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绝密★启用前
2021 年高考押题预测卷（新课标Ⅲ卷）
理科数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．集合 0A x x ， 2, 1,0,2B ，则 R A B ð （ ）
A． 0,2 B． 2, 1 C． 2, 1,0 D． 2
2．复数1 3i
1 i
(i 是虛数单位)的模等于（ ）
A． 2 5 B． 2 2 C． 5 D． 2
3．某口罩厂的三个车间在一个小时内共生产 3600个口罩，在出厂前要检查这批口罩的质量，决定采用分
层抽样的方法进行抽取，若从一､二､三车间抽取的口罩数分别为 a b c、 、 且 a b c、 、 构成等差数列，则第
二车间生产的口罩数为（ ）个.
A．800 B．100 C．1200 D．1500
4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P (单位： mg/L )与时间t (单位： h )
间的关系式为 0
ktP P e ，其中 0 ,P k 为正常数.如果一定量的废气在前10h 的过滤过程中污染物被消除了
20%, 那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：
2 0.693, 5 1.609ln ln )（ ）
A．11h B． 21h C．31h D． 41h
5．设 O 为坐标原点，直线 l 过定点 1,0 ，且与抛物线 2: 2 0C y px p 交于 ,A B 两点，若
,OA OB OA OB ，则抛物线C 的准线方程为（ ）
A． 1
4x B． 1
2x
C． 1x D． 2x
6．已知 0a ， 0b ，向量 2 , 9m a b ， 8,n ab ，若 m n ，则 2a b 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． 5
4 D．5
7．在 ABC 中， 120A ， 6BC ，则 ABC 的面积的最大值为（ ）
A． 1
2 B．1 C． 3 3
2
D．3 3
8．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是 8
3
，则 x （ ）
A．1 B． 2 C． 4 D． 6
9．已知 1x ， 2x ，是函数 tan 0,0f x x 的两个零点，且 1 2x x 的最小值为
3
，
若将函数 f x 的图象向左平移
12
个单位长度后得到的图象关于原点对称，则 的最大值为（ ）
A． 3
4
B．
4
C． 7
8
D．
8
10．若函数 1( ) 1 e xf x x a （ a 为常数）存在两条均过原点的切线，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 10, e
B． 1,e
C． (0, )e D． ( , )e
11．已知 2, 2P 是离心率为 1
2
的椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
外一点，经过点 P 的光线被 y 轴反射后，
所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（ ）
理科数学试题 第 3页（共 6页） 理科数学试题 第 4页（共 6页）
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此
卷
只
装
订
不
密
封
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A． 1
8
B． 1
2
C．1 D． 1
8
12．已知定义在 R 上的函数 f x 满足：①对任意的 x ，y R ， f x y f x f y ；②当 0x 时，
1f x ；③ 1 22f
．若对于任意的两个正实数 x ， y ，不等式 ln ln 4x y x x ayf x
恒成立，则
实数 a 的最小值是（ ）
A． 2
1
e
B． 2
1
2e C． 2
1
e D． 2
2
e
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知实数 x，y 满足
4 2 0
2 3 4 0
3 5 0
x y
x y
x y
，则 z=2x+y-1 的最大值为___________.
14． 6x y z 的展开式中 2 3xy z 的系数是______．
15．在三棱锥 P ABC 中， AB BC ， 8AC ，点 P 到底面 ABC 的距离为 7.若点 P，A，B，C 均在一
个半径为 5 的球面上，则 2 2 2PA PB PC 的最小值为___________.
16．设定义在 D 上的函数 y f x 在点 0 0,P x f x 处的切线方程为 :l y g x ，当 0x x 时，若
0
0g x f x
x x
在 D 内恒成立，则称 P 点为函数 y f x 的“类对称中心点”，则函数
2
ln2
xh x xe
的“类
对称中心点”的坐标为______．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．已知正项等比数列 na 的前 n 项和为 3 2 4, 7, 16nS S a a .
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）设 1 1b ，当 2n 时，
2 2 1
1
log logn
n n
b a a
，求数列 nb 的前 n项和 nT .
18．下围棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息.现某学校象
棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参赛.现某班有12 位象棋爱
好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛，(规则采用“中国数目法”，没有和棋.)即每人进行11轮比赛，
最后靠积分选出第一名去参加校级比赛.积分规则如下(每轮比赛采取 5 局 3 胜制，比赛结束时，取胜者可能
会出现3:0,3:1,3: 2.三种赛式).
3:0 或 3:1 3:2
胜者积分 3 分 2 分
负者积分 0 分 1分
9 轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分 26 分，乙累计积分 22 分.第10 轮甲和丙比赛，设
每局比赛甲取胜的概率均为 2
3
，丙获胜的概率为 1
3
，各局比赛结果相互独立.
（1）①在第10 轮比赛中，甲所得积分为 X ，求 X 的分布列;
②求第10 轮结束后，甲的累计积分Y 的期望;
（2）已知第10 轮乙得 3 分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛.(“提前一轮”即比赛进行10
轮就结束，最后一轮即第11轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)?若能，求出相应的概率;若不能，请
说明理由.
19．如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C ，平面 1 1A ACC 平面 ABC ， 90ABC ， 30BAC ，
1 1A A AC AC ， E ， F 分别是 AC ， 1 1A B 的中点.
（1）证明： EF BC ；
（2）求直线 EF 与平面 1A BC 所成角的余弦值；
（3）求二面角 1A AC B 的正弦值.
20．已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的离心率为 2
2
，椭圆 C 与 y 轴交于点 A，B(点 B 在 x 轴下方)，
0,4D ，直径为 BD 的圆过点 ,0E a .
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过 D 点且不与 y 轴重合的直线与椭圆 C 交于点 M，N，设直线 AN 与 BM 交于点 T，证明：点 T 在直
线 1y 上.
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21．已知函数 2 sinxf x e x x ， sin cosxg x e x x a .
（1）求函数 f x 的单调区间；
（2） 1x 、 2 0, 2x
，使得不等式 1 2g x f x 成立，求 a 的取值范围；
（3）不等式 lnf x m xx
在 1, 上恒成立，求整数 m 的最大值.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为
2
2
4 4
42
x t t
y t t
（t 为参数，且 0t ），以坐标原点O 为
极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 cos 13
.
（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）若极坐标方程为 3 R 的直线与曲线C 交于异于原点的点 A ，与直线l 交于点 B ，且直线l 交
x 轴于点 M ，求 ABM 的面积.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
设函数 3 1 2 1f x x x 的最小值为 m ．
（Ⅰ）求 m 的值；
（Ⅱ）若 a ， 0,b ，证明：
2 2
21 11 1b a ma a b b
．
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