得AC＝﹣1+，AC＝﹣1﹣（舍去）．
故答案为：﹣1+．
【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割点的定义并列出关于AC的方程是解题的关键．
14．【分析】根据平行线分线段成比例定理推出＝，代入求出即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝1，BD＝2，
∴AB＝3，
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∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线被两条直线所截的对应线段成比例中的对应．题目较好，但是一道比较容易出错的题目．
15．【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．
【解答】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，
∵相似三角形的周长的比等于相似比，
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．
三．解答题（共5小题）
16．【分析】（1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；
（2）根据比例中项的定义列式求解即可．
【解答】解：（1）设＝＝＝k，
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
所以，3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
所以，a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12；
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2＝ab＝6×4＝24，
∴线段x＝2．
【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
17．【分析】根据比例尺的定义，1厘米代表10米，把CA＝50m，CB＝60m，转化为CA＝5cm，CB＝
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6cm，结合题意画图，再测量AB的长，最后换算出A、B间的实际距离．
【解答】解：如图，测得AB长约10.5cm，换算成实际距离约为10.5×1000＝10500cm＝105m．
即A、B间的实际距离是105m．
【点评】本题考查了比例问题以及两点之间的距离是连接两点的线段的长度．
18．【分析】（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案．
（2）根据黄金比值即可求出AD的长度．
【解答】解：（1）∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，
∴AD＝BD，BC＝BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴＝，即＝，
∴AD2＝AC•CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD＝AC，
∵AC＝2，
∴AD＝﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是仔细审题，理解黄金分割的定义，注意掌握黄金比值．
19．【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长．
（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB的长，然后即可得出BE的长．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
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∴，
∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，
∴，
∴DE＝9．
（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，
则CG＝BH＝AD＝9，
∴GF＝14﹣9＝5，
∵HE∥GF，
∴，
∵DE：DF＝2：5，GF＝5，
∴，
∴HE＝2，
∴BE＝9+2＝11．
【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
20．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；
（2）不合理，举例进行说明．
【解答】解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
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∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越小，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．
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