复数的加法与减法

复数的加法与减法    教学目标    (1)掌握复数加法与减法运算法则,能熟练地进行加、减法运算;    (2)理解并掌握复数加法与减法的几何意义,会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题;    (3)能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题;    (4)通过学习平行四边形法则和三角形法,培养学生的数形结合的数学思想;    (5)通过本节内容的学习,培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).    教学建议    一、知识结构    二、重点、难点分析    本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则,它是复数加减法运算的基础,对于这个规定的合理性,在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法,以它为根据来解决某些平面图形的问题,学生对这一点不容易接受。    三、教学建议    (1)在复数的加法与减法中,重点是加法.教材首先规定了复数的加法法则.对于这个规定,应通过下面几个方面,使学生逐步理解这个规定的合理性:①当 时,与实数加法法则一致;②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立;③符合向量加法的平行四边形法则.    (2)复数加法的向量运算讲解设 ,画出向量 , 后,提问向量加法的平行四边形法则,并让学生自己画出和向量(即合向量) ,画出向量 后,问与它对应的复数是什么,即求点Z的坐标OR与RZ(证法如教材所示).    (3)向学生介绍复数加法的三角形法则.讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后,可以指出向量加法还可按三角形法则来进行:如教材中图8-5(2)所示,求 与 的和,可以看作是求 与 的和.这时先画出第一个向量 ,再以 的终点为起点画出第二个向量 ,那么,由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量 ,就是这两个向量的和向量.    (4)向学生指出复数加法的三角形法则的好处.向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的:例如讲到当 与 在同一直线上时,求它们的和,用三角形法则来解释,可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些;讲复数减法的几何意义时,用三角形法则也较平行四边形法则更为方便.    (5)讲解了教材例2后,应强调 (注意:这里 是起点, 是终点)就是同复数 - 对应的向量.点 , 之间的距离 就是向量 的模,也就是复数 - 的模,即 .    例如,起点对应复数-1、终点对应复数 的那个向量(如图),可用 来表示.因而点 与 ( )点间的距离就是复数     的模,它等于 。    教学设计示例     复数的减法及其几何意义    教学目标    1.理解并掌握复数减法法则和它的几何意义.    2.渗透转化,数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题能力.    3.培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).    教学重点和难点    重点:复数减法法则.    难点:对复数减法几何意义理解和应用.    教学过程设计    (一)引入新课    上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义.(板书课题:复数减法及其几何意义)    (二)复数减法    复数减法是加法逆运算,那么复数减法法则为( + i)-( + i)=( - )+( - )i,    1.复数减法法则    (1)规定:复数减法是加法逆运算;    (2)法则:( + i)-( + i)=( - )+( - )i( , , , ∈R).    把( + i)-( + i)看成( + i)+(-1)( + i)如何推导这个法则.    ( + i)-( + i)=( + i)+(-1)( + i)=( + i)+(- - i)=( - )+( - )i.    推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算.    推导:设( + i)-( + i)= + i( , ∈R).即复数 + i为复数 + i减去复数 + i的差.由规定,得( + i)+( + i)= + i,依据加法法则,得( + )+( + )i= + i,依据复数相等定义,得     故( + i)-( + i)=( - )+( - )i.这样推导每一步都有合理依据.    我们得到了复数减法法则,两个复数的差仍是复数.是唯一确定的复数.    复数的加(减)法与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即( + i)±( + i)=( ± )+( ± )i.    (三)复数减法几何意义    我们有了做复数减法的依据——复数减法法则,那么复数减法的几何意义是什么?    设z= + i( , ∈R),z1= + i( , ∈R),对应向量分别为 , 如图     由于复数减法是加法的逆运算,设z=( - )+( - )i,所以z-z1=z2,z2+z1=z,由复数加法几何意义,以 为一条对角线, 1为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边 2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差( - )+( - )i对应,如图.    在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量 2吗?      还有 . 因为OZ2 Z1Z,所以向量 ,也与z-z1差对应.向量 是以Z1为起点,Z为终点的向量.    能概括一下复数减法几何意义是:两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.    (四)应用举例    在直角坐标系中标Z1(-2,5),连接OZ1,向量 1与多数z1对应,标点Z2(3,2),Z2关于x轴对称点Z2(3,-2),向量 2与复数对应,连接,向量与的差对应(如图).    例2 根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内两点间的距离公式.    解:设复平面内的任意两点Z1,Z2分别表示复数z1,z2,那么Z1Z2就是复数对应的向量,点之间的距离就是向量的模,即复数z2-z1的模.如果用d表示点Z1,Z2之间的距离,那么d=|z2-z1|.    例3  在复平面内,满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么.    (1)|z-1-i|=|z+2+i|;    方程左    可以看成|z-(1+i)|,是复数Z与复数1+i差的模.     几何意义是是动点Z与定点(1,1)间的距离.方程右式也可以写成|z-(-2-i)|,是复数z与复数-2-i差的模,也就是动点Z与定点(-2,-1)间距离.这个方程表示的是到两点(+1,1),(-2,-1)距离相等的点的轨迹方程,这个动点轨迹是以点(+1,1),(-2,-1)为端点的线段的垂直平分线.    (2)|z+i|+|z-i|=4;    方程可以看成|z-(-i)|+|z-i|=4,表示的是到两个定点(0,-1)和(0,1)距离和等于4的动点轨迹.满足方程的动点轨迹是椭圆.    (3)|z+2|-|z-2|=1.    这个方程可以写成|z-(-2)|-|z-2|=1,所以表示到两个定点(-2,0),(2,0)距离差等于1的点的轨迹,这个轨迹是双曲线.是双曲线右支.    由z1-z2几何意义,将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|,由此得到线段垂直平分线,椭圆、双曲线等复数方程.使有些曲线方程形式变得更为简捷.且反映曲线的本质特征.    例4  设动点Z与复数z= + i对应,定点P与复数p= + i对应.求    (1)复平面内圆的方程;    解:设定点P为圆心,r为半径,如图    由圆的定义,得复平面内圆的方程|z-p|=r.    (2)复平面内满足不等式|z-p|